同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章-导数与微分.pdf

高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第二章第二章导数与微分导数与微分教学目的：教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。2.1 导数概念导数概念 一、引例一、引例 1直线运动的速度直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t)求动点在时刻 t0的速度 考虑比值 0000)()(tttftfttss这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令 t t00 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室取比值的极限 如果这个极限存在 设为 v 即00)()(tttftf 00)()(lim0tttftfvtt这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0的速度 2切线问题切线问题 设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时 如果割线绕点旋转而趋于极限位置 MT 直线就称为曲线有点处的切线 设曲线 C 就是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0,y0)(y0f(x0)处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x,y)于是割线 MN 的斜率为 0000)()(tanxxxfxfxxyy其中为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0时 上式的极限存在 设为 k 即 00)()(lim0 xxxfxfkxx存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中是切线 MT 的倾角 于是 通过点 M(x0,f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义二、导数的定义 1 函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 00)()(lim0 xxxfxfxx令xxx0 则yf(x0 x)f(x0)f(x)f(x0)xx0相当于x 0 于是00)()(lim0 xxxfxfxx成为 或 xyx0limxxfxxfx)()(lim000 定义定义 设函数 yf(x)在点 x0的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0处取得增量x(点x0 x 仍在该邻域内)时 相应地函数 y 取得增量yf(x0 x)f(x0)如果y 与x 之比当x0时的极限存在 则称函数 yf(x)在点 x0处可导 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0处的导数 记为 即0|xxy xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室也可记为 或 0|xxy0 xxdxdy0)(xxdxxdf 函数 f(x)在点 x0处可导有时也说成 f(x)在点 x0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限不存在 就说函数 yf(x)在点 x0处不可导 xxfxxfx)()(lim000 如果不可导的原因是由于 xxfxxfx)()(lim000也往往说函数 yf(x)在点 x0处的导数为无穷大 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导 这时 对于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数 记作 或 y)(xfdxdydxxdf)(导函数的定义式导函数的定义式 xxfxxfyx)()(lim0hxfhxfh)()(lim0 f(x0)与 f(x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x)就是导函数 f(x)在点 xx0处的函数值 即 0)()(0 xxxfxf 导函数 f(x)简称导数 而 f(x0)是 f(x)在 x0处的导数或导数 f(x)在 x0处的值 左右导数 所列极限存在 则定义 f(x)在的左导数0 xhxfhxfxfh)()(lim)(0000 f(x)在的右导数0 xhxfhxfxfh)()(lim)(0000 如果极限存在则称此极限值为函数在 x0的左导数hxfhxfh)()(lim000 如果极限存在则称此极限值为函数在 x0的右导数hxfhxfh)()(lim000导数与左右导数的关系Axf)(0Axfxf)()(00高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 2求导数举例求导数举例 例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解 hxfhxfxfh)()(lim)(00lim0hCCh即(C)0 例 2 求的导数 xxf1)(解 hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(002001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh 例 3 求的导数xxf)(解 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 例 2求函数 f(x)x n(n 为正整数)在 xa 处的导数 解 f(a)(x n1ax n2 a n1)na n1 axafxfax)()(limaxaxnnaxlimaxlim把以上结果中的 a 换成 x 得 f(x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 21)1(xxxx21)(1)(xx 