高等数学(下)知识点总结.pdf

1高等数学（下）知高等数学（下）知识识点点主要公式主要公式总结总结第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数1 1、二次曲面二次曲面1 1）椭圆锥面：椭圆锥面：22222zbyax2 2）椭球面：椭球面：旋转椭球面：旋转椭球面：1222222czbyax1222222czayax3 3）单叶双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：双叶双曲面：1222222czbyax1222222czbyax4 4）椭圆抛物面：椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：双曲抛物面（马鞍面）：zbyax2222zbyax22225 5）椭圆柱面：椭圆柱面：双曲柱面：双曲柱面：12222byax12222byax6 6）抛物柱面：抛物柱面：ayx 2（二）（二）平面及其方程平面及其方程1 1、点法式方程：点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA 法向量：法向量：，过点，过点),(CBAn r),(000zyx2 2、一般式方程：一般式方程：0DCzByAx截距式方程：截距式方程：1czbyax3 3、两平面的夹角：两平面的夹角：，),(1111CBAn r),(2222CBAn r222222212121212121cosCBACBACCBBAA ；210212121CCBBAA21/212121CCBBAA4 4、点点到平面到平面的距离：的距离：),(0000zyxP0DCzByAx222000CBADCzByAxd（三）（三）空间直线及其方程空间直线及其方程21 1、一般式方程：一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2 2、对称式（点向式）方程：对称式（点向式）方程：pzznyymxx000 方向向量：方向向量：，过点，过点),(pnms r),(000zyx3 3、两直线的夹角：两直线的夹角：，),(1111pnms r),(2222pnms r222222212121212121cospnmpnmppnnmm ；21LL0212121ppnnmm21/LL212121ppnnmm4 4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sinpnmCBACpBnAm ；/L0CpBnAmLpCnBmA第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1 1、连续：连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2 2、偏导数：偏导数：；xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000003 3、方向导数：方向导数：其中其中为为的方向角。的方向角。coscosyfxflf,l4 4、梯度：梯度：，则，则。),(yxfz jyxfiyxfyxgradfyxrr),(),(),(0000005 5、全微分：设全微分：设，则，则),(yxfz dddzzzxyxy（一）（一）性质性质1 1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：3偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续充分条件充分条件必要条件必要条件定义定义122342 2、微分法微分法1 1）复合函数求导：链式法则复合函数求导：链式法则 若若，则，则 (,),(,),(,)zf u v uu x y vv x y，zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy（二）（二）应用应用1 1）求函数求函数的极值的极值 解方程组解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点求出所有驻点，对于每一个驻点，令，令),(yxfz 00yxff),(00yx，),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy若若，函数有极小值，函数有极小值，若若，函数有极大值；，函数有极大值；02 BAC0A02 BAC0A若若，函数没有极值；，函数没有极值；02 BAC若若，不定。，不定。02 BAC2 2、几何应用几何应用1 1）曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面曲线曲线，则，则上一点上一点（对应参数为（对应参数为）处的）处的)()()(:tzztyytxx),(000zyxM0t切线方程为：切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2 2）曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线4曲面曲面，则，则上一点上一点处的切平面方程为：处的切平面方程为：0),(:zyxF),(000zyxM0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 法线方程为：法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章第十章 重积分重积分（一）（一）二重积分二重积分 ：几何意义：曲顶柱体的体积：几何意义：曲顶柱体的体积1 1、定义：定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2 2、计算：计算：1 1）直角坐标直角坐标，bxaxyxyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)dbxaxDf x yx yxf x yy，dycyxyyxD)()(),(2121()()(,)d dd(,)ddycyDf x yx yyf x yx2 2）极坐标极坐标，)()(),(21D21()()(,)d d(cos,sin)dDf x yx ydf （二）（二）三重积分三重积分1 1、定义：定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2 2、计算：计算：1 1）直角坐标直角坐标 -“先一后二先一后二”Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),(-“先二后一先二后一”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),(2 2）柱面坐标柱面坐标，zzyxsincos(,)d(cos,sin,)d d df x y zvfzz 3 3）球面坐标球面坐标5cossinsincossinrzryrx2(,)d(sin cos,sin