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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,数学物理方法,教材及参考书：,数学物理方法,梁昆淼，高等教育出版社。,数学物理方法,邵惠民，科学出版社。,主讲：侯春风,哈尔滨工业大学物理系,第1页,数学物理方法,试验,唯象理论基本理论数学,数学物理方法,:,构建数学物理模型，研究处理方法。,数学和物理有机结合。,1.,复变函数篇,2.,数学物理方程篇,第2页,第一章 复变函数,第二章 复变函数积分,第三章 幂级数展开,第四章 留数定理,第五章 傅里叶变换,第六章 拉普拉斯变换,第一篇 复变函数论,第3页,1.1,复数与复数运算,十九世纪三位代表性人物：,柯西（,Cauchy,1789,-,1857,）,维尔斯特拉斯,（,Weierstrass,1815,-,1897,）,黎曼（,Rieman,1826,-,1866,）,柯西和维尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数，,黎曼研究复变函数映像性质，建立了系统复变函数论。,实数领域中不能解释问题：,负数不能开偶数次方，负数没有对数，指数函数无周期性，正弦、余弦函数绝对值不能超出,1,，,实数,复数,实变函数,复变函数,第一章 复变函数,第4页,复数,：,实部,x,，记,Re,z,；虚部,y,，,记,Im,z,。,x,2,=,-,1,无,实数解，引入,i,2,=,-,1,，,i,称为虚数单位,y,x,(,x,y,),x,第5页,欧拉公式：,第6页,极坐标：,指数式、三角式：,称为复数模，,记 作,|,z,|,；,称为,辐角，记作,Arg,z,。,共轭复数：,一个复数辐角能够取无穷多个值，而且彼此相差,2,整数倍，,通常把满足条件,一个特定值称为,Argz,主值，或,z,主辐角，于是有：,第7页,零；无限远点,x,y,0,x+,i,y,复球面（复数球）,测地投影,第8页,复数四则运算：,复数四则运算满足交换律、结合律和分配律。,第9页,二项式定理：,例：求以下方程所表示曲线：,|,z,+i|=2;,2)|,z,-2i|=|,z,+2|;,3)Im(i+,z,*)=4.,例：,(1+i),1/4,=?,讨论：,第10页,1.2,复变函数,邻域,：以复数,z,0,为圆心，任意小正实数,为半径作圆,:,|,z,-,z,0,|,，则圆内全部点集合称为,z,0,邻域,。,去心邻域,：,0|,z,-,z,0,|,所确定点集。,内点,:,若,z,0,及其邻域均属于平面点集,E,则称,z,0,为该点集内点。,外点,:,若,z,0,及其邻域均不属于点集,E,则称,z,0,为该点集外点。,境界点,：,若在,z,0,每个邻域内，现有属于,E,点，又有不属于,E,点，则称,z,0,为,点集,E,境界点，它既不是内点也不是外点，其全体称为,境界限,。,第11页,区域,：指同时满足以下两个条件点集：,(1),全由内点组成；,(2),含有连通性，即点集中任意两点都能够用一条折线连接起来，且折线点全都属于该点集。,闭区域,：区域及其境界限所组成点集称为闭区域。,注：与闭区域相比较，把不含边界区域,B,称为开区域。而且若无特殊申明所谓区域均指开区域。闭区域需明确指出。有界和无界。,第12页,平面曲线,：对于在,a,b,上定义函数,z,(,t,)=,x,(,t,)+i,y,(,t,),，当,x,(,t,),和,y,(,t,),连续时，其轨迹称为,z,平面上曲线。,简单曲线,：没有重点连续曲线。,开曲线,：在上述定义中，若,z,(,a,),z,(,b,),，则称为开曲线。,闭曲线,：在上述定义中，若,z,(,a,),=,z,(,b,),，则称为闭曲线。,开曲线,闭曲线,第13页,单连通区域,：复平面上一个区域,B,，在其中任作一条简单闭曲线，若曲线内部总属于,B,，就称为单连通区域，或单连通域，,简称为,单通区域（或单通域）。