二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案.pdf

二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 1 页1如图所示，抛物线 y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线 BC 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PEBC 于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC于点 F，求PEF 周长的最大值；（3）已知点 M 是抛物线的顶点，点 N 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，若点 P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM 为边的正方形？若存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 2 页2如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D，C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴相交于点 E（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求FGH 周长的最大值；（3）如图 2，点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一动点，点 Q 是坐标平面内一点，四边形 APQM 是以PM 为对角线的平行四边形，点 Q与点 Q 关于直线 AM 对称，连接 M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM 面积的时，求APQM 面积二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 3 页3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0），且 OC=OB，tanACO=（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PHAD 于点H，作 PM 平行于 y 轴交直线 AD 于点 M，交 x 轴于点 E，求PHM 的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点 E 为端点，在直线 EP 的右侧作一条射线与抛物线交于点 N，使得NEP 为锐角，在线段 EB 上是否存在点 G，使得以 E，N，G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 4 页4如图（1），抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）两点（x10 x2），与 y 轴交于点C（0，3），若抛物线的对称轴为直线 x=1，且 tanOAC=3（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点 D 是抛物线 BC 段上的动点，且点 D 到直线 BC 距离为，求点 D 的坐标（3）如图（2），若直线 y=mx+n 经过点 A，交 y 轴于点 E（0，），点 P 是直线 AE 下方抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AE 于点 M，点 N 在线段 AM 延长线上，且 PM=PN，是否存在点 P，使PMN 的周长有最大值？若存在，求出点 P 的坐标及PMN 的周长的最大值；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 5 页5已知：如图，直线 y=x+2 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点，A 点坐标为（1，0）（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式（2）在直线 BC 上方的抛物线上有一点 D，过 D 作 DEBC 于 E，作 DFy 轴交 BC 于 F，求DEF 周长的最大值（3）在满足第问的条件下，在线段 BD 上是否存在一点 P，使DFP=DBC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 6 页6如图，抛物线 y=x2+（m1）x+m（m1）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，点你 F 在直线 AD 上方的抛物线上，FGAD 于 G，FHx 轴交直线 AD 于 H，求FGH 的周长的最大值；（3）点 M 是抛物线的顶点，直线 l 垂直于直线 AM，与坐标轴交于 P、Q 两点，点 R 在抛物线的对称轴上，使得PQR 是以 PQ 为斜边的等腰直角三角形，求直线 l 的解析式二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 7 页7如图，已知抛物线 y=x2+2x+3 与坐标轴交于 A，B，C 三点，抛物线上的点 D 与点 C 