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十字相乘法分解因式
同学们都知道，型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？
观察=，可知=。
这就是说，对于二次三项式，如果常数项b可以分解为p、q的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。
下面举例具体说明怎样进行分解因式。
例1、       因式分解。
分析：因为
          7x  +  (-8x) =-x
解：原式=（x+7）（x-8）
例2、       因式分解。
分析：因为 
            -2x+（-8x）=-10x
解：原式=（x-2）（x-8）
例3、       因式分解。
分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。
      因为
          9y  +  10y=19y
解：原式=（2y+3）（3y+5）
例4、       因式分解。
分析：因为
          21x + (-18x)=3x
解：原式=（2x+3）（7x-9）
例5、       因式分解。
分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
因为
 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）
解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]
        =（2x-1）（5x+8）
例6、       因式分解。
分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。
因为                      
-2+[-12]=-14     a  +  (-2a)=-a    3a  +（-4a）=-a
解：原式=[-2][ -12]
        =(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。但要注意，并不是所有的二次三项式都能进行因式分解，如在实数范围内就不能再进一步因式分解了
十字相乘法分解因式
1．二次三项式
（1）多项式，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．
例如：和都是关于x的二次三项式．
（2）在多项式中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容
(1)对于二次项系数为1的二次三项式
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
二、典型例题
例1 把下列各式分解因式：
(1)； (2)．

例2 把下列各式分解因式：
(1)； (2)．

例3 把下列各式分解因式：
(1)； (2)；

(3)．

例4 分解因式：．

例5 分解因式．

例6 分解因式．

例7 分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

例8、已知有一个因式是，求a值和这个多项式的其他因式．

试一试：
把下列各式分解因式：
(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7)

(8) (9) (10)

课后练习
一、选择题
1．如果，那么p等于 (　)
A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)
2．如果，则b为 (　)
A．5 B．－6 C．－5 D．6
3．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 (　)
A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是 (　)
A． B． C． D．
5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 (　)
A． B．
C． D．
6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有 (　)
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．__________．
8．(m＋a)(m＋b)． a＝__________，b＝__________．
9．(x－3)(__________)．
10．____(x－y)(__________)．
11．．
12．当k＝______时，多项式有一个因式为(__________)．
13．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．
三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)；

(4)； (5)； (6)．

15．把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)；

(4)；(5)；(6)．

16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．