初三数学二次函数专题训练(含答案)-.pdf

1二次函数专题训练（含答案）二次函数专题训练（含答案）一、一、填空题填空题1.把抛物线向左平移 2 个单位得抛物线 ，接着再向下平移 3 个221xy单位，得抛物线 .2.函数图象的对称轴是 ，最大值是 .xxy223.正方形边长为 3，如果边长增加 x 面积就增加 y，那么 y 与 x 之间的函数关系是 .4.二次函数，通过配方化为的形为 .6822xxykhxay2)(5.二次函数（c 不为零），当 x 取 x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则caxy2x1与 x2的关系是 .6.抛物线当 b=0 时，对称轴是 ，当 a，b 同号时，对称轴cbxaxy2在 y 轴 侧，当 a，b 异号时，对称轴在 y 轴 侧.7.抛物线开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如3)1(22xy果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 .8.若 a0，则函数图象的顶点在第 象限；当 x时，函522axxy4a数值随 x 的增大而 .9.二次函数（a0）当 a0 时，图象的开口 a0 时，图象的开口 cbxaxy2，顶点坐标是 .10.抛物线，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .2)(21hxy11.二次函数的图象的顶点坐标是（1，-2）.)()(32xy12.已知，当 x 时，函数值随 x 的增大而减小.2)1(312xy13.已知直线与抛物线交点的横坐标为 2，则 k=，12 xykxy25交点坐标为 .14.用配方法将二次函数化成的形式是 .xxy322khxay2)(15.如果二次函数的最小值是 1，那么 m 的值是 .mxxy62二、选择题：16.在抛物线上的点是（）1322xxy2 A.（0，-1）B.C.（-1，5）D.（3，4）0,2117.直线与抛物线的交点个数是（）225xyxxy212 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.互相重合的两个18.关于抛物线（a0），下面几点结论中，正确的有（）cbxaxy2当 a0 时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小，对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，当a0 时，情况相反.抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.一元二次方程（a0）的根，就是抛物线与 x 02cbxaxcbxaxy2轴 交点的横坐标.A.B.C.D.19.二次函数 y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（）A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-320.如果一次函数的图象如图代 13-3-12 中 A 所示，那么二次函baxy2axy-3 的大致图象是（）bx图代 13-2-1221.若抛物线的对称轴是则（）cbxaxy2,2xba A.2 B.C.4 D.214122.若函数的图象经过点（1，-2），那么抛物线的性xay 3)1(2axaaxy质说得全对的是（）A.开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与正半 y 轴相交B.开口向下，对称轴在 y 轴左侧，图象与正半 y 轴相交C.开口向上，对称轴在 y 轴左侧，图象与负半 y 轴相交D.开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与负半 y 轴相交23.二次函数中，如果 b+c=0，则那时图象经过的点是（）cbxxy2 A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）324.函数与（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）2axy xay 图代 13-3-1325.如图代 13-3-14，抛物线与 y 轴交于 A 点，与 x 轴正半轴交于 B，cbxxy2C 两点，且 BC=3，SABC=6，则 b 的值是（）A.b=5 B.b=-5 C.b=5 D.b=4图代 13-3-1426.二次函数（a0），若要使函数值永远小于零，则自变量 x 的取值范围是2axy（）AX 取任何实数 B.x0 C.x0 D.x0 或 x027.抛物线向左平移 1 个单位，向下平移两个单位后的解析式为4)3(22xy（）A.B.6)4(22xy2)4(22xy C.D.2)2(22xy2)3(32xy28.二次函数（k0）图象的顶点在（）229kykxxy A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上29.四个函数：（x0），（x0），其中图象经过原xyxyxy1,1,2xy点的函数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个30.不论 x 为值何，函数（a0）的值永远小于 0 的条件是（）cbxaxy2 A.a0，0 B.a0,04 Ca0,0 D.a0,0三、解答题31.已知二次函数和的图象都经过 x1222baxxy1)3(22bxaxy轴上两上不同的点 M，N，求 a，b 的值.32.