更一般地 有(x)x 1 其中为常数 例 3求函数 f(x)sin x 的导数 解 f(x)hxfhxfh)()(lim0hxhxhsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0hhxhh xhhhxhcos22sin)2cos(lim0即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x)sin x 例 4求函数 f(x)a x(a0 a 1)的导数 解 f(x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0lim高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 haahhx1lim0tah1令)1(loglim0ttaatx aaeaxaxlnlog1 特别地有(e x)e x 例 5求函数 f(x)log a x(a0 a 1)的导数 解 hxhxhxfhxfxfaahhlog)(loglim)()(lim)(00hxahahahxhxxhhxxxhxh)1(loglim1)1(loglim1)(log1lim000 axexaln1log1 解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1(log1lim0 xhhah hxahxhx)1(loglim10axexaln1log1即 axxaln1)(log 特殊地 xx1)(ln axxaln1)(logxx1)(ln 3单侧导数导数 极限存在的充分必要条件是hxfhxfh)()(lim0 及hxfhxfh)()(lim0hxfhxfh)()(lim0都存在且相等 f(x)在处的左导数 0 xhxfhxfxfh)()(lim)(00 f(x)在处的右导数 0 xhxfhxfxfh)()(lim)(00 导数与左右导数的关系导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0处可导的充分必要条件是左导数左导数 f(x0)和右导数 f(x0)都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a,b)内可导 且右导数 f(a)和左导数 f(b)都存在 就说 f(x)有闭区间a,b上可导 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 6求函数 f(x)x|在 x0 处的导数 解 1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh 1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh 因为 f(0)f(0)所以函数 f(x)|x|在 x0 处不可导 四、导数的几何意义四、导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0,f(x0)处的切线的斜率 即 f(x 0)tan 其中是切线的倾角 如果 yf(x)在点 x0处的导数为无穷大 这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 xx0为极限位置 即曲线 yf(x)在点 M(x0,f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0 由直线的点斜式方程 可知曲线 yf(x)在点 M(x0,y0)处的切线方程为 yy0f(x0)(xx0)过切点 M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 yf(x)在点 M 处的法线如果f(x0)0 法线的斜率为 从而法线方程为)(10 xf )()(1000 xxxfyy 例 8 求等边双曲线在点处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法xy1)2 ,21(线方程 解 所求切线及法线的斜率分别为21xy 4)1(2121xxk41112kk 所求切线方程为 即 4xy40)21(42xy 所求法线方程为 即 2x8y150 )21(412xy 例 9 求曲线的通过点(0 4)的切线方程 xxy 解 设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 0212302323)()(0 xxxxfxx于是所求切线的方程可设为 )(230000 xxxxxy 根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此 )0(2340000 xxxx解之得 x04 于是所求切线的方程为 即 3xy40)4(42344xy 四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系 设函数 yf(x)在点 x0 处可导 即存在 则)(lim00 xfxyx 00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx这就是说 函数 yf(x)在点 x0 处是连续的 所以 如果函数 yf(x)在点 x 处可导 则函数在该点必连续 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 例 7 函数在区间(,)内连续 但在点 x0 处不可导 这是因为函数在点3)(xxfx0 处导数为无穷大 hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30 2 2 函数的求导法则函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理定理 1 如果函数 uu(x)及 vv(x)在点 x 具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点 x 具有导数 并且 u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxux高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 证明(1)hxvxuhxvhxuxvxuh)()()()(lim)()(0 