sin,cos)sin d d df x y zvf rrrrr（三）（三）应用应用曲面曲面的面积：的面积：DyxyxfzS),(,),(:yxyzxzADdd)()(122第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（一）（一）对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分1 1、定义：定义：01(,)dlim(,)niiiLif x ysfs 2 2、计算：计算：设设在曲线弧在曲线弧上有定义且连续，上有定义且连续，的参数方程为的参数方程为，其中，其中在在),(yxfLL)(),(),(ttytx)(),(tt上具有一阶连续导数，且上具有一阶连续导数，且，则，则,0)()(22tt22(,)d(),()()()d ,()Lf x ysfttttt（二）（二）对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1 1、定义：设定义：设 L L 为为面内从面内从 A A 到到B B 的一条有向光滑弧，函数的一条有向光滑弧，函数，在在 L L 上有界，定义上有界，定义xoy),(yxP),(yxQ，.nkkkkLxPxyxP10),(limd),(nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(向量形式：向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(dr2 2、计算：计算：设设在有向光滑弧在有向光滑弧上有定义且连续上有定义且连续,的参数方程为的参数方程为),(,),(yxQyxPLL，其中，其中在在上具有一阶连续导数，且上具有一阶连续导数，且，则，则):(),(),(ttytx)(),(tt,0)()(22tt(,)d(,)d (),()()(),()()d LP x yxQ x yyPtttQtttt3 3、两类曲线积分之间的关系：两类曲线积分之间的关系：6设平面有向曲线弧为设平面有向曲线弧为，上点上点处的切向量的方向角为：处的切向量的方向角为：，)()(tytxL为 为L),(yx,，)()()(cos22ttt)()()(cos22ttt则则.dd(coscos)dLLP xQ yPQs（三）（三）格林公式格林公式1 1、格林公式：设区域格林公式：设区域 D D 是由分段光滑是由分段光滑正向正向曲线曲线 L L 围成，函数围成，函数在在D D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,),(,),(yxQyxP则有则有LDyQxPyxyPxQdddd2 2、为一个单连通区域，函数为一个单连通区域，函数在在上具有连续一阶偏导数，上具有连续一阶偏导数，G),(,),(yxQyxPG则则 曲线积分曲线积分 在在内与路径无关内与路径无关yPxQddLP xQ yG（四）（四）对面积的曲面积分对面积的曲面积分1 1、定义：定义：设设为光滑曲面，函数为光滑曲面，函数是定义在是定义在上的一个有界函数，上的一个有界函数，),(zyxf定义定义 iiiiniSfSzyxf),(limd),(102 2、计算：计算：“一单二投三代入一单二投三代入”，则，则),(:yxzz xyDyx),(yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五）（五）对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分1 1、定义：定义：设设为有向光滑曲面，函数为有向光滑曲面，函数是定义在是定义在上的有界函数，定义上的有界函数，定义 ),(),(),(zyxRzyxQzyxP 同理，同理，01(,)d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS ；01(,)d dlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS 01(,)d dlim(,)()niiiizxiQ x y zz xRS 2 2、性质：性质：1 1），则，则21712d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xR x y计算：计算：“一投二代三定号一投二代三定号”，在在上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，在在上连续，则上连续，则),(:yxzz xyDyx),(),(yxzz xyD),(zyxR,为上侧取为上侧取“+”，为下侧取为下侧取“-”.”.(,)d d,(,)d dx yDR x y zx yR x y z x yx y 3 3、两类曲面积分之间的关系：两类曲面积分之间的关系：SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中其中为有向曲面为有向曲面在点在点处的法向量的方向角。处的法向量的方向角。,),(zyx（六）（六）高斯公式高斯公式1 1、高斯公式：设空间闭区域高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面所围成所围成,的方向取外侧的方向取外侧,函数函数在在上有连续的一阶偏导数上有连续的一阶偏导数,P Q R则有则有yxRxzQzyPzyxzRyQxPdddddd ddd或或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscos ddd2 2、通量与散度通量与散度通量：向量场通量：向量场通过曲面通过曲面指定侧的通量为：指定侧的通量为：),(RQPAryxRxzQzyPdddddd散度：散度：zRyQxPAdivr（七）（七）斯托克斯公式斯托克斯公式1 1、斯托克斯公式：设光滑曲面斯托克斯公式：设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲线是分段光滑曲线,的侧与的侧与 的正向符合右手法则的正向符合右手法则,在包含在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有则有),(),(),(zyxRzyxQzyxPzRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddd dddddd为便于记忆为便于记忆,斯托克斯公式还可写作斯托克斯公式还可写作:zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2 2、环流量与旋度环流量与旋度环流量：向量场环流量：向量场沿着有向闭曲线沿着有向闭曲线 的环流量为的环流量为),(RQPArzRyQxPddd8旋度：旋度：yPxQxRzPzQyRArot ,r第十二章第十二章 无穷级数无穷级数（一）（一）常数项级数常数项级数1 1、定义：定义：1 1）无穷级数：）无穷级数：LLnnnuuuuu3211部分和：部分和：，nnkknuuuuuSL3211正项级数：正项级数：，1nnu0nu交错级数：交错级数：，1)1(nnnu0nu2 2）级数收敛：若）级数收敛：若存在，则称级数存在，则称级数收敛，否则称级数收敛，否则称级数发散发散SSnnlim1nnu1nnu3 3）条件收敛：）条件收敛：收敛，而收敛，而发散；发散；1nnu1nnu绝对收敛：绝对收敛：收敛。