已知二次函数的图象经过点 A（2，4），顶点的横坐标为，它cbxaxy221的图象与 x 轴交于两点 B（x1，0），C（x2，0），与 y 轴交于点 D，且，132221 xx试问：y 轴上是否存在点 P，使得POB 与DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过 P，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代 13-3-15，抛物线与直线 y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上 A，B 两点，该抛物线的对称轴 x=-21 与 x 轴相交于点 C，且ABC=90，求：（1）直线 AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代 13-3-15图代 13-3-1634.中图代 13-3-16，抛物线交 x 轴正方向于 A，B 两点，交 y 轴正方cxaxy32向于 C 点，过 A，B，C 三点做D，若D 与 y 轴相切.（1）求 a，c 满足的关系；（2）设ACB=，求 tg；（3）设抛物线顶点为 P，判断直线 PA 与O 的位置关系并证明.35.如图代 13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为 x 轴，横断面的对称轴为 y 轴，桥拱的 DGD部分为一段抛物线，顶点 C 的高度为 8 米，AD 和 AD是两侧高为 5.5 米的支柱，OA 和 OA为两个方向的汽车通行区，宽都为 15 米，线段 CD 和 CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为 14.求（1）桥拱 DGD所在抛物线的解析式及 CC的长；（2）BE 和 BE为支撑斜坡的立柱，其高都为 4 米，相应的 AB 和 AB为两个方向的行人及非机动车通行区，试求 AB 和 AB的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于 0.4 米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为 7 米，它能否从 OA（或 OA）区域安全通过？请说明理由.5图代 13-3-1736.已知：抛物线与 x 轴交于两点（ab）.O2)4(2mxmxy)0,(),0,(bBaA为坐标原点，分别以 OA，OB 为直径作O1和O2在 y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线与 x 轴都交于 A，B 两点，且 A 点在 x 轴1)1(22mxmxy的正半轴上，B 点在 x 同的负半轴上，OA 的长是 a，OB 的长是 b.（1）求 m 的取值范围；（2）若 ab=31，求 m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点是 M，问：抛物线上是否存 在 点 P，使PAB 的面积等于BCM 面积的 8 倍？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.38.已知：如图代 13-3-18，EB 是O 的直径，且 EB=6，在 BE 的延长线上取点 P，使EP=EB.A是 EP 上一点，过 A 作O 的切线 AD，切点为 D，过 D 作 DFAB 于 F，过 B 作 AD 的垂线 BH，交 AD 的延长线于 H，连结 ED 和 FH.图代 13-3-18（1）若 AE=2，求 AD 的长.（2）当点 A 在 EP 上移动（点 A 不与点 E 重合）时，是否总有？试证 FHEDAHAD明 你的结论；设 ED=x，BH=y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.39.已知二次函数的图象与 x 轴的交点为)294(2)254(222mmxmmxyA，B（点 A 在点 B 右边），与 y 轴的交点为 C.（1）若ABC 为 Rt，求 m 的值；（2）在ABC 中，若 AC=BC，求ACB 的正弦值；（3）设ABC 的面积为 S，求当 m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代 13-3-19，在直角坐标系中，以 AB 为直径的C 交 x 轴于 A，交 y 轴于 B，满足 OAOB=43，以 OC 为直径作D，设D 的半径为 2.6图代 13-3-19（1）求C 的圆心坐标.（2）过 C 作D 的切线 EF 交 x 轴于 E，交 y 轴于 F，求直线 EF 的解析式.（3）抛物线（a0）的对称轴过 C 点，顶点在C 上，与 y 轴交cbxaxy2点为 B，求抛物线的解析式.41.已知直线和，二次函数图象的顶点为 M.xy21mxyqpxxy2（1）若 M 恰在直线与的交点处，试证明：无论 m 取何实数值，xy21mxy二次函数的图象与直线总有两个不同的交点.qpxxy2mxy（2）在（1）的条件下，若直线过点 D（0，-3），求二次函数mxy的表达式，并作出其大致图象.qpxxy2图代 13-3-20（3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与 y 轴交于点 C，与 xqpxxy2同的左交点为 A，试在直线上求异于 M 点 P，使 P 在CMA 的外接圆上.xy2142.如图代 13-3-20，已知抛物线与 x 轴从左至右交于 A，B 两点，baxxy2与 y 轴交于点 C，且BAC=，ABC=，tg-tg=2,ACB=90.