,复连通区域,单连通区域,复连通区域,：若一个区域不是单连通区域，就称为复连通区域，或复连通域，简称复通区域（或复通域）。,普通来说，在区域内，只要有一个简单闭合曲线其内有不属于该区域点，这么区域便是复通区域。,单连通区域和复连通区域一个主要区分是：,在单连通区域中，任一闭合曲线总可经过连续变形收缩成一点。,第14页,复变函数,定义：,设,E,是复平面上一个点集,(,复数,z,=,x,+i,y,集合,),，假如对于,E,中每个复数,z,，按照一定法则,f,，有一个或多个复数,w,=,u,+i,v,与之对应，则称复变量,w,为复变数,z,函数，记作,w,=,f,(,z,),，,z,E,。,单值函数,:,一个,z,一个,w,多值函数,:,一个,z,多个,w,其中，,E,称为函数定义域，,z,称为函数自变量、因变量或宗量。函数值全体所组成集合称为函数值域。,第15页,复变,函数极限,设函数,w,=,f,(,z,),定义在,z,0,去心邻域,0|,z,-,z,0,|0,，对应地必有一正数,(,),(0,),，使得当,0|,z,-,z,0,|,时有,|,f,(,z,)-,A,|,，那么称,A,为,f,(,z,),当,z,趋于,z,0,极限，即,z,z,0,时，,f,(,z,),A,，记,x,0,x,y,y,0,z,0,A,(,),z,f,(,z,),定理：设,则 充要条件是,第16页,定理 假如 ，则有,例：证实函数,f,(,z,)=Re(,z,)/|,z,|,当,z,0,时极限不存在。,第17页,函数连续性,定理,:,函数,f,(,z,),在,z,0,处连续,充要条件是,u,(,x,y,),和,v,(,x,y,),在,(,x,0,y,0,),处连续。,定理,1),在,z,0,连续,两个,函数,f,(,z,),与,g,(,z,),和、差、积、商,(,分母不为零,),也在,z,0,处连续；,2),函数,h,=,g,(,z,),在,z,0,连续，函数,w,=,f,(,h,),在,h,0,=,g,(,z,0,),处连续，那么复合函数,w,=,f,g,(,z,),在,z,0,处连续。,假如,f,(,z,),在区域,B,内处处连续，则称,f,(,z,),在,B,内连续。,假如 则称,复变函数,f,(,z,),在点,z,0,处连续。,第18页,周期,2,i,周期,2,模能够大于,1,周期,2,i,复变函数例,第19页,1.3,导数,函数,w,=,f,(,z,),在,z,0,处可导与可微是等价，,复变函数导数定义,函数,w,=,f,(,z,),定义于区域,B,，,z,0,为,B,内一点，点,z,0,+,z,B,，,假如极限 存在，而且与,z,0,方式无关，,则称函数,f,(,z,),在点,z,0,可导，此极限值称为,f,(,z,),在点,z,0,导数，记为：,假如,f,(,z,),在区域,B,内处处可导，称,f,(,z,),在,B,内可导。,连续不一定可导；可导必定连续。,第20页,导数模,伸缩率,导数幅角,旋转角,第21页,例：讨论函数,f,(,z,),=z*,在复平面上可导性,.,沿平行于实轴方向趋于零,沿平行于虚轴方向趋于零,所以导数不存在，原函数在复平面上处处不可导。,课堂练习：求,f,(,z,)=,z,2,导数；,f,(,z,)=,x,+2,y,i,是否可导？,第22页,求导法则：,(,若,z=,(,w,),是函数,w=f,(,z,),反函数,且,f,(,z,),0,),第23页,复变函数可导,必要条件,:,柯西,黎曼条件,(C-R,条件,),z,沿平行于实轴方向趋于零,z,沿平行于虚轴方向趋于零,两式相等，可得,柯西,黎曼条件：,第24页,柯西,黎曼条件,(C-R,条件,),是函数,f,(,z,),可导,必要条件，但不是充分条件。,例：利用柯西,黎曼条件讨论函数,f,(,z,),=z*,可导性。,不满足柯西,黎曼条件，所以不可导。,第25页,例：讨论函数 在,z,0,=0,处可导性。,满足柯西,黎曼条件,极限值因,k,而异，故原函数在,z,0,=0,处不可导。,函数,f,(,z,)=,u,+i,v,可导,充分必要条件,是：,偏导数 存在，且连续，并满足,C-R,条件。