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第一章 集合与简易逻辑一、集合知识1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质: CU(AB)= (CUA)(CUB) CU(AB)= (CUA)(CUB)6. 设集合A中有n个元素,则A的子集个数为； A的真子集个数为；A的非空子集个数为；A的非空真子集个数为.7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集二含绝对值不等式、一元二次不等式的解法1.整式不等式的解法： 一元一次不等式（一元二次不等式：（大于取两边，小于取中间）一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过）2.分式不等式的解法（移项通分，不能去分母）3.含绝对值不等式的解法,与型的不等式的解法. （将x的系数化为正,大于取两边，小于取中间）三简易逻辑1构成复合命题的形式：p或q(记作“pq” )(一真则真)；p且q(记作“pq” )（一假则假）；非p(记作“q” )（真假相反） 。2四种命题的形式：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；否命题：若P则q；逆否命题：若q则p。 (原命题逆否命题)3、充要条件：4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。第二章 函 数一、函数与映射1映射的性质：从A到B的映射：A中不能有剩余元素，B中可以有剩余元素，允许多对一，不允许一对多。若A有3个元素，B有4个元素，则有 个映射。2函数的三要素：定义域，值域，对应法则。二、函数的性质 （1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称）奇函数：、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单调性；偶函数：、图象关于轴对称，在两个对称区间具有相反的单调性；常用的结论：若是奇函数，且，则；若是偶函数，则；反之不然。常见的奇函数： 非奇非偶函数：f（x）=. （2）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） 定义法 步骤：a.设；b.作差；c.判断正负号。掌握函数的图象和性质；函数(b ac0)）图象yXoX=-cY=axyo单调性当b-ac0时:在上单调递减；当b-ac0)恒成立,则y=f(x)的周期为2a；若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2a；若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x) 的周期为4a；y=f(x)对xR时，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x) 的周期为2； 三、函数的图象1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。2、图象的变换：（1）平移变换 （先表示成y=f(x)：左加右减，上加下减。）（2）对称变换：函数与函数的图象关于轴对称；函数与函数的图象关于轴对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称；如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线对称。如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线对称。 （把轴下方的图象翻折到上方） （擦掉轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧）与关于直线对称。性质：（3）伸缩变换： 系数变小伸长；系数变大缩短。四、函数的反函数求反函数的步骤：求原函数，的值域B 把看作方程，解出；x，y互换的的反函数为，。五、求函数的值域的常用解题方法： 配方法。如函数的值域，特点是可化为二次函数的形式；换元法：如y= 单调性：如函数 x1,2 判别式法（法）如函数y= 利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x2| 利用反函数：如函数y=利用基本不等式：如函数y= .方程k=f(x)有解kD(D为f(x)的值域)；.af(x) af(x)max,; af(x) af(x)min;六、指数、对数的性质：1.,2. ， ， 3. 的符号由口诀“同正异负”记忆; 如：。七、复合函数单调性：，：同增同减为增，一增一减为减。第三章 数 列一数列及数列的通项公式1.数列的前n项和： 2.数列的通项公式： 3.递推公式：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。二等差数列1.定义： 即：2.判定方法：定义法： (常数)； 等差中项法： 。3.通项公式：若首项是，公差是，则通项为。是关于n的一次函数。4.等差数列的前n项和： 对于公式整理后是关于n的没有常数项的二次函数（充要条件）。5.等差中项：如果，成等差数列，则有或6.等差数列的性质： 等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有.若，则。.是其前n项的和，那么，成等差数列。.是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，结论：(i)； 所以有（ii） ； 若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。(比如：；)三等比数列1定义：2.等比中项：如果，成等比数列，那么，即。3.等比数列的判定方法：定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。4.等比数列的通项公式：。5.等比数列的前n项和：6.等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第 项，且，公比为，则有.对于等比数列，若，则若数列是等比数列，是其前n项的和，那么， 成等比数列。四数列的通项求法： (1)等差，等比数列的通项公式； (2) （3）累乘法： (4)累加法：； (5)构造法：五数列的求和方法：(1)公式法：即等差与等比数列的公式；(2)裂项相消法： 如：(3)错位相减法：, 倒序相加法：如an=; 分组求和法：如：an=2n+3n六其他结论：1、(1) (2)；2、在等差数列中,(1)当,d0时，满足 的项数m使得取最小值。3、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d4、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；第四章 三角函数一、基本概念和知识要点1三角函数定义：sin=，cos=，tan=，cot=，sec=，csc=。2同角三角函数的关系中，平方关系是：；倒数关系是：，商数关系是：，。3 诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限（的奇、偶数倍）。如：，=，。