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第一章 集合与简易逻辑
一、集合知识
1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.
3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
4. 集合运算：交、并、补.
5. 主要性质: ①
②CU(A∩B)= (CUA)∪(CUB) CU(A∪B)= (CUA)∩(CUB)
6. 设集合A中有n个元素,则①A的子集个数为； ②A的真子集个数为；
③A的非空子集个数为；④A的非空真子集个数为.
7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集

二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法
1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式（
②一元二次不等式：（大于取两边，小于取中间）
③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过）
2.分式不等式的解法
（移项通分，不能去分母）
3.含绝对值不等式的解法
,与型的不等式的解法.
（将x的系数化为正,大于取两边，小于取中间）

三．简易逻辑
1．构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )(一真则真)；
p且q(记作“p∧q” )（一假则假）；非p(记作“┑q” )（真假相反） 。
2．四种命题的形式：原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
(原命题逆否命题)
3、充要条件：
4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

第二章 函 数
一、函数与映射
1．映射的性质：从A到B的映射：①A中不能有剩余元素，B中可以有剩余元素，
②允许多对一，不允许一对多。③若A有3个元素，B有4个元素，则有 个映射。
2．函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

二、函数的性质
（1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称）
奇函数：、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单调性；
偶函数：、图象关于轴对称，在两个对称区间具有相反的单调性；
常用的结论：若是奇函数，且，则；
若是偶函数，则；反之不然。
常见的奇函数：① ② ③
④ ⑤ ⑥
非奇非偶函数：f（x）=.
（2）单调性（在定义域的某一个子集内考虑）
①定义法 步骤：a.设；b.作差；c.判断正负号。
②掌握函数的图象和性质；
函数

(b – ac≠0)
）

图

象

y

X
o
X=-c
Y=a

x
y
o

单

调

性
当b-ac>0时:
在上单调递减；
当b-ac<0时:
在上单调递增。
在上单调递增；
在上单调递增。
③一些有用的结论： .在公共定义域内
增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数； 减函数增函数是减函数。

（3）函数的周期性：
①y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) (a>0)恒成立,则y=f(x)的周期为2a；
②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)的周期为2︱a︱；
③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x) 的周期为4︱a︱；
④y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x) 的周期为2；

三、函数的图象
1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、
（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换：（1）平移变换 （先表示成y=f(x)：左加右减，上加下减。）
（2）对称变换：函数与函数的图象关于轴对称；
函数与函数的图象关于轴对称；
函数与函数的图象关于坐标原点对称；
②如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线对称。
如果对于函数y=f(x)都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线对称。
③ （把轴下方的图象翻折到上方）
④ （擦掉轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧）
⑤与关于直线对称。性质：
（3）伸缩变换： ②系数变小伸长；系数变大缩短。

四、函数的反函数
求反函数的步骤：①求原函数，的值域B ②把看作方程，解出；x，y互换的的反函数为，。

五、求函数的值域的常用解题方法：
① 配方法。如函数的值域，特点是可化为二次函数的形式；
②换元法：如y= ③单调性：如函数 x∈[1,2]
④判别式法（△法）如函数y=
⑤利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x－2| ⑥利用反函数：如函数y=　　
⑦利用基本不等式：如函数y= ⑧.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)；
⑨.a≥f(x) a≥［f(x)］max,; a≤f(x) a≤［f(x)］min;

六、指数、对数的性质：
1.,
2.
，
，

3. 的符号由口诀“同正异负”记忆; 如：。
七、复合函数单调性：，：同增同减为增，一增一减为减。

第三章 数 列

一．数列及数列的通项公式
1.数列的前n项和： 2.数列的通项公式：
3.递推公式：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。

二．等差数列
1.定义： 即：
2.判定方法：①定义法： (常数)； ②等差中项法： 。
3.通项公式：若首项是，公差是，则通项为。是关于n的一次函数。
4.等差数列的前n项和： ① ②
对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数（充要条件）。
5.等差中项：如果，，成等差数列，则有或
6.等差数列的性质： ①．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，
是等差数列的第项，且，公差为，则有
②.若，则。
③.是其前n项的和，，那么，，成等差数列。
④.是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，
结论：(i)；
所以有
（ii）

；
⑤．若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，
则。(比如：；)