,第26页,极坐标形式柯西,黎曼条件：,若用,和,分别表示,z,模和辐角，若函数,f,(,z,),=u,(,),+,i,v,(,),可导，则,u,(,),与,v,(,),满足极坐标形式柯西黎曼条件,第27页,假如函数,f,(,z,),在,z,0,及其邻域内处处可导，则称,f,(,z,),在,z,0,点解析。假如,f,(,z,),在区域,B,内每一点解析，则称,f,(,z,),在,B,内解析，或称,f,(,z,),是,B,内解析函数（又称为全纯函数或正则函数）。,函数,f,(,z,),在某点,z,0,解析，是指,f,(,z,),在,z,0,点及其邻域内可导。,假如,f,(,z,),在,z,0,点不解析，那么称,z,0,点为,f,(,z,),奇点。,1.4,解析函数,f,(,z,),在,B,内解析,f,(,z,),在,B,内可导,f,(,z,),在,z,0,点解析,f,(,z,),在,z,0,点可导,f,(,z,),在,z,0,点连续,第28页,例：讨论以下函数在复平面可导与解析性：,第29页,课堂练习：讨论以下函数在复平面可导与解析性：,定理：函数,f,(,z,)=,u,+i,v,在其定义域,B,内解析充要条件是：,u,(,x,y,),和,v,(,x,y,),在,B,内可微，而且满足柯西,黎曼条件,u,x,=,v,y,u,y,=-,v,x,。,定理：,1),在区域,B,内解析,两个,函数,f,(,z,),与,g(x),和、差、积、商,(,除去分母为零点,),在,B,内解析；,2),函数,h,=,g,(,z,),在,z,平面上区域,B,内解析，函数,w,=,f,(,h,),在,h,平面上区域,G,内解析。假如对,B,内每个点,z,，函数,g,(,z,),对应值,h,都属于,G,，那么复合函数,w,=,f,g,(,z,),在区域,B,内解析。,第30页,性质：,1),若函数,f,(z)=,u,+i,v,在区域,B,上解析，则,u,(,x,y,),=c,1,，,v,(,x,y,),=c,2,是,B,上两组相互正交曲线族，其中,c,1,，,c,2,为常数,.,例：,f,(,z,),=z,2,C-R,条件,u,和,v,分别是,u,(,x,y,),=c,1,和,v,(,x,y,),=c,2,法向矢量，所以上式表明,u,(,x,y,),=c,1,和,v,(,x,y,),=c,2,是,B,上两组相互正交曲线族。,第31页,2),若函数,f,(z)=,u,+i,v,在区域,B,上解析，则,u,(,x,y,),，,v,(,x,y,),是,B,上调和函数。,若函数,H,(,x,y,),在区域,B,上有二阶连续偏导数，且,2,H,=0,，,则称,H,(,x,y,),是,B,上调和函数。,u,(,x,y,),和,v,(,x,y,),都,是调和函数。,第32页,讨论：,1),任何在区域,B,内解析函数，其实部和虚部都是,B,内调和函数，,因为它们是同一个复变函数实部和虚部，所以又叫作共轭调和函数,。,2),假如在区域内任选两个调和函数,u,和,v,，则函数,f,(,z,)=,u,+i,v,在区域内不一定是解析函数。只有当,u,和,v,还满足对应,C-R,条件，对应函数,f,(,z,)=,u,+i,v,在区域内才解析,(,而,v,+i,u,却不一定解析,),。,3),由此提供了组成一个解析函数方法，即由一个调和函数，利用柯西黎曼条件可求出另一个与之共轭调和函数，再由这一对共轭调和函数构建出一个解析函数。,第33页,解析函数实部和虚部存在一定关联，所以由一个解析函数实部或虚部即可确定该解析函数，详细方法以下：,(1),曲线积分法,全微分积分与路径无关，故可选取特殊积分路径，经过积分计算出待求函数。,(2),凑全微分显式法,(3),不定积分法,例：已知解析函数,f,(,z,),实部,u,(,x,y,)=,x,2,-y,2,求虚部和这个解析函数。,0,(,x,y,),(,x,0),x,y,第34页,一些常见初等解析函数,复平面内处处单值且解析,除原点及正实轴外复平面解析,第35页,
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