2024-2025学年云南省育能高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2024-2025学年云南省育能高级中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列前9项的和为27，，则
A．100 B．99 C．98 D．97
2．数列中， ， （），那么（ ）
A．1 B．-2 C．3 D．-3
3．已知下列说法：
①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；
②甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；
③对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；
④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（ ）
A．-1或2 B．0或2 C．2 D．1
5．设直线与圆交于A，B两点，圆心为C，若为直角三角形，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．0或4
6．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为( )
A． B． C． D．
7．求值：4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A． B． C． D．2－1
8．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）

A． B． C． D．
9．命题“ ， ”的否定为(　　)
A． B．
C． ， D．，
10．复数 (为虚数单位)的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
11．直线与相切,实数的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A．3 B．4 C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列中，有，，数列前项和为，且则_______．
14．如图所示，直线分抛物线与轴所围图形为面积相等的两部分，则的值为__________．

15．已知复数z＝，其中i是虚数单位，则z的实部为________．
16．若实数，满足约束条件，则的最大值是.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中国绿化基金会的支持下，库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达，从2018年开始，每年将出现这样的情况，上一年底沙漠面积的被栽上树改造为绿洲，而同时，上一年底绿洲面积的又被侵蚀，变为沙漠.
（1）设库布齐沙漠面积为1，由绿洲面积和沙漠面积构成.2017年底绿洲面积为，经过1年绿洲面积为，经过n年绿洲面积为，试用表示；
（2）问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过（年数取整数）.
18．（12分）已知函数.
（1）已知函数只有一个零点，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19．（12分）国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分（满分100分），他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：

（1）请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，并说明理由；
（2）从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率．
（参考数据：，）
20．（12分）在二项式的展开式中，二项式系数之和为256，求展开式中所有有理项.
21．（12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示

(1) 求的值
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；
（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.
22．（10分）已知函数在 与 处都取得极值．
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
试题分析：由已知，所以故选C.
【考点】等差数列及其运算
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
2、A
【解析】
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴是以6为周期的周期数列.
∵2019=336×6+3，
∴．
故选B.
3、B
【解析】
根据回归分析、独立性检验相关结论来对题中几个命题的真假进行判断。
【详解】
对于命题①，对于回归直线，变量增加一个单位时，平均减少个单位，命题①错误；
对于命题②，相关指数越大，拟合效果越好，则模型甲的拟合效果更好，命题②正确；
对于命题③，对分类变量与，随机变量的观测值越大，根据临界值表，则犯错误的概率就越小，则判断“与有关系”的把握程度越高，命题③正确；
对于命题④，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系的绝对值越接近于，命题④错误.
故选：B.
本题考查回归分析、独立性检验相关概念的理解，意在考查学生对这些基础知识的理解和掌握情况，属于基础题。
4、C
【解析】
分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．
详解：由，得 ，
∵是正项等差数列，
∴
，
∵是等比数列，
则，即
故选：D．
点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．
5、D
【解析】
是等腰三角形，若为直角三角形，则，求出圆心到直线的距离，则．
【详解】
圆心为，半径为，，∵为直角三角形，∴，而，∴，即，或4.
故选：D.
本题考查直线与圆的位置关系．在直线与圆相交问题中垂径定理常常要用到．
6、B
【解析】
分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.
【详解】
由题意知，当时，
有，
当时，
等式的左边为，
所以左边要增乘的代数式为.
故选：.
本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.
7、C
【解析】
原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．
【详解】
4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=
==
===．
故选C．
本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
8、D
【解析】
由面积公式分别计算出正六边形与圆的面积，由几何概型的概率计算公式即可得到答案
【详解】
由图可知：，
故选D.
本题考查几何概型，属于基础题。
9、A
【解析】
分析：全称命题的否定是特称命题，直接写出结果即可．
详解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是∃x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，
故选：A．
点睛：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的否定与否命题的区别．命题的否定是既否结论，又否条件；否命题是只否结论.
10、D
【解析】
化简，由共轭复数的定义即可得到答案。
【详解】
由于 ，所以的共轭复数是，
故答案选D.
本题考查复数乘除法公式以及共轭复数的定义。
11、B
【解析】
利用切线斜率等于导数值可求得切点横坐标，代入可求得切点坐标，将切点坐标代入可求得结果.
【详解】
由得：
与相切 切点横坐标为：
切点纵坐标为：，即切点坐标为：
，解得：
本题正确选项：
本题考查导数的几何意义的应用，关键是能够利用切线斜率求得切点坐标.
12、B
【解析】
解析：考察均值不等式，整理得即，又，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先根据是等比数列得到，根据代入求出的值，再根据求即可.
【详解】
因为是等比数列， ，所以.
又因为，所以.
因为，，所以.
则.
当时，，，
即：，是以首项，的等比数列.
所以.
故答案为：
本题主要考查根据求数列的通项公式，同时考查等比中项的性质，属于中档题.
14、
【解析】
根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可.
【详解】
联立 或.由图易得