关于它的对称轴对称（1）直接写出点 D 的坐标和直线 AD 的解析式；（2）点 E 是抛物线上位于直线 AD 上方的动点，过点 E 分别作 EFx 轴，EGy 轴并交直线 AD 于点F、G，求EFG 周长的最大值；（3）若点 P 为 y 轴上的动点，则在抛物线上是否存在点 Q，使得以 A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 8 页8如图，抛物线 y=x2x+3 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴与点 D，已知点 C（0，），连接 AC（1）求直线 AC 的解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PEy 轴，交直线 AC 于点 E，过点 P 作 PGAC，垂足为 G，当PEG 周长最大时，在 x 轴上存在一点 Q，使|QPQC|的值最大，请求出这个最大值以及点P 的坐标；（3）当（2）题中|QPQG|取得最大值时，直线 PG 交 y 轴于点 M，把抛物线沿直线 AD 平移，平移后的抛物线 y与直线 AD 相交的一个交点为 A，在平移的过程中，是否存在点 A，使得点 A，P，M 三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点 A的坐标；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 9 页9如图，抛物线 y=x2+x+3 交 x 轴于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左侧，交 y 轴于点 C（1）求直线 AC 与直线 BC 的解析式；（2）如图 1，P 为直线 BC 上方抛物线上的一点；过点 P 作 PDBC 于点 D，作 PMy 轴交直线 BC 于点 M，当PDM 的周长最大时，求 P 点坐标及周长最大值；在的条件下，连接 AP 与 y 轴交于点 E，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 K，若 S 为直线 BC 上一动点，T 为直线 AC 上一动点，连接 EK，KS，ST，TE，求四边形 EKST 周长的最小值；（3）如图 2，将AOC 顺时针旋转 60得到AOC，将AOC沿直线 OC平移，记平移中的AOC为AOC，直线 AO与 x 轴交于点 F，将OCF 沿 OC翻折得到OCF，当CCF为等腰三角形时，求此时 F 点的坐标二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 10 页参考答案与试题解析参考答案与试题解析1如图所示，抛物线 y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线 BC 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PEBC 于点 E，作 PF 平行于 x 轴交直线 BC于点 F，求PEF 周长的最大值；（3）已知点 M 是抛物线的顶点，点 N 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，若点 P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM 为边的正方形？若存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）把 A（1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线 y=ax2+bx3，得到，解得，抛物线的解析式为 y=x22x3（2）如图 1 中，连接 PB、PC设 P（m，m22m3），B（3，0），C（0，3），OB=OC，OBC=45，PFOB，PFE=OBC=45，PEBC，PEF=90，PEF 是等腰直角三角形，PE 最大时，PEF 的面积中点，此时PBC 的面积最大，则有 SPBC=SPOB+SPOCSBOC=3（m2+2m+3）+3m=（m）2+，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 11 页m=时，PBC 的面积最大，此时PEF 的面积也最大，此时 P（，），直线 BC 的解析式为 y=x3，F（，），PF=，PEF 是等腰直角三角形，EF=EP=，CPEF 最大值=+（3）如图 2 中，当 N 与 C 重合时，点 N 关于对称轴的对称点 P，此时思想 MNQP 是正方形，易知 P（2，3）点 P 横坐标为 2，如图 3 中，当四边形 PMQN 是正方形时，作 PFy 轴于 N，MEx 轴，PEy 轴易知PFNPEM，PF=PE，设 P（m，m22m3），M（1，4），m=m22m3（4），m=或（舍弃），P 点横坐标为所以满足条件的点 P 的横坐标为 2 或二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 12 页2如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D，C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴相交于点 E（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求FGH 周长的最大值；（3）如图 