4、三角函数的图象：ysinxycosx （略） 5 函数的最大值是，最小值为，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，对称中心为（，0），其中横坐标满足。6 三角函数的单调区间：的递增区间是递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，7yAsin(x)五点法作图：依次取x8三角变换： (A0，0) 先平移变换，再伸缩变化先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中x的系数提出）如将函数的图象按平移后得函数的图象，则9两角和与差公式： 10、二倍角公式是：sin2=cos2= 2=。 tan=。11、升幂公式是： 。12、降幂公式是： 。13、万能公式：sin= cos= tan=14、特殊角的三角函数值：（自己总结）15、正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）：16、余弦定理第一形式：=；第二形式：cosB=17、ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，则：； ； （为ABC的周长）18、在ABC 中，（充要条件） 19解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边，由正弦定理求； （2）已知两边和夹角，应用余弦定理求c边；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C20.弧度制： ，弧长公式：； 扇形面积公式：；21几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升幂公式；（其中 ）这一公式应用广泛。22函数y = sin (x)：奇函数偶函数函数y =cos (x)：奇函数偶函数第五章 平面向量1.向量的概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。（2）几种向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。向量的坐标表示：=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)（3）向量的运算 向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：坐标运算：a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。2.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：向量的夹角： （） 两个向量的数量积：=cos其中cos称为向量在方向上的投影向量的数量积的性质： 若=（）,=（）则= =0与夹角为锐角;与夹角为钝角3.定理与公式 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得=。 结论： ()的充要条件是x1y2-x2y1=0平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1,2使=1+2两向量垂直的充要条件(i) =0 (ii) x1x2+y1y2=0三点共线定理： 平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数、,使=+，其中+=1，O为平面内异于A、B、C的任一点。两点间的距离公式：|=，其中P1(x1,y1),P2(x2,y2)点的平移公式：若点P0(x,y)按向量=(h,k)平移至P(x,y)，则定比分点公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则： 中点坐标公式： 重心公式：第六章 不等式一、不等式的性质二、常用的基本不等式和重要的不等式：（1），当且仅当号；（2），则；当且仅当号；注：（3）；（4）若a、b、mR+，且ab，则或； 三、最值定理（均值不等式）（1）如积（2）如和即；积定和最小，和定积最大。注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”四、恒成立问题如：关于x的不等式对恒成立，则的取值范围 。五、不等式的同解性 (1)当a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解，当0a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解 第七章 直线和圆的方程一、解析几何中的基本公式1、 两点间距离：若，则2、 平行线间距离: 若 则 3、 点到直线的距离：若 ， 则4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消y：，注意若A则：5、 若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，k1，k2都存在且k1k21则l1到l2的角为，若l1与l2的夹角为，则，注意：（1）l1l2时，夹角、到角=。 （2）当l1与l2中有一条斜率不存在时，画图求到角或夹角。6、直线的倾斜角的取值范围：； 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。（斜率k=tan，时，无斜率） 若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan。(如图) 二 线方程的五种形式斜截式：y=kx+b 斜率不存在的直线不能用斜截式表示点斜式： 斜率存在时为两点式： （x1x2）截距式： 其中l交x轴于，交y轴于,a0,b0,当直线l坐标轴上的截距相等时应分：(1)截距= 设 即x+y= （2）截距=0 设y=kx一般式： （其中A、B不同时为零）三、简单的线性规划 线性规划问题一般用图解法.四、.圆的方程 （1）标准方程： ， 。（2）一般方程：，（ (3)参数方程 以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为 2、直线与圆的位置关系有三种：； 3.圆与圆的公共弦所在直线方程第八章 圆锥曲线定义、标准方程及性质一、椭圆1.定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。定义：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0e1），则动点P的轨迹是双曲线。（2）若双曲线方程为渐近线方程： 若渐近线方程为双曲线可设为 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）（3）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；三、抛物线 1.定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。 2.性质： （焦点到准线的距离）； 焦点： ，通径； 准线： ； 焦半径：过焦点弦长3.