u(x)v(x)hxvhxvhxuhxuh)()()()(lim0 法则(1)可简单地表示为 (uv)uv (2)hxvxuhxvhxuxvxuh)()()()(lim)()(0 )()()()()()()()(1lim0 xvxuhxvxuhxvxuhxvhxuhh hxvhxvxuhxvhxuhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxuhxvhxuhxuhhh)()(lim)()(lim)()(lim000 u(x)v(x)u(x)v(x)其中v(xh)v(x)是由于 v(x)存在 故 v(x)在点 x 连续 0limh 法则(2)可简单地表示为 (uv)uvuv (3)hxvhxvhxvxuxvhxuhxvxuhxvhxuxvxuhh)()()()()()(lim)()()()(lim)()(00 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh )()()()()(2xvxvxuxvxu法则(3)可简单地表示为 2)(vvuvuvu (uv)uv(uv)uvuv 2)(vvuvuvu 定理 1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导 则有 (uvw)uvw (uvw)(uv)w(uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室即 (uvw)uvwuvwuvw 在法则(2)中 如果 vC(C 为常数)则有 (Cu)Cu 例 1y2x 35x 23x7 求 y 解 y(2x 35x 23x7)(2x 3)5x 2)3x)7)2(x 3)5 x 2)3 x)23x 252x36x 210 x3 例 2 求 f(x)及 2 sincos4)(3xxxf)2(f 解解 xxxxxfsin43)2(sin)cos4()()(23 443)2(2f 例 3ye x(sin xcos x)求 y 解 ye x)(sin xcos x)e x(sin xcos x)e x(sin xcos x)e x(cos x sin x)2e x cos x 例 4ytan x 求 y 解解 xxxxxxxxy2cos)(cossincos)(sin)cossin()(tanxxxxx22222seccos1cossincos即 (tan x)sec2x 例 5ysec x 求 y 解解 sec x tan x xxxxxy2cos)(cos1cos)1()cos1()(secxx2cossin即 (sec x)sec x tan x 用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc2x (csc x)csc x cot x 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 Iy 内单调、可导且 f(y)0 那么它的反函数 yf 1(x)在对应区间 Ixx|xf(y)yIy内也可导 并且 或)(1)(1yfxfdydxdxdy1 简要证明 由于 xf(y)在 I y内单调、可导(从而连续)所以 xf(y)的反函数 yf 1(x)存在 且 f 1(x)在 I x内也单调、连续 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 任取 x I x 给 x 以增量x(x0 xxI x)由 yf 1(x)的单调性可知 yf 1(xx)f 1(x)0 于是 yxxy1因为 yf 1(x)连续 故 0lim0yx从而 )(11limlim)(001yfyxxyxfyx 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6设 xsin y 为直接函数 则 yarcsin x 是它的反函数 函数 xsin y 在2 ,2 y开区间内单调、可导 且)2 ,2(sin y)cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(1 1)内有 2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 类似地有 211)(arccosxx 例 7设 xtan y 为直接函数 则 yarctan x 是它的反函数 函数 xtan y 在)2 ,2(y区间内单调、可导 且)2 ,2(tan y)sec2 y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x()内有 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 类似地有 211)cotarc(xx 例 8 设 xa y(a0 a 1)为直接函数 则 yloga x 是它的反函数 函数 xa y在区间 I y()内单调、可导 且 (a y)a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x(0)内有 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 axaaaxyyaln1ln1)(1)(log 到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 lntan x、的导数怎样求？