2，点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一动点，点 Q 是坐标平面内一点，四边形 APQM 是以PM 为对角线的平行四边形，点 Q与点 Q 关于直线 AM 对称，连接 M Q，P Q当PM Q与APQM重合部分的面积是APQM 面积的时，求APQM 面积【解答】解：（1）令x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3，A（1，0），C（0，3），点 D，C 关于抛物线的对称轴对称，D（2，3），直线 AD 的解析式为：y=x+1；（2）设点 F（x，x2+2x+3），FHx 轴，H（x2+2x+2，x2+2x+3），FH=x2+2x+2x=（x）2+，FH 的最大值为，由直线 AD 的解析式为：y=x+1 可知DAB=45，FHAB，FHG=DAB=45，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 13 页FG=GH=故FGH 周长的最大值为2+=；（3）当 P 点在 AM 下方时，如图 1，设 P（0，p），易知 M（1，4），从而 Q（2，4+p），PM Q与APQM 重合部分的面积是APQM 面积的，PQ必过 AM 中点 N（0，2），可知 Q在 y 轴上，易知 QQ的中点 T 的横坐标为 1，而点 T 必在直线 AM 上，故 T（1，4），从而 T、M 重合，APQM 是矩形，易得直线 AM 解析式为：y=2x+2，MQAM，直线 QQ：y=x+，4+p=2+，解得：p=，PN=，SAPQM=2SAMP=4SANP=4PNAO=41=5；当 P 点在 AM 上方时，如图 2，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 14 页设 P（0，p），易知 M（1，4），从而 Q（2，4+p），PM Q与APQM 重合部分的面积是APQM 面积的，PQ必过 QM 中点 R（，4+），易得直线 QQ：y=x+p+5，联立，解得：x=，y=，H（，），H 为 QQ中点，故易得 Q（，），由 P（0，p）、R（，4+）易得直线 PR 解析式为：y=（）x+p，将 Q（，）代入到 y=（）x+p 得：=（）+p，整理得：p29p+14=0，解得 p1=7，p2=2（与 AM 中点 N 重合，舍去），P（0，7），PN=5，SAPQM=2SAMP=2PN|xMxA|=252=10综上所述，APQM 面积为 5 或 10二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 15 页3如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0），且 OC=OB，tanACO=（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PHAD 于点H，作 PM 平行于 y 轴交直线 AD 于点 M，交 x 轴于点 E，求PHM 的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点 E 为端点，在直线 EP 的右侧作一条射线与抛物线交于点 N，使得NEP 为锐角，在线段 EB 上是否存在点 G，使得以 E，N，G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）点 A 的坐标为（1，0），OA=1又tanACO=，OC=4C（0，4）OC=OB，OB=4B（4，0）设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x4）将 x=0，y=4 代入得：4a=4，解得 a=1，抛物线的解析式为 y=x23x4（2）抛物线的对称轴为 x=，C（0，4），点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，D（3，4）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b将 A（1，0）、D（3，4）代入得：，解得 k=1，b=1，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 16 页直线 AD 的解析式 y=x1直线 AD 的一次项系数 k=1，BAD=45PM 平行于 y 轴，AEP=90PMH=AME=45MPH 的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM设 P（a，a23a4），M（a1），则 PM=a1（a23a4）=a2+2a+3，PM=a2+2a+3=（a1）2+4，当 a=1 时，PM 有最大值，最大值为 4MPH 的周长的最大值=4（1+）=4+4（3）如图 1 所示；当EGN=90设点 G 的坐标为（a，0），则 N（a，a23a4）EGN=AOC=90，时，AOCEGN=，整理得：a2+a8=0解得：a=（负值已舍去）点 G 的坐标为（，0）如图 2 所示：当EGN=90二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 17 页设点 G 的坐标为（a，0），则 N（a，a23a4）EGN=AOC=90，时，AOCNGE=4，整理得：4a211a17=0解得：a=（负值已舍去）点 G 的坐标为（，0）EN 在 EP 的右面，NEG90如图 