（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为 P，求四边形 ABPC 的面积.7参参 考考 答答 案案动脑动手动脑动手1.设每件提高 x 元（0 x10），即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10 x）件，设每天所获利润为 y 元，依题意，得)10100)(2(xxy .360)4(10200801022xxx当 x=4 时（0 x10）所获利润最大，即售出价为 14 元，每天所赚得最大利润 360 元.2.，43432xmmxy当 x=0 时，y=4.当时.0,043432mxmmxmmm34,321即抛物线与 y 轴的交点为（0，4），与 x 轴的交点为 A（3，0），.0,34mB（1）当 AC=BC 时，.94,334mm 4942xy（2）当 AC=AB 时，.5,4,3ACOCAO .5343m .32,6121mm当时，；61m4611612xxy当时，.32m432322xxy（3）当 AB=BC 时，8，22344343mm .78m .42144782xxy可求抛物线解析式为：或43232,461161,494222xxyxxyxy.42144782xxy3.（1）)62(4)5(222mm 0)1(122222fmmm图代 13-3-21不论 m 取何值，抛物线与 x 轴必有两个交点.令 y=0，得062)5(222mxmx ，0)3)(2(2mxx .3,2221mxx两交点中必有一个交点是 A（2，0）.（2）由（1）得另一个交点 B 的坐标是（m2+3,0）.，12322mmd m2+100，d=m2+1.（3）当 d=10 时，得 m2=9.A（2，0），B（12，0）.25)7(241422xxxy该抛物线的对称轴是直线 x=7，顶点为（7，-25），AB 的中点 E（7，0）.过点 P 作 PMAB 于点 M，连结 PE，9则，2222)7(,521aMEbPMABPE .2225)7(ba点 PD 在抛物线上，.25)7(2 ab解联合方程组，得.0,121bb当 b=0 时，点 P 在 x 轴上，ABP 不存在，b=0，舍去.b=-1.注：求 b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.ABP 为锐角三角形时，则-25b-1；ABP 为钝角三角形时，则 b-1，且 b0.同步题库同步题库一、填空题1.；2.；3.；4.3)2(21,)2(2122xyxy81,41x9)3(2 xy；5.互为相反数；6.y 轴，左，右；7.下，x=-1,(-1,-3)，2)2(22xyx-1；8.四，增大；9.向上，向下，；10.向下，abxabacab2,44,22（h,0），x=h；11.-1，-2；12.x-1；13.-17，（2，3）；14.；15.10.91312 xy二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设 M（x1，0），N（x2，0），且 x1x2，则 x1，x2为方程 x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，.axx2211x122bxx1，x2又是方程的两个实数根，01)3(22bxax x1+x2=a-3，x1x2=1-b2.112,322bbaa解得 或;0,1ba.2,1ba10当 a=1,b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，a=1，b=0 舍去.当 a=1；b=2 时，二次函数和符合题意.322xxy322xxy a=1，b=2.解法二：二次函数的图象对称轴为，1222baxxyax二次函数的图象的对称轴为，1)3(22bxaxy23ax又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M，N，两个二次函数图象的对称轴为同一直线.23aa解得 .1a两个二次函数分别为和.1222bxxy1222bxxy依题意，令 y=0，得，01222bxx.01222bxx+得.022 bb解得 .2,021bb 或;0,1ba.2,1ba当 a=1，b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，a=1，b=0 舍去.当 a=1，b=2 时，二次函数为和符合题意.322xxy322xxy a=1，b=2.32.解：的图象与 x 轴交于点 B（x1，0），C（x2，0），cbxaxy2 .acxxabxx2121,又即，132221 xx132)(21221xxxx .132)(2acab11又由 y 的图象过点 A（2，4），顶点横坐标为，则有21 4a+2b+c=4，.212ab解由组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.y=-x2+x+6.与 x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与 y 轴交点 D 坐标为（0，6）.设 y 轴上存在点 P，使得POBDOC，则有（1）当 B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，有.6,3,2,ODOCOBODOPOCOBOP=4，即点 P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当 P 点坐标为（0，4）时，可设过 P，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.y=-2x-4.