由题设得,
即.
即
化简得.
解得.
故答案为：
本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.
15、
【解析】
分析：先化简复数z＝,再确定复数z的实部.
详解：由题得z＝=，所以复数z的实部为，故答案为.
点睛：(1)本题主要考查复数的运算和复数的实部的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.
16、
【解析】
试题分析：画出不等式组表示的平面区域为下图中的阴影部分，

看作两点，连线的斜率，根据上图可求最大值为
考点：线性规划。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）至少需要经过5年的努力.
【解析】
（1）根据变化规律确定与关系；
（2）先根据递推关系构造一个等比数列，再求得，最后解不等式得结果.
【详解】
（1）第n+1年绿洲面积由上一年即第n年绿洲面积、增加上一年底沙漠面积的以及减少上一年底绿洲面积的这三部分构成，即
（2）
所以数列构成以为首项，为公比的等比数列，
因此
由得
因此至少需要经过年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过
本题考查数列递推关系式、等比数列定义以及解指数不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
18、（1）或；（2）
【解析】
(1)先求导，再对a分类讨论，研究函数的图像，求得a的取值范围.(2)先转化得到，再构造函数，再利用导数求函数g(x)的最大值得a的取值范围.
【详解】
（1），定义域为
① 若则，在上为增函数
因为，有一个零点，所以符合题意；
② 若 令，得，此时单调递增，单调递减
的极大值为，因为只有一个零点，所以，
即，所以
综上所述或.
（2）因为，使得，所以
令，即，因为
设，，所以在单调递减，又
故函数在单调递增，单调递减，的最大值为，
故答案为：.
(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第2问的解题关键有两点，其一是分离参数转化为，其二是构造函数，再利用导数求函数g(x)的最大值得a的取值范围.
19、（1）乙城市，理由见解析；（2）
【解析】
（1）求出甲已两个城市的打分平均数及方差，根据大小判断即可；
（2）设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，根据条件概率公式求解即可.
【详解】
（1）甲城市的打分平均数为：，
乙城市的打分平均数为：，
则甲城市的打分的方差为：

乙城市的打分的方差为：
甲乙两城市的打分平均数的平均数相同，但是乙城市打分波动更小，故乙城市更应该入围“国家文明城市”；
（2）由茎叶图可得，分数在80分以上的甲城市有4个，乙城市有5个．
设事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，有大于80分的分数”，
事件“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2个，乙城市的分数都小于80分”，
则，
因为，
，
所以.
本题考核方差，平均数的计算，考查条件概率的求解，是中档题.
20、答案见解析
【解析】
由题意首先求得n的值，然后结合展开式的通项公式即可确定展开式中所有有理项.
【详解】
由题意可得：，解得：，
则展开式的通项公式为：，
由于且，故当时展开式为有理项，分别为：
，，
.
(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
21、 (1) (2) （3）
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图求出的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，由条件概率公式得到所求概率；（3）的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到的分布列与期望.
试题解析：
（1）由，得，
（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.
设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件， 则
（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的
概率为 的可能取值为0，1，2，3.
，
，
所以的分布列为

，
22、（1）；单调增区间是，减区间是；（2）.
【解析】
(1)，即可求出函数的解析式,再利用导数求函数的单调区间.(2)比较函数的极值和端点函数值的大小即得函数 在区间的最大值与最小值．
【详解】
（1）因为，所以,
由，
,
,
令或，，
所以单调增区间是减区间是.
（2）由（1）可知，

+
0
-
0
+

递增
极大
递减
极小
递增
极小值 ，极大值
而，
可得.
（1）本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，利用导数研究函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数在闭区间上的最值，只要比较极值和端点函数值的大小.