3 所示：当ENG=90时，EG=EG=（1）=点 G的横坐标=4.034，点 G不在 EG 上故此种情况不成立综上所述，点 G 的坐标为（，0）或（，0）二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 18 页4如图（1），抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）两点（x10 x2），与 y 轴交于点C（0，3），若抛物线的对称轴为直线 x=1，且 tanOAC=3（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点 D 是抛物线 BC 段上的动点，且点 D 到直线 BC 距离为，求点 D 的坐标（3）如图（2），若直线 y=mx+n 经过点 A，交 y 轴于点 E（0，），点 P 是直线 AE 下方抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AE 于点 M，点 N 在线段 AM 延长线上，且 PM=PN，是否存在点 P，使PMN 的周长有最大值？若存在，求出点 P 的坐标及PMN 的周长的最大值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在 RtAOC 中，tanAOC=3，且 OC=3，OA=1，则 A（1，0），抛物线的对称轴为直线 x=1，则点 A（1，0）关于直线 x=1 的对称点 B 的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为 y=a（x3）（x+1），将点 C（0，3）代入上式得3a=3，解得：a=1，抛物线的解析式为 y=（x3）（x+1）=x22x3；（2）点 B（3，0）、C（0，3），则 BC=3，SBCD=3=3，设 D（x，x22x3），连接 OD，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 19 页SBCD=SOCD+SBODSBOC=3x+3（x2+2x+3）33=3，解得 x=1 或 x=2，则点 D 的坐标为（1，4）或（2，3）；（3）设直线 AE 解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0）、E（0，）代入得：，解得：，则直线 AE 解析式为 y=x，AE=，设 P（t，t22t3），则 M（t，t），PM=t（t22t3）=t2+t+，作 PGMN 于 G，由 PM=PN 得 MG=NG=MN，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 20 页由PMGAEO 得=，即=，MG=PM=NG，CPMN=PM+PN+MN=PM=（t2+t+）=t2+6=（t）2+，当 t=时，CPMN取得最大值，此时 P（，）5已知：如图，直线 y=x+2 与 x 轴交于 B 点，与 y 轴交于 C 点，A 点坐标为（1，0）（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式（2）在直线 BC 上方的抛物线上有一点 D，过 D 作 DEBC 于 E，作 DFy 轴交 BC 于 F，求DEF 周长的最大值（3）在满足第问的条件下，在线段 BD 上是否存在一点 P，使DFP=DBC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）直线 y=x+2 与 x 轴交于 B（2，0），与 y 轴交于 C 点（0，2），设过 A、B、C 的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，a=1，b=1，c=2，抛物线的解析式为：y=x2+x+2，（2）设 D（x，x2+x+2），F（x，x+2），二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 21 页DF=（x2+x+2）（x+2）=x2+2x，所以 x=1 时，DF最大=1，OB=OC，OBC 为等腰直角三角形，DEBC，DFy 轴，DEF 为等腰直角三角形，DEF 周长的最大值为 1+（3）如图，当DEF 周长最大时，D（1，2），F（1，1）延长 DF 交 x 轴于 H，作 PMDF 于 M，则 DB=，DH=2，OH=1当DFP=DBC 时，DFPDBF，DP=，=，PM=，DM=，P 点的横坐标为 OH+PM=1+=，P 点的纵坐标为 DHDM=2=，P（，）6如图，抛物线 y=x2+（m1）x+m（m1）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，点你 F 在直线 AD 上方的抛物线上，FGAD 于 G，FHx 轴交二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 22 页直线 AD 于 H，求FGH 的周长的最大值；（3）点 M 是抛物线的顶点，直线 l 垂直于直线 AM，与坐标轴交于 P、Q 两点，点 R 在抛物线的对称轴上，使得PQR 是以 PQ 为斜边的等腰直角三角形，求直线 l 的解析式【解答】解：（1）把 C（0，3）代入 y=x2+（m1）x+m 得 m=3，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3，（2）令 