或 .3,6,2,OCODOBOCOPODOBOP=1，这时 P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当 P 点坐标为（0，1）时，可设过 P，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 .21k .121xy当 P 点坐标为（0，-1）时，可设过 P，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1，得 .21k .121xy（2）当 B（3，0），C（-2，0），D（0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 ，131xy或 .131xy1233.解：（1）在直线 y=k(x-4)中，令 y=0，得 x=4.A 点坐标为（4，0）.ABC=90.CBDBAO，即 OB2=OAOC.OBOAOCOB又 CO=1，OA=4，OB2=14=4.OB=2（OB=-2 舍去）B 点坐标为（0，2）.将点 B（0，2）的坐标代入 y=k(x-4)中，得.21k直线的解析式为：.221xy（2）解法一：设抛物线的解析式为，函数图象过 A（4，0），B（0，hxay2)1(2），得.2,025haha解得 .1225,121ha抛物线的解析式为：.1225)1(1212xy解法二：设抛物线的解析式为：，又设点 A（4，0）关于 x=-1 的对cbxaxy2称是 D.CA=1+4=5，CD=5.OD=6.D 点坐标为（-6，0）.将点 A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入抛物线方程，得.0636,2,0416cbaccba解得 .2,61,121cba抛物线的解析式为：.2611212xxy34.解：（1）A，B 的横坐标是方程的两根，设为 x1,x2（x2x1），C 的032cxax纵坐标是 C.13又y 轴与O 相切，OAOB=OC2.x1x2=c2.又由方程知032cxax，acxx21，即 ac=1.acc 2（2）连结 PD，交 x 轴于 E，直线 PD 必为抛物线的对称轴，连结 AD、BD，图代 13-3-22 .ABAE21.ADEADBACB21 a0,x2x1，.aaacxxAB54912.aAE25又 ED=OC=c，.25DEAEtg（3）设PAB=，P 点的坐标为，又a0，aa45,23在 RtPAE 中，.aPE45 .25AEPEtg14 tg=tg.=.PAE=ADE.ADE+DAE=90PA 和D 相切.35.解：（1）设 DGD所在的抛物线的解析式为，caxy2由题意得 G（0，8），D（15，5.5）.解得.255.5,8cac.8,901caDGD所在的抛物线的解析式为.89012xy且 AD=5.5,41ACAD AC=5.54=22(米).）2215(2)(22ACOAOCcc =74（米）.答：cc的长为 74 米.（2），4,41BEBCEB BC=16.AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和 AB的宽都是 6 米.（3）在中，当 x=4 时，89012xy.45377816901y 0.4519)4.07(45377该大型货车可以从 OA（OA）区域安全通过.36.解:（1）O1与O2外切于原点 O，A，B 两点分别位于原点两旁，即 a0，b0.方程的两个根 a，b 异号.02)4(2mxmxab=m+20，m-2.（2）当 m-2，且 m-4 时，四边形 PO1O2Q 是直角梯形.根据题意，计算得（或或 1）.22121bSQOPO四边形221am=-4 时，四边形 PO1O2Q 是矩形.根据题意，计算得（或或 1）.22121bSQOPO四边形221a（3）04)2()2(4)4(22mmm15方程有两个不相等的实数根.02)4(2mxmx m-2，.02,04ffmabmba a0，b0.O1与O2都在 y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设 A，B 两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），A，B 两点在原点的两侧，x1x20，即-（m+1）0，解得 m-1.)1()1(4)1(22mm 7)21(484422mmm当 m-1 时，0，m 的取值范围是 m-1.（2）ab=31，设 a=3k，b=k（k0），则 x1=3k，x2=-k，).1()(3),1(23mkkmkk解得 .31,221mm时，（不合题意，舍去），31m3421 xx m=2抛物线的解析式是.32xxy（3）易求抛物线与 x 轴的两个交点坐标是 A（3，0），B（-1，0）322xxy与 y 轴交点坐标是 C（0，3），顶点坐标是 M（1，4）.设直线 BM 的解析式为，qpxy则 .)1(0,14qpqp解得 .2,2qp直线 BM 的解析式是 y=2x+2.16设直线 BM 与 y 轴交于 N，则 N 点坐标是（0，2），MNCBCNBCMSSS .111211121设 P 点坐标是（x,y），BCMABPSS 8 .1821yAB即 .8421y .4y4y当 y=4 时，P 点与 M 点重合，即 P（1，4），当 y=-4 时，-4=-x2+2x+3，解得 .221x满足条件的 P 点存在.P 点坐标是（1，4），.)4,221(),4,221(38.（1）解：AD 切O 于 D，AE=2，EB=6，AD2=AEAB=2（2+6）=16.AD=4.图代 13-2-23（2）无论点 A 在 EP 上怎么移动（点 A 不与点 E 重合），总有.FHEDAHAD证法一：连结 DB，交 FH 于 G，AH 是O 的切线，HDB=DEB.