收敛。1nnu2 2、性质：性质：1 1）改变有限项不影响级数的收敛性；改变有限项不影响级数的收敛性；2 2）级数级数，收敛，则收敛，则收敛；收敛；1nna1nnb1)(nnnba3 3）级数级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；收敛，则任意加括号后仍然收敛；1nna4 4）必要条件：级数必要条件：级数收敛收敛.（注意：不是充分条件！）（注意：不是充分条件！）1nnu0limnnu3 3、审敛法审敛法正项级数：正项级数：，1nnu0nu1 1）定义：定义：存在；存在；SSnnlim2 2）收敛收敛有界；有界；1nnu nS93 3）比较审敛法：比较审敛法：，为正项级数，且为正项级数，且1nnu1nnv),3,2,1(Lnvunn 若若收敛，则收敛，则收敛；若收敛；若发散，则发散，则发散发散.1nnv1nnu1nnu1nnv4 4）比较法的推论：比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数为正项级数，若存在正整数，当，当时，时，而，而收敛，则收敛，则1nnu1nnvmmn nnkvu 1nnv收敛；若存在正整数收敛；若存在正整数，当，当时，时，而，而发散，则发散，则发散发散.1nnummn nnkvu 1nnv1nnu5 5）比较法的极限形式：比较法的极限形式：，为正项级数，若为正项级数，若，而，而收敛，则收敛，则收敛；若收敛；若1nnu1nnv)0(limllvunnn1nnv1nnu或或，而，而发散，则发散，则发散发散.0limnnnvunnnvulim1nnv1nnu6 6）比值法：比值法：为正项级数，设为正项级数，设，则当，则当时，级数时，级数收敛；则当收敛；则当时，级数时，级数发散；当发散；当1nnuluunnn1lim1l1nnu1l1nnu时，级数时，级数可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.1l1nnu7 7）根值法：根值法：为正项级数，设为正项级数，设，则当，则当时，级数时，级数收敛；则当收敛；则当时，级数时，级数发散；当发散；当1nnulunnnlim1l1nnu1l1nnu时，级数时，级数可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散.1l1nnu8 8）极限审敛法：极限审敛法：为正项级数，若为正项级数，若或或，则级数，则级数发散；若存在发散；若存在，使得，使得1nnu0limnnunnnunlim1nnu1p，则级数，则级数收敛收敛.)0(limllunnpn1nnu交错级数：交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：，满足：满足：，且，且，则级数，则级数收敛。收敛。1)1(nnnu0nu),3,2,1(1Lnuunn0limnnu1)1(nnnu任意项级数：任意项级数：绝对收敛，则绝对收敛，则收敛。收敛。1nnu1nnu常见典型级数：几何级数：常见典型级数：几何级数：；p p -级数：级数：1 1 0qqaqnn为 为为 为为 为为 为为 为为 为1p 1 11为 为为 为为 为为 为为 为为 为pnnp（二）（二）函数项级数函数项级数1 1、定义：函数项级数定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；，收敛域，收敛半径，和函数；1)(nnxu2 2、幂级数：幂级数：0nnnxa103 3、收敛半径的求法：收敛半径的求法：，则收敛半径，则收敛半径 nnnaa1lim0 ,00 ,1R4 4、泰勒级数泰勒级数 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR展开步骤：（直接展开法）展开步骤：（直接展开法）1 1）求出求出；L,3,2,1 ),()(nxfn2 2）求出求出；L,2,1,0 ),(0)(nxfn3 3）写出写出；nnnxxnxf)(!)(000)(4 4）验证验证是否成立。是否成立。0)(!)1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR间接展开法：（利用已知函数的展开式）间接展开法：（利用已知函数的展开式）1 1）；),(,!10 xxnennx2 2）；),(,!)12(1)1(sin0121xxnxnnn3 3）；),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn4 4）；)1 ,1(,110 xxxnn5 5）)1 ,1(,)1(110 xxxnnn6 6）1 ,1(,1)1()1ln(01xxnxnnn7 7）)1 ,1(,)1(11022xxxnnn8 8）)1 ,1(,!)1()1(1)1(1xxnnmmmxnnmL5 5、傅里叶级数傅里叶级数1 1）定义：定义：正交系：正交系：函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分上积分LLnxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1 ,为零。为零。11傅里叶级数：傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn系数：系数：),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann2 2）收敛定理：收敛定理：(展开定理展开定理)设设 f f (x x)是周期为是周期为 2 2 的周期函数的周期函数,并满足狄利克雷并满足狄利克雷(DirichletDirichlet )条件条件:1)1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点,则则 f f (x x)的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛 ,且有且有为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为为 为xxfxfxxfnxbnxaannn ,2)()(),(sincos2103 3）傅里叶展开：傅里叶展开：求出系数：求出系数：；),3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1LLnxnxxfbnxnxxfann写出傅里叶级数写出傅里叶级数；)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn根据收敛定理判定收敛性。根据收敛定理判定收敛性。