y=x2+2x+3=0，解得：x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0），C（0，3），点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，D（1，2），AD 的解析式 y=x+1，设 AD 与 y 轴交于 E，OA=OE=1，EAO=45，FHAB，FHA=EAO=45，FGAH，FGH 是等腰直角三角形，设点 F 坐标（m，m2+2m+3），点 H 坐标（m2+2m+2，m2+2m+3），FH=m2+m+2，FGH 的周长=（m2+m+2）+2（m2+m+2）=（1+）（m）2+FGH 的周长最大值为；（3）抛物线 y=x2+2x+3 的定点坐标为（1，4），直线 AM 的解析式为 y=2x+2，直线 l 垂直于直线 AM，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 23 页设直线 l 的解析式为 y=x+b，与坐标轴交于 P、Q 两点，直线 l 的解析式为 y=x+b 与 y 轴的交点 P（0，b），与 x 轴的交点 Q（2b，0），设 R（1，a），PR2=（1）2+（ab）2，QR2=（2b1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，PQR 是以 PQ 为斜边的等腰直角三角形，PR2=QR2，即（1）2+（ab）2=QR2=（2b1）2+a2，2a=3b4，PR2+QR2=PQ2，即（1）2+（ab）2+（2b1）2+a2=5b2，2a22ab4b+2=0，联立解得：，直线 l 的解析式为 y=x+或 y=x+27如图，已知抛物线 y=x2+2x+3 与坐标轴交于 A，B，C 三点，抛物线上的点 D 与点 C 关于它的对称轴对称（1）直接写出点 D 的坐标和直线 AD 的解析式；（2）点 E 是抛物线上位于直线 AD 上方的动点，过点 E 分别作 EFx 轴，EGy 轴并交直线 AD 于点F、G，求EFG 周长的最大值；二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 24 页（3）若点 P 为 y 轴上的动点，则在抛物线上是否存在点 Q，使得以 A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将 x=0 代入得 y=3，C（0，3）抛物线的对称轴为 x=1，C（0，3），D（2，3）把 y=0 代入抛物线的解析式得：0=x2+2x+3，解得 x=3 或 x=1，A（1，0）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 D 的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，直线 AD 的解析式为 y=x+1（2）如图 1 所示：直线 AD 的解析式为 y=x+1，DAB=45EFx 轴，EGy 轴，GEF=90，GFE=DAB=45EFG 是等腰直角三角形EFG 的周长=EF+FG+EG=（2+）EG依题意，设 E（t，t2+2t+3），则 G（t，t+1）EG=t2+2t+3（t+1）=（t）2+EG 的最大值为EFG 的周长的最大值为+（3）存在二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 25 页以 AD 为平行四边形的边时，PQAD，PQ=ADA，D 两点间的水平距离为 3，P，Q 两点间的水平距离也为 3点 Q 的横坐标为 3 或3将 x=3 和 x=3 分别代入 y=x2+2x+3 得 y=0 或 y=12Q（3，0）或（3，12）当 AD 为平行四边形的对角线时，设 AD 的中点为 M，A（1，0），D（2，3），M 为 AD 的中点，M（，）设点 Q 的横坐标为 x，则=，解得 x=1，点 Q 的横坐标为 1将 x=1 代入 y=x2+2x+3 得 y=4这时点 Q 的坐标为（1，4）综上所述，当点 Q 的坐标为 Q（3，0）或（3，12）或（1，4）时，以 A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形8如图，抛物线 y=x2x+3 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴与点 D，已知点 C（0，），连接 AC（1）求直线 AC 的解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PEy 轴，交直线 AC 于点 E，过点 P 作 PGAC，垂足为 G，当PEG 周长最大时，在 x 轴上存在一点 Q，使|QPQC|的值最大，请求出这个最大值以及点P 的坐标；（3）当（2）题中|QPQG|取得最大值时，直线 PG 交 y 轴于点 M，把抛物线沿直线 AD 平移，平移后的抛物线 y与直线 AD 相交的一个交点为 A，在平移的过程中，是否存在点 A，使得点 A，P，M 三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点 A的坐标；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 26 页【解答】解：（1）令 y=0 则，x2x+3=0，解得 x=3 或 x=2，A（3，0），B（2，0）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 