3xe 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 定理定理 3 如果 ug(x)在点 x 可导 函数 yf(u)在点 ug(x)可导 则复合函数 yfg(x)在点 x可导 且其导数为 或)()(xgufdxdydxdududydxdy 证明 当 ug(x)在 x 的某邻域内为常数时 y=f(x)也是常数 此时导数为零 结论自然成立 当 ug(x)在 x 的某邻域内不等于常数时 u0 此时有 xxgxxgxgxxgxgfxxgfxxgfxxgfxy)()()()()()()()(xxgxxguufuuf)()()()(=f(u)g(x)xxgxxguufuufxydxdyxux)()(lim)()(limlim000 简要证明 xuuyxydxdyxx00limlim)()(limlim00 xgufxuuyxu 例 9 求3xeydxdy 解 函数可看作是由 ye u ux3复合而成的 因此3xey 32233xuexxedxdududydxdy 例 10 求212sinxxydxdy 解 函数是由 ysin u 复合而成的 212sinxxy212xxu因此 2222222212cos)1()1(2)1()2()1(2cosxxxxxxxudxdududydxdy 对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例 11lnsin x 求 dxdy 解 )(sinsin1)sin(lnxxxdxdyxxxcotcossin1高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 12 求 3221xydxdy 解 )21()21(31)21(2322312xxxdxdy322)21(34xx 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设 yf(u)u(v)v(x)则 dxdvdvdududydxdududydxdy 例 13ylncos(e x)求 dxdy 解 )cos()cos(1)cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee 例 14 求 xey1sindxdy 解)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx xexx1cos11sin2 例 15 设 x0 证明幂函数的导数公式 (x)x 1 解 因为 x(e ln x)e ln x 所以 (x)(e ln x)e ln x(ln x)e ln x x1 x 1 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式 1基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x)x1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex(11)axxaln1)(log高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室(12)xx1)(ln(13)211)(arcsinxx(14)211)(arccosxx(15)211)(arctanxx(16)211)cotarc(xx 2函数的和、差、积、商的求导法则 设 uu(x)vv(x)都可导 则(1)(u v)uv(2)(C u)C u(3)(u v)uvuv(4)2)(vvuvuvu 3反函数的求导法则反函数的求导法则 设 xf(y)在区间 Iy 内单调、可导且 f(y)0 则它的反函数 yf 1(x)在 Ixf(Iy)内也可导 并且 或)(1)(1yfxfdydxdxdy1 4复合函数的求导法则复合函数的求导法则 设 yf(x)而 ug(x)且 f(u)及 g(x)都可导 则复合函数 yfg(x)的导数为 或 y(x)f(u)g(x)dxdududydxdy 例例 16 求双曲正弦 sh x 的导数.解 因为 所以)(21sh xxeex xeeeexxxxxch)(21)(21)sh(即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x 例例 17 求双曲正切 th x 的导数 解 因为 所以xxxch sh th 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 xxxx222chshch)(th x2ch1 例例 18 求反双曲正弦 arsh x 的导数 解 因为 所以)1ln(arsh 2xxx 22211)11(11)arsh(xxxxxx 由 可得)1ln(arch 2xxx11)arch(2xx 由 可得 xxx11ln21arth 211)arth(xx 类似地可得 11)arch(2xx211)arth(xx 例例 19ysin nxsinn x(n 为常数)求 y 解解 y(sin nx)sin n x+sin nx (sin n x)ncos nx sin n x+sin nx n sin n1 x(sin x)ncos nx sin n x+n sin n1 x cos x n sin n1 x sin(n+1)x 2.3 高阶导数高阶导数 一般地 函数 yf(x)的导数 yf(x)仍然是 x 的函数 我们把 yf(x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数 记作 y、f(x)或 22dxyd即 y(y)f(x)f(x)(22dxdydxddxyd 相应地 把 yf(x)的导数 f(x)叫做函数 yf(x)的一阶导数 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地(n1)阶导数的导数叫做 n 阶导数 分别记作 y y(4)y(n)或 33dxyd44dxydnndxyd 函数 f(x)具有 n 阶导数 也常说成函数 f(x)为 n 阶可导 如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数 那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于 n 阶的导数 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 y称为一阶导数 y y y(4)y(n)都称为高阶导数 例 1yax b 求 y 解 ya y0 例 2ssin t 求 s 解 s cos t s 2sin t 例 3证明 函数满足关系式 y 3y10 22xxy 证明 因为 22212222xxxxxxy 22222222)1(2xxxxxxxxy)2()2()1(22222xxxxxxx32321)2(1yxx所以 y 3y10 例 4求函数 yex 的 n 阶导数 解 yex yex yex y(4)ex 一般地 可得 y(n)ex 即 (ex)(n)ex 例 5求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数 解 ysin x )2 sin(cosxxy )2 2sin()2 2 sin()2 