又BHAH，BE 为直径，BDE=90有 DBE=90-DEB =90-HDB17 =DBH.在DFB 和DHB 中，DFAB，DFB=DHB=90，DB=DB，DBE=DBH，DFBDHB.BH=BF，BHF 是等腰三角形.BGFH，即 BDFH.EDFH，.FHEDAHAD图代 13-3-24证法二：连结 DB，AH 是O 的切线，HDB=DEF.又DFAB，BHDH，EDF=DBH.以 BD 为直径作一个圆，则此圆必过 F，H 两点，DBH=DFH，EDF=DFH.EDFH.FHEDAHADED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，EF=6y.又DF 是 RtBDE 斜边上的高，DFEBDE，即.EBEDEDEFEBEFED2，即.)6(62yx6612xy点 A 不与点 E 重合，ED=x0.A 从 E 向左移动，ED 逐渐增大，当 A 和 P 重合时，ED 最大，这时连结 OD，则 ODPH.ODBH.又 ，12,936PBEOPEPO，4,POPBODBHPBPOBHOD ，246,4BFEBEFBHBF由 ED2=EFEB 得，12622x18x0，.32x 0 x.32（或由 BH=4=y，代入中，得）6612xy32x故所求函数关系式为（0 x）.6612xy3239.解：,294)2(2942254222mmxxmmxmmxy可得.2942,0,0,294),0,2(22mmCmmBA（1）ABC 为直角三角形，OBAOOC2即，2942294422mmmm化得.m=2.0)2(2m（2）AC=BC，COAB，AO=BO，即.22942 mm.429422mmOC25 BCAC过 A 作 ADBC，垂足为 D，ABOC=BCAD.58AD .545258sinACADACB图代 13-3-25（3）COABSABC2119 .1)1()2(2942229421222 uuummmm ，212942mmu当，即时，S 有最小值，最小值为.21u2m4540.解：（1）OAOB，OAOB=43，D 的半径为 2，C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为，B 点坐标为.0,532524,0C 的圆心 C 的坐标为.512,516（2）由 EF 是D 切线，OCEF.CO=CA=CB，COA=CAO，COB=CBO.RtAOBRtOCERtFCO.OBOCABOFOAOCABOE,.320,5OFOEE 点坐标为（5，0），F 点坐标为，320,0切线 EF 解析式为.32034xy（3）当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为，可得 4512,516.524,1,325.52453244,51622cbacabacab .5243252xxy当抛物线开口向上时,顶点坐标为，得 4512,51620.524,4,85.524,5844,51622cbacabacab .5244852xxy综合上述，抛物线解析式为或.5243252xxy5244852xxy41.（1）证明：由,21mxyxy有 ，mxx21 .mymxmx31,32,23交点.)31,32(mmM此时二次函数为mmxy31322 .mmmxx31943422由联立，消去 y，有.0329413422mmxmxmmm3294413422 .013891613891622mmmm无论 m 为何实数值，二次函数的图象与直线总有两个qpxxy2mxy不同的交点.21图代 13-3-26（2）解：直线 y=-x+m 过点 D（0，-3），-3=0+m，m=-3.M（-2，-1）.二次函数为.)1)(3(341)2(22xxxxxy图象如图代 13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知CMA 为 Rt，且CMA=Rt，MC 为CMA 外接圆直径.P 在上，可设，由 MC 为CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上，xy21nnP21,CPM=Rt.过 P 分别作 PNy，轴于 N，PQx 轴于 R，过 M 作 MSy 轴于 S，MS 的延长线与 PR 的延长线交于点 Q.由勾股定理，有，即.222QPMQMP222121)2(nnMP.22222213nnNPNCCP.202CM而 ，222CMCPMP ，20213121)2(2222nnnn即 ，062252 nn ，012452 nn.0)2)(65(nn22 .2,5621nn而 n2=-2 即是 M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.，56n此时 .5321nP 点坐标为.53,5642.解：（1）根据题意，设点 A（x1，0）、点（x2，0），且 C（0，b），x10，x20，b0，x1，x2是方程的两根，02baxx .bxxaxx2121,在 RtABC 中，OCAB，OC2=OAOB.OA=-x1,OB=x2，b2=-x1x2=b.b0,b=1，C（0，1）.（2）在 RtAOC 的 RtBOC 中，.211212121baxxxxxxOBOCOAOCtgtg .2a抛物线解析式为.122xxy图代 13-3-27（3），顶点 P 的坐标为（1，2），122xxy当时，.0122xx21x.)0,21(),0,21(BA延长 PC 交 x 轴于点 D，过 C，P 的直线为 y=x+1，点 D 坐标为（-1，0）.DCADPBABPCSSS四边形23 ).(22321)22(212)22(212121平方单位ycADyDBp