焦点弦长公式： 设过抛物线y2=2px（pO）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的倾斜角为，则有|AB|=x+x+p抛物线上的动点可设为P或四、曲线和方程1交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组2过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)f2(x，y)=0(R)第九章 直线、平面、简单几何体一、知识结构二、经纬度及球面距离：根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数。求球面上两点A、B间的距离求法：计算线段AB的长，计算球心角AOB的弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长；三、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点四、其他结论：1、 三余弦公式：（如图）其中为斜线与平面内直线所成的角,为线面角,（竖直平面内）为射影与平面内直线所成的角，（水平平面内） 有。2、正（长）方体的外接球的直径等于其体对角线长；即：五、高考立体几何解答题空间向量解法1建立空间直角坐标系（1分）：x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.（解题时先找出三条两两垂直的直线）例如：点A的坐标为(),，（1分）则， （终点坐标减去起点坐标）线段AB的中点坐标（，）2令,，则 ，夹角公式3求法向量的常用方法：例如：求平面AEF的法向量，若求出，则设是平面AEF的一个法向量，由 （1分） 得 令，则若所求平面由两个坐标轴确定，则选第三个坐标轴的一个向量作为法向量。4.几个常用的公式：点B到平面的距离公式为.（1分）(是平面的一个法向量).直线与平面所成角，先设直线与平面所成角为 ，则 （1分）(为平面的法向量).再求出=。.求二面角的大小：设，为平面，的法向量先求，（1分）就得二面角的大小为（夹角是锐角还是钝角由图象可知）（其中要证面面垂直，则证）异面直线所成的角例如：求异面直线AB和CD所成的角。 ，（1分）（其中要证线线垂直，则证）证直线AB与平面CDE垂直，则证（1分）证直线AB与直线CD平行，则证，（1分）（为常数）证直线AB与平面平行，则证，（1分）(为平面的法向量)。证平面与平面平行，先设，分别为平面，的法向量，则证与平行，即证。（1分）（为常数）第十章 排列组合、二项式定理1.分类计数原理（加法原理）.（加法分类，类类独立）分步计数原理（乘法原理）.（乘法分步，步步相关）2、排列数公式是：=；3、 组合数公式是：=； 组合数性质：= +=组合恒等式（1）=;（2）4、排列组合应用问题的处理方法：(1)要分清是先分步还是先分类，(2) 混合应用题要注意先组合再排列.(3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合(4)解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法分配名额隔板法注意：要区别平均分组与不平均分组的处理方法。6、二项式定理 ;（1）二项展开式的通项：（2）（3）F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；偶数项的系数和为；（赋值法）第十一章 概率统计（理 科）一、概率：1.等可能事件的概率：P(A)=理解这里m、的意义。互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，P(A+B)=P（A）+ P(B)对立事件：即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。P（A）+ P(B)相互独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B)独立重复事件 如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复实验中这个事件发生k次的概率Pn(K)=Cnkpk(1p)k 2.三种抽样：（1）简单随机抽样：常用抽签法和随机数表法。 （2）分层抽样；（3）系统抽样：3频率分布直方图：画图时，应以横轴表示 总体 ，纵轴表示 频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高分别画成矩形，这样得到的直方图就是频率分布直方图图中每个矩形的面积等于相应组的频率 。二、随机变量. 1、分布列、数学期望与方差.（1） 数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P性质； 则称为的数学期望方差、标准差：为的方差. 显然，故为的根方差或标准差. 越小，稳定性越高，波动越小. （2）随机变量的数学期望： 方差.二项分布： 分布列为.（P为发生的概率），几何分布：分布列为.（P为发生的概率），三、正态分布：1、 标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即有，求出，而P（ab）的计算则是.注意：当标准正态分布的的X取0时，有 正态分布与标准正态分布间的关系：若则有. 第十二章 极 限（理 科）一、数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤：1(归纳奠基)证明当n取 第一个值时命题成立；2(归纳递推)假设nk(k，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立二、数列极限 （1）如果anA，bnB，C为常数，那么： (anbn)； (anbn)； (B0)； (Can)。（2）常用的几个极限 若C为常数，则C C ；若C为常数，则 0 ； 若|a|1，则an 0 ；如果等比数列an的首项为a1，公比满足|q|1且q0，Sn为其前n项和，则Sn.二、函数极限 ：1.当xx0且xx0时，f(x)a，记作f(x)a，称a为f(x)在x0点处的右极限3当且仅当 左极限=右极限= 时，f(x)a.4对于“”型的极限，一般对分子、分母进行因式分解（若含根号，则需进行分母或分子有理化），找出公共的零因子并约去，使化简后的式子的分母的极限存在且不为零，从而求出极限值.三、函数的连续性 （有定义，极限存在，极限值=函数值）函数f(x)在点xx0处连续，如果函数yf(x)在点xx0处及其附近有定义，且f(x) ，就说f(x)在点x0处连续第十三章 导 数（理 科）一、导数的背景：瞬时速度; 切线斜率。二、导数的定义1.y=f(x)在点x0处的导数记作；2.导数的几何意义：曲线yf（x） 在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是3.常见函数的导数公式：；，4.导数的运算法则： ；5复合函数的导数：（注意继续对子函数进行求导）6.导数的应用：（1）求函数的单调区间： 令，或，（2）求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求y=f(x)在a,b内的极值；将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。第十四章 复 数（理 科） 复数的形式：共轭复数；复数的模 复数的运算与多项式的运算（注意除法，分子、分母同乘以分母的共轭复数）21