cos(xxxy )2 3sin()2 2 2sin()2 2cos(xxxy )2 4sin()2 3cos()4(xxy一般地 可得 即)2 sin()(nxyn)2 sin()(sin)(nxxn高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 用类似方法 可得)2 cos()(cos)(nxxn 例 6求对函数 ln(1x)的 n 阶导数 解解 yln(1x)y(1x)1 y(1x)2 y(1)(2)(1x)3 y(4)(1)(2)(3)(1x)4 一般地 可得 y(n)(1)(2)(n1)(1x)n nnxn)1()!1()1(1即 nnnxnx)1()!1()1()1ln(1)(例 6求幂函数 yx(是任意常数)的 n 阶导数公式 解 yx1 y(1)x2 y(1)(2)x3 y(4)(1)(2)(3)x4 一般地 可得 y(n)(1)(2)(n1)xn 即 (x)(n)(1)(2)(n1)xn 当n 时 得到 (xn)(n)(1)(2)3 2 1n!而 (x n)(n1)0 如果函数 uu(x)及 vv(x)都在点 x 处具有 n 阶导数 那么显然函数 u(x)v(x)也在点 x 处具有 n 阶导数 且 (uv)(n)u(n)v(n)(uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 用数学归纳法可以证明 nkkknknnvuCuv0)()()()(这一公式称为莱布尼茨公式 例 8yx2e2x 求 y(20)解 设 ue2x vx2 则 (u)(k)2k e2x(k1,2,20)v2x v2(v)(k)0(k3,4,20)代入莱布尼茨公式 得 y(20)(u v)(20)u(20)vC 201u(19)vC 202u(18)v 220e2x x220 219e2x 2x218e2x 2!21920高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 220e2x(x220 x95)2.4 隐函数的导数隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 显函数 形如 yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln x+e x 隐函数 由方程F(x y)0 所确定的函数称为隐函数 例如 方程 xy3 10 确定的隐函数为 y 31 xy 如果在方程 F(x y)0 中 当 x 取某区间内的任一值时 相应地总有满足这方程的唯一的高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室y 值存在 那么就说方程 F(x y)0 在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可能的 但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例例 1求由方程 e yxye0 所确定的隐函数 y 的导数 解 把方程两边的每一项对 x 求导数得 (e y)(xy)(e)(0)即 e y yyxy0 从而 (xe y0)yexyy 例例 2求由方程 y52yx3x70 所确定的隐函数 yf(x)在x0 处的导数 y|x0 解解 把方程两边分别对 x 求导数得 5yy2y121x 60由此得 2521146yxy 因为当 x0 时 从原方程得 y0 所以 21|25211|0460 xxyxy 例例 3 求椭圆在处的切线方程 191622yx)323 ,2(解解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导 得 0928yyx从而 yxy169 当 x2 时 代入上式得所求切线的斜率323y 43|2xyk 所求的切线方程为 即)2(43323xy03843 yx 解解 把椭圆方程的两边分别对 x 求导 得 0928yyx 将 x2 代入上式得323y高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 03141y于是 ky|x2 43 所求的切线方程为 即)2(43323xy03843yx 例例 4求由方程所确定的隐函数 y0sin21yyx的二阶导数 解解 方程两边对 x 求导 得 0cos211dxdyydxdy于是 ydxdycos22 上式两边再对 x 求导 得 3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 对数求导法对数求导法 这种方法是先在 yf(x)的两边取对数 然后再求出 y 的导数 设 yf(x)两边取对数 得 ln y ln f(x)两边对 x 求导 得 )(ln1xfyy y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数 yu(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数 例 5求 yx sin x(x0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln ysin x ln x 上式两边对 x 求导 得 xxxxyy1sinlncos1于是 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 yx sin xe sin xln x )sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx 例例 6 求函数的导数)4)(3()2)(1(xxxxy 解 先在两边取对数(假定 x4)得 ln yln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)21上式两边对 x 求导 得 )41312111(211xxxxyy于是 )41312111(2xxxxyy当 x1 时 当 2x3 时 )4)(3()2)(1(xxxxy)4)(3()2)(1(xxxxy用同样方法可得与上面相同的结果 注 严格来说 本题应分 x4 x1 2x3 三种情况讨论 但结果都是一样的 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程确定的 