三．等比数列
1．定义：
2.等比中项：如果，，成等比数列，那么，即。
3.等比数列的判定方法：
⑴定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
⑵等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
4.等比数列的通项公式：。
5.等比数列的前n项和：
6.等比数列的性质：
⑴．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第 项，且，公比为，则有
⑵.对于等比数列，若，则
⑶．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，
成等比数列。

四．数列的通项求法：
(1)等差，等比数列的通项公式；
(2) （3）累乘法：
(4)累加法：； (5)构造法：

五．数列的求和方法：(1)公式法：即等差与等比数列的公式；
(2)裂项相消法： 如：
(3)错位相减法：,
⑷倒序相加法：如an=; ⑸分组求和法：如：an=2n+3n

六．其他结论：
1、
(1)
(2)；
2、在等差数列中,(1)当,d<0时，满足 的项数m使得取最大值.
(2)当,d>0时，满足 的项数m使得取最小值。
3、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
4、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

第四章 三角函数
一、基本概念和知识要点
1．三角函数定义：sin=，cos=，tan=，cot=，sec=，csc=。
2．同角三角函数的关系中，平方关系是：；；
倒数关系是：，商数关系是：，。
3． 诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限（的奇、偶数倍）。
如：，=，。
4、三角函数的图象：
y＝sinx

y＝cosx

（略）

5． 函数的最大值是，最小值为，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，对称中心为（，0），其中横坐标满足。
6． 三角函数的单调区间：的递增区间是递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，
7．y＝Asin(ωx＋ψ)五点法作图：依次取ωx＋ψ＝
8．三角变换： (A>0，ω>0) ①先平移变换，再伸缩变化
②先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中x的系数提出）
如将函数的图象按平移后得函数的图象，则＝　
9．两角和与差公式：

10、二倍角公式是：sin2=
cos2===
2=。 tan==。
11、升幂公式是： 。
12、降幂公式是： 。
13、万能公式：sin= cos= tan=
14、特殊角的三角函数值：（自己总结）
15、正弦定理：（其中R表示三角形的外接圆半径）：
16、余弦定理第一形式：=；第二形式：cosB=

17、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，则：
①； ②；④；
③； ⑤ （为△ABC的周长）
18、在△ABC 中，①，…②（充要条件）
③
④
⑤
19．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边，由正弦定理求； （2）已知两边和夹角，应用余弦定理求c边；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，
（4）已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C．
20.弧度制： ，弧长公式：； 扇形面积公式：；
21．几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升幂公式；
（其中 ）这一公式应用广泛。
22．函数y = sin (ωx＋φ)：奇函数．偶函数
函数y =cos (ωx＋φ)：奇函数．偶函数．

第五章 平面向量
1.向量的概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。
（2）几种向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。
向量的坐标表示：=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)
（3）向量的运算 ①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

②坐标运算：a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。

2.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：
①向量的夹角： （） ②两个向量的数量积：·=︱︱·︱︱cos．
其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．
③向量的数量积的性质： 若=（）,=（）
则·= ⊥·=0
与夹角为锐角;与夹角为钝角
3.定理与公式
① 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λ。
结论：∥ (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0
②平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2
③两向量垂直的充要条件(i) ⊥·=0 (ii) ⊥x1·x2+y1·y2=0
④三点共线定理： 平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,
使=α+β，其中α+β=1，O为平面内异于A、B、C的任一点。
⑤两点间的距离公式：||=，其中[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]
⑥点的平移公式：若点P0(x,y)按向量=(h,k)平移至P(x′,y′)，则
⑦定比分点公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则： 中点坐标公式： 重心公式：

第六章 不等式
一、不等式的性质

二、常用的基本不等式和重要的不等式：
（1），当且仅当号；
（2），则；当且仅当号；
注：
（3）；；
（4）若a、b、m∈R+，且a<b，则或；

三、最值定理（均值不等式）
（1）如积
（2）如和
即；积定和最小，和定积最大。注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”

