不等式第一章不等关系与不等式.doc

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主题三 不等式
第一章 不等关系与不等式
一、不等式的定义
用不等号（“>”或“<”或“”或“”）连接两个数（式）所成的式子叫不等式。
二、两个实数比较大小的依据
1、如果是正数，那么，如果的等于零，那么，如果是负数，那么，反之亦对，也可以表示为。
2、从上面依据可知，比较两个实数大小可用作差法。
例1：①比较和的大小；

②比较与的大小；

③比较和1的大小。

例2：①当为整数且时，试比较代数式与的大小；

②已知，求证；

③已知，且，试比较和的大小。（提示：）

三、不等式的性质
性质1（对称性）：如果，那么；如果，那么。
性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向。我们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2（传递性）：如果，且，则。
我们把性质2所描述的不等式的性质称为不等式的传递性。
性质3（加法法则）：如果，则。
性质3表明，不等式两边都加上一个实数，所得到的不等式与原不等式同向，由性质3很容易得出，由此得到：
推论1（移项法则）：不等式的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。
我们称推论1为不等式的移向法则。
推论2（同向可加性）：如果，则。
我们把和（或和）这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式。推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。很明显，推论2可以推广为更一般的结论：
几个同向不等式分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。
性质4（乘法法则）：如果，则；如果，则。
推论1（正值同向可乘性）：如果，则。
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向。
推论2（乘方法则）：如果，则。
推论3（开方法则）：如果，则。
不等式取倒数的性质：，则。即符号相同的两个数取倒数，大的倒数反而小。
例1：对于实数，判断下列命题的真假：
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则 （4）若,则；
（5）若，则。
例2：应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知，求证：；

（2）已知，求证：；

（3）已知，求证：。

例3：用“”、“<”或“”号填空：
（1） ； （2） ；
（3）当 0时，； （4）当 0时，；
（5） 0。
例4：用不等号“<”或“>”填空：
（1）如果，则 ；
（2）如果，则 ；
（3）如果，则 。
例5：证明下列不等式：
（1）已知，求证；

（2）已知 ，求证：；

（3）已知，求证：。

例6：已知，求各自的取值范围。

四、不等式的性质相关题目
1、比较下列两组数的大小：
（1）与

（2）与

2、比较下列各题中两个代数式值的大小：
（1）与

（2）与

（3）与

（4）和

（5）与

3、用不等式的性质证明：
（1）；

（2）；

（3）

4、已知，，求下列各式的取值范围：
（1）
（2）
5、已知，，是比较与的大小。

6、设是三个正数中最大的数，且，是比较与的大小。（提示：设比值为，先判断的大小，再判断与的差的符号。）

7、对于实数判断下列命题的真假：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则
（4）若则， ；
（5）若，则。
8、如果，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
9、已知，，求及的范围。

10、已知，且，，求的取值范围。

11、已知，比较与的大小

12、设，，比较与的大小。

13、比较与（为不相等的正数）的大小

14、已知均为正数，，比较与的大小。

15、设，，试比较与的大小。

16、比较3与的大小。

17、已知，，比较与的大小。

18、已知为不等正数，试比较
与的大小。

19、已知且，，比较和的大小。

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