C 的坐标代入得：，解得：k=，b=，直线 AC 的解析式为 y=x+（2）延长 PE 交 OA 与点 F，则 PFOAPFOA，PGAC，EFA=PGE又PEG=FEA，EAF=EPGOC=，AO=3，tanGPE=tanEAF=sinGPE=，cosGPE=PG=PE，EG=EPPEG 的周长=PE+PG+EG=（1+）PE二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 27 页当 PE 取得最大值时，PEC 的周长最大设点 P 的坐标为（t，t2t+3），则点 E 的坐标为（t，t+）点 P 在点 E 的上方，PE=t2t+3（t+）=t2t+=（t+1）2+2当 t=1 时，PE 取得最大值，此时PGE 的周长取得最大值点 P（1，3），点 E 的坐标为（1，1）PE=31=2PG=PE=根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点 P、G、Q 三点共线时，|QPQG|的值最大，此时|QPQG|=PG=（3）如图所示：PGE=PFN，P=P，PEGPNF，=，即=2，解得 FN=1.5点 N 的坐标为（，0）设 PN 的解析式为 y=kx+b，将点 P 和点 N 的坐标代入得：，解得：k=2，b=1M（0，1）设直线 AD 的解析式为 y=mx+3，将点 A 的坐标代入得：3m+3=0，解得 m=1，直线 AD 的解析式为 y=x+3设点 A的坐标为（x，x+3）当 PM=PA时，=，整理得：x2+x2=0，解得 x=1 或 x=2，点 A的坐标为（1，4）或（2，1）二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 28 页当 PM=MA时，=，整理得：2x2+4x1=0，解得：x=或x=，点 A的坐标为（，）或（，）当 AP=AM 时，=，整理得：2x=3，解得：x=，A（，）综上所述，点 A的坐标为（1，4）或（2，1）或（，）或（，）或（，）9如图，抛物线 y=x2+x+3 交 x 轴于 A、B 两点，点 A 在点 B 的左侧，交 y 轴于点 C（1）求直线 AC 与直线 BC 的解析式；（2）如图 1，P 为直线 BC 上方抛物线上的一点；过点 P 作 PDBC 于点 D，作 PMy 轴交直线 BC 于点 M，当PDM 的周长最大时，求 P 点坐标及周长最大值；在的条件下，连接 AP 与 y 轴交于点 E，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 K，若 S 为直线 BC 上一动点，T 为直线 AC 上一动点，连接 EK，KS，ST，TE，求四边形 EKST 周长的最小值；（3）如图 2，将AOC 顺时针旋转 60得到AOC，将AOC沿直线 OC平移，记平移中的AOC为AOC，直线 AO与 x 轴交于点 F，将OCF 沿 OC翻折得到OCF，当CCF为等腰三角形时，求此时 F 点的坐标【解答】解：（1）对于抛物线 y=x2+x+3，令 x=0，得到 y=3，可得 C（0，3），二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 29 页令 y=0，可得 y=x2+x+3=0，解得 x=1 或 3，A（1，0），B（4，0），直线 AC 的解析式为 y=3x+3，直线 BC 的解析式为 y=x+3；（2）如图在 1 中，设 P（m，m2+m+3），则 M（m，m+3）点 P 运动时，PDM 的形状是相似的，PM 的值最大时，PDM 的周长的值最大，PM=m2+m+3（m+3）=m2+3m=（m24m+44）=（m2）2+3，0，m=2 时，PM 的值最大，此时 P（2，），PM 的最大值为，OC=3，OB=4，BC=5，由PDMBOC，可得=，=，PD=，DM=，PDM 的周长的最大值为+=如图 2 中，作 K 关于 BC 的对称点 K，E 关于 AC 的对称点 E，连接 EK交 AC 于 T，交 BC 于 S，二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 30 页此时四边形 EKST 的周长最小四边形 EKST 的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+KS+ST+TE=EK+EK，P（2，），直线 AP 的解析式为 y=x+，E（0，），K（，0），OE=OK=，EK=，K 与 K关于直线 BC 对称，K（，），E，E关于直线 AC 对称，E（，），EK=3，四边形 EKST 周长的最小值为 3+=（3）如图 3 中，设 OF=2m，则 FO=OF=m，OO=m，OC=m+3二次函数专题训练（三角形周长最值问题）第 31 页可得 F（m，m），C（m+，m+），当 CC=CF时，（m+）2+（m）2=（m）2+（m）2，整理得 m2+3m=0，解得 m=0 或3（舍弃），F（0，0）当 CF=CF时，（m）2+（m）2=m2+（m3）2，整理得 m2m=0，解得 m=0 或，F（0，0）或（，3）；当 CF=CC时，m2+（m3）2=（m+）2+（m）2，整理得 m29m=0，解得 m=0 或 9，F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点 F 坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；