四、恒成立问题
如：关于x的不等式对恒成立，则的取值范围 。

五、不等式的同解性
(1)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．

第七章 直线和圆的方程
一、解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若，则
2、 平行线间距离: 若 则
3、 点到直线的距离：若 ， 则
4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消y：，注意
若A则：
5、 若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，k1，k2都存在且k1k2－1
则l1到l2的角为，
若l1与l2的夹角为，则，
注意：（1）l1l2时，夹角、到角=。
（2）当l1与l2中有一条斜率不存在时，画图求到角或夹角。
6、直线的倾斜角的取值范围：；
① 每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。
（斜率k=tanα，时，无斜率）
② 若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan。(如图)

二． 线方程的五种形式
①斜截式：y=kx+b 斜率不存在的直线不能用斜截式表示
②点斜式： 斜率存在时为
③两点式： （x1≠x2）
④截距式： 其中l交x轴于，交y轴于,a≠0,b≠0,
当直线l坐标轴上的截距相等时应分：(1)截距= 设 即x+y=
（2）截距=0 设y=kx
⑤一般式： （其中A、B不同时为零）

三、简单的线性规划 线性规划问题一般用图解法.

四、.圆的方程 （1）标准方程： ， 。
（2）一般方程：，（

(3)参数方程 ①以(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为
②
2、直线与圆的位置关系有三种：
；；
3.圆与圆的公共弦所在
直线方程

第八章 圆锥曲线定义、标准方程及性质
一、椭圆
1.定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0<e<1），则P点的轨迹是椭圆。
2.标准方程：
长轴长=，短轴长=2b 焦距：2c
准线方程： 焦半径：
设P(x1,y1)，， （ 左加右减）
注意：（1）通径为 （2）椭圆上的点可设为；
（3）请自己补充当焦点在y轴上时，其相应的性质。

二、双曲线
(1)Ⅰ.若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。
Ⅱ.若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
（2）若双曲线方程为渐近线方程：
若渐近线方程为双曲线可设为
若双曲线与有公共渐近线，可设为
（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
（3）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，
此时双曲线为等轴双曲线，可设为；

三、抛物线
1.定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
2.性质： （焦点到准线的距离）；
焦点： ，通径； 准线： ；
焦半径：过焦点弦长
3.焦点弦长公式：
设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p
③抛物线上的动点可设为P或
四、曲线和方程
1．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
2．过两曲线f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交点的曲线系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．

第九章 直线、平面、简单几何体
一、知识结构

二、经纬度及球面距离：
⑴根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，
某地的纬度是一个线面角的度数。
⑵求球面上两点A、B间的距离求法：①计算线段AB的长，
②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长；

三、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点

四、其他结论：
1、 三余弦公式：（如图）其中为斜线与平面内直线所成的角,
为线面角,（竖直平面内）为射影与平面内直线所成的角，
（水平平面内） 有。
2、正（长）方体的外接球的直径等于其体对角线长；即：

五、高考立体几何解答题空间向量解法
1．建立空间直角坐标系（1分）：x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵坐标），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.（解题时先找出三条两两垂直的直线）
例如：点A的坐标为(),，（1分）则
， （终点坐标减去起点坐标）
线段AB的中点坐标（，，）
2．令,，则 ，
夹角公式
3．求法向量的常用方法：
①例如：求平面AEF的法向量，若求出，
则设是平面AEF的一个法向量，
由 （1分） 得 令，则

②若所求平面由两个坐标轴确定，则选第三个坐标轴的一个向量作为法向量。

4.几个常用的公式：
①点B到平面的距离公式为.（1分）(是平面的一个法向量)
②.直线与平面所成角，先设直线与平面所成角为 ，
则 （1分）(为平面的法向量).再求出=。
③.求二面角的大小：设，为平面，的法向量
先求，（1分）就得二面角的大小为
（夹角是锐角还是钝角由图象可知）（其中要证面面垂直，则证）
④．异面直线所成的角
例如：求异面直线AB和CD所成的角。
，（1分）（其中要证线线垂直，则证）
⑤．证直线AB与平面CDE垂直，则证（1分）
⑥．证直线AB与直线CD平行，则证，（1分）（为常数）
⑦．证直线AB与平面平行，则证，（1分）(为平面的法向量)。
⑧．证平面与平面平行，先设，分别为平面，的法向量，
则证与平行，即证。（1分）（为常数）