则称此函数关系所表达的函数为由)()(tytx参数方程所确定的函数 在实际问题中 需要计算由参数方程所确定的函数的导数 但从参数方程中消去参数 t 有时会有困难 因此 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数 设 x(t)具有单调连续反函数 t(x)且此反函数能与函数 y(t)构成复合函数y(x)若 x(t)和 y(t)都可导 则 )()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy即 或)()(ttdxdydtdxdtdydxdy若 x(t)和 y(t)都可导 则)()(ttdxdy 例例 7 求椭圆在相应于点处的切线方程 tbytaxsincos4 t高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解解 tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(所求切线的斜率为 abdxdyt4 切点的坐标为 224 cos0aax224sin0bby 切线方程为)22(22axabby即 bxayab 0 2 例例 8抛射体运动轨迹的参数方程为 22121gttvytvx求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 yv2t g t 2 解解 先求速度的大小 速度的水平分量与铅直分量分别为 x(t)v1 y(t)v2gt 所以抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 22)()(tytxv2221)(gtvv 再求速度的方向 设是切线的倾角 则轨道的切线方向为 12)()(tanvgtvtxtydxdy 已知 x(t),y(t)如何求二阶导数 y?由 x(t)()(ttdxdy dxdtttdtddxdydxddxyd)()()(22 )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(3ttttt 例例 9计算由摆线的参数方程所确定)cos1()sin(tayttax的函数 yf(x)的二阶导数 解解)()(txtydxdy)cos1(sin)sin()cos1(tatattata (t2n n 为整数)2cotcos1sinttt高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22 22)cos1(1)cos1(12sin21tatat(t2n n 为整数)三、相关变化率三、相关变化率 设 xx(t)及 yy(t)都是可导函数 而变量 x 与 y 间存在某种关系 从而变化率与间dtdxdtdy也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 例 10 一气球从离开观察员 500f 处离地面铅直上升 其速度为 140m/min(分)当气球高度为 500m 时 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升 t(秒)后 其高度为 h 观察员视线的仰角为 则 500tanh其中及 h 都是时间 t 的函数 上式两边对 t 求导 得dtdhdtd5001sec2 已知(米/秒)又当 h500(米)时 tan 1 sec2 2 代入上式得140dtdh14050012dtd所以 (弧度/秒)14.050070dtd即观察员视线的仰角增加率是每秒 0 14 弧度 2.5 函数的微分函数的微分 一、微分的定义一、微分的定义 引例引例 函数增量的计算及增量的构成 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 其边长由 x0变到 x0 x 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为 x 面积为 A 则 A 是 x 的函数 Ax2 金属薄片的面积改变量为 A(x0 x)2(x0)2 2x0 x(x)2 几何意义2x0 x 表示两个长为 x0宽为x 的长方形面积(x)2表示边长为x 的正方形的高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室面积 数学意义 当x0 时(x)2是比x 高阶的无穷小 即(x)2o(x)2x0 x 是x 的线性函数 是A 的主要部分 可以近似地代替A 定义定义 设函数 yf(x)在某区间内有定义 x0及 x0 x 在这区间内 如果函数的增量 y f(x0 x)f(x0)可表示为 yAxo(x)其中 A 是不依赖于x 的常数 那么称函数 yf(x)在点 x0是可微的 而 Ax 叫做函数 yf(x)在点 x0相应于自变量增量x 的微分 记作dy 即 dy A x 函数可微的条件函数可微的条件 函数 f(x)在点 x0可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x0可导 且当函数f(x)在点 x0可微时 其微分一定是 dyf(x0)x 证明 设函数 f(x)在点 x0可微 则按定义有 yAxo(x)上式两边除以x 得 xxoAxy)(于是 当x0 时 由上式就得到 )(lim00 xfxyAx因此 如果函数 f(x)在点 x0可微 则 f(x)在点 x0也一定可导 且 Af(x0)反之 如果 f(x)在点 x0可导 即 )(lim00 xfxyx存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成 )(0 xfxy其中0(当x0)且 Af(x0)是常数 x o(x)由此又有 y f(x0)xx 因且 f(x0)不依赖于x 故上式相当于 yAxo(x)所以 f(x)在点 x0 也是可导的 简要证明 一方面 AxfxyxxoAxyxoxAyx)(lim)()(00 别一方面 xxxfyxfxyxfxyx)()()(lim0000高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 以微分 dy 近似代替函数增量 y 的合理性 当 f(x0)0 时 有 1lim)(1)(limlim00000dxyxfxxfydyyxxx ydyo(d y)结论结论 在 f(x0)0 的条件下 以微