2024-2025学年河北省衡水市深州市长江中学数学高二第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年河北省衡水市深州市长江中学数学高二第二学期期末质量检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
4．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设，是两个不重合的平面，，是空间两条不重合的直线，下列命题不正确的是（）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是
A． B． C． D．
7．若点在椭圆内，则被所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被所平分的双曲线的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．设集合，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
9．命题若，则，是的逆命题，则（ ）
A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假
10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是
A． B．
C． D．
11．如图，向量对应的复数为，则复数的共轭复数是（ ）

A． B． C． D．
12．直三棱柱中，，，、分别为、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为．现从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，这两条棱互相垂直的概率为________．
14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在的汽车中抽取300辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在以下的汽车有_____辆.

15．复数的虚部是______.
16．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋得奖金4元，落入B袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_____元.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，，求的值.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），把曲线C的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线直线l的普通方程是，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）记射线（）与交于点A，与l交于点B，求的值.
19．（12分）已知等比数列的前项和，其中为常数.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（2）当时，讨论函数的单调性.
21．（12分）已知数列的首项，等差数列 满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（10分）已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，是中点，求的长.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.
【详解】
解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，
故选：A.
本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.
2、A
【解析】
利用导数判断出在上递增，而，由此将不等式转化为，然后利用单调性列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由，故函数在上单调递增，
又由，
故不等式可化为，，得，
解得．故选A.
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查对数不等式的解法，属于基础题.
3、A
【解析】
本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．
【详解】
因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．

利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；
4、C
【解析】
函数关于轴对称的解析式为，则它与在有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到.
【详解】
函数关于轴对称的解析式为，
函数，两个函数的图象如图所示：

若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上，
所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点，
所以，故选C.
本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量.
5、D
【解析】
选项逐一分析，得到正确答案.
【详解】
A.正确，垂直于同一条直线的两个平面平行；
B.正确，垂直于同一个平面的两条直线平行；
C.正确，因为平面内存在直线，使，若，则，则；
D.不正确，有可能.
故选D.
本题重点考查了平行和垂直的概念辨析问题，属于简单题型.
6、C
【解析】
先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.
再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，
由古典概型的概率公式得P=.
故答案为：C
本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7、A
【解析】
通过类比的方法得到直线方程是，代入数据得到答案.
【详解】
所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，
可求得双曲线的所平分的弦所在的直线方程是
代入数据，得到：
故答案选A
本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.
8、A
【解析】
由得且，把代入二次方程求得，最后对的值进行检验.
【详解】
因为，所以且，
所以，解得.
当时，，显然，所以成立，故选A.
本题考查集合的交运算，注意求出参数的值后要记得检验.
9、C
【解析】
由题意，，所以，得，
所以命题为假命题，
又因为是的逆命题，所以命题：若，则为真命题，故选C.
10、D
【解析】
因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近>0，-2的右侧<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，排除BC，当x<-2且在-2的左侧附近时，，排除AC，
故选D
11、B
【解析】
由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由图可知，，
，
复数的共轭复数是．
故选：．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
12、B
【解析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设,
则、、、、，，
、，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，有15种选法，因为正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为，易知其中两条棱互相垂直的选法共有6种，所以所求概率为
14、150
【解析】
先计算出速度在以下的频率，然后再计算出车辆的数量
【详解】
因为速度在以下的频率为，
所以速度在以下的汽车有.
本题考查了频率分布直方图的应用求解实际问题，先计算出频率，然后再计算出结果，较为简单
15、
【解析】
利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部.
【详解】
令,
,
得, ,
.
故答案为：
本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前项和公式,考查了乘方运算的性质,考查了数学运算能力.
16、5
【解析】
先记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.
【详解】
记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，
由题意可得，所以.
因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖，
抽取活动奖金的可能取值为，
所以期望为.
故答案为5
本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】
（1）将曲线的极坐标方程转化为由此可求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入到中，设，对应的参数分别为，，利用韦达定理能求出的值.
【详解】
解：（1）根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，
曲线的极坐标方程为，则，
即.
故曲线的直角坐标方程为.
（2）直线的普通方程为，
点在直线上，且倾斜角为，
将直线参数方程（为参数），
代入到曲线的直角坐标方程得：，
设，对应的参数分别为，，
则，
由曲线的几何意义知：.
本题考查曲线的极坐标方程，考查两线段长的平方和的求法，考查运算求解能力，考查与化归转化思想，是中档题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由为参数），消去参数，得曲线的普通方程，然后利用伸缩与平移变换可得的普通方程；
（2）分别把代入与的极坐标方程，求得，的值，则的值可求．
【详解】
（1）将代入直线l的方程，
得：
化简得直线l的极坐标方程为.
由曲线C的参数方程消去参数得曲线C的普通方程为：，
伸缩变换，即，
代入，得，即
故曲线的普通方程为：.
（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程为，
将（）代入，得，
将（）代入得，
故.
本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．
19、（1） （2）
【解析】
（1）利用求出当时的通项，根据为等比数列得到的值后可得 .
（2）利用分组求和法可求的前项和.
【详解】
（1）因为，
当时，，当时，，
所以，
因为数列是等比数列，所以对也成立，
所以，即.
（2）由（1）可得，
因为，所以，
所以，
即.
（1）数列的通项与前项和 的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.
（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
20、（1） ，（2）见解析
【解析】
分析：（1）当时，，，
令，可得或， 列表可求函数在上的最大值和最小值；
（2）由题意
，
分类讨论可求函数的单调性.
详解：
（1）当时，，，
令，可得或，
则有：

减
极小值
增
极大值
减

因为，，
所以 ，.
（2）
，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；
当时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.
点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.
21、（1），；（2）．
【解析】
分析：（1）由题意，当时，，当时，化简得，得数列是首项为1，公比为2等比数列，即可求解，进而得到；
（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和．
详解：（1）当时，
当时，

相减得

∴数列是首项为1，公比为2等比数列………………3分
……………………4分
∴
∴ ……………………6分
（2）……………………7分

……………………8分
相减得

……………………12分
点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
22、（1）（2）
【解析】
（1）通过正弦定理和余弦定理即可得到答案；
（2）在中使用余弦定理即可得到的长.
【详解】
（1）因为
所以由正弦定理得：
由余弦定理得：
又，所以
（2）由，，，得：
所以

在中，，所以
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的实际应用，意在考查学生的转化能力，
分析能力及计算能力，难度不大.