第十章 排列组合、二项式定理
1.分类计数原理（加法原理）.（加法分类，类类独立）
分步计数原理（乘法原理）.（乘法分步，步步相关）
2、排列数公式是：==；
3、 组合数公式是：==；
组合数性质：= +=
组合恒等式（1）=;（2）
4、排列组合应用问题的处理方法：
(1)要分清是先分步还是先分类，(2) 混合应用题要注意先组合再排列.
(3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
(4)解排列组合问题的规律是：①相邻问题捆绑法；②不邻问题插空法；③多排问题单排法；
④定位问题优先法；⑤定序问题倍缩法；⑥多元问题分类法；⑦选取问题先选后排法；
⑧至多至少问题间接法．⑨分配名额隔板法
注意：要区别平均分组与不平均分组的处理方法。
6、二项式定理 ;
（1）二项展开式的通项：
（2）
（3）F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；
偶数项的系数和为；（赋值法）

第十一章 概率统计（理 科）
一、概率：1.①等可能事件的概率：P(A)=　理解这里m、ｎ的意义。
　②互斥事件（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，P(A+B)=P（A）+ P(B)
　③对立事件：即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。P（A）+ P(B)＝１
　④相互独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B)
　⑤独立重复事件 如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复实验中这个事件发生k次的概率Pn(K)=Cnkpk(1－p)k
2.三种抽样：（1）简单随机抽样：常用抽签法和随机数表法。 （2）分层抽样；（3）系统抽样：
3．频率分布直方图：画图时，应以横轴表示 总体 ，纵轴表示 频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高分别画成矩形，这样得到的直方图就是频率分布直方图．图中每个矩形的面积等于相应组的频率 。
二、随机变量.
1、分布列、数学期望与方差.
（1） 数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

…
P

…

…
性质①； ②
则称为ξ的数学期望
方差、标准差：为ξ的方差. 显然，
故为ξ的根方差或标准差. 越小，稳定性越高，波动越小.
（2）①随机变量的数学期望： 方差.
②二项分布： 分布列为～.（P为发生的概率），
③几何分布：分布列为～.（P为发生的概率），
三、正态分布：1、 ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.
注意：当标准正态分布的的X取0时，有
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：
若～则有.

第十二章 极 限（理 科）
一、数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤：
1．(归纳奠基)证明当n取 第一个值时命题成立；
2．(归纳递推)假设n＝k(k≥，k∈N*)时命题成立，证明当时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．
二、数列极限 （1）如果an＝A，bn＝B，C为常数，那么：① (an±bn)＝；
② (an·bn)＝； ③ ＝(B≠0)； ④ (C·an)＝。
（2）常用的几个极限 ①若C为常数，则C＝ C ；
②若C为常数，则 ＝ 0 ； ③若|a|＜1，则an＝ 0 ；
④如果等比数列{an}的首项为a1，公比满足|q|＜1且q≠0，Sn为其前n项和，则Sn＝.
二、函数极限 ：
1.当x<x0且x→x0时，f(x)→a，记作f(x)＝a，称a为f(x)在x0点处的左极限；
2．当x>x0且x→x0时，f(x)→a，记作f(x)＝a，称a为f(x)在x0点处的右极限．
3．当且仅当 左极限=右极限= 时，f(x)＝a.
4．对于“”型的极限，一般对分子、分母进行因式分解（若含根号，则需进行分母或分子有理化），找出公共的零因子并约去，使化简后的式子的分母的极限存在且不为零，从而求出极限值.
三、函数的连续性 （①有定义，②极限存在，③极限值=函数值）
函数f(x)在点x＝x0处连续，如果函数y＝f(x)在点x＝x0处及其附近有定义，
且f(x)＝ ，就说f(x)在点x0处连续．

第十三章 导 数（理 科）
一、导数的背景：①瞬时速度; ②切线斜率。
　　二、导数的定义
　　1.y=f(x)在点x0处的导数记作；
2.导数的几何意义：曲线y＝f（x） 在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是
3.常见函数的导数公式：①；②
③；④；⑤；⑥
⑦，⑧
4.导数的运算法则： ①
②；③
5复合函数的导数：（注意继续对子函数进行求导）
6.导数的应用：（1）求函数的单调区间： 令，或，
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在[a,b]内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

第十四章 复 数（理 科）
① 复数的形式：共轭复数；复数的模
② ③
④复数的运算与多项式的运算（注意除法，分子、分母同乘以分母的共轭复数）

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