高中数学圆的方程典型例题(学生版).doc

专题四：高中数学圆的方程典型例题——圆的方程
例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．

说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．

例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．
例4、 设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．

说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？

专题五：高中数学圆的方程典型例题——切线方程、切点弦方程、公共弦方程、弦长、弧问题、
例1　已知圆，求过点与圆相切的切线．

例2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．

例3 过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程。

例4 求直线被圆截得的弦的长.

例5 求两圆和的公共弦长

练习：
1．求过点，且与圆相切的直线的方程．
2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为
3、已知直线与圆相切，则的值为 .
4、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为

专题六：高中数学圆的方程典型例题——直线与圆的位置关系
例1、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

例2、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

.
例3 圆上到直线的距离为1的点有几个？

练习1：直线与圆没有公共点，则的取值范围是

练习2：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .

练习3：　圆上到直线的距离为的点共有（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

练习4：　过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．
P
E
O
y
x

专题七：高中数学圆的方程典型例题——圆与圆的位置关系及
圆中的对称问题
例1、判断圆与圆的位置关系，

例2：圆和圆的公切线共有 条。
例3、圆关于直线对称的圆的方程是

G
O
B
N
M
y
A
x
图3
C
A’
例4　自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切
（1）求光线和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自到切点所经过的路程．

练习
1：若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .
2：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

专题八：高中数学圆的方程典型例题——圆中的最值问题
例1：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

例2　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

例3：已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .

练习：
1：已知点在圆上运动.
（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.

2 设点是圆是任一点，求的取值范围．

3、已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.

专题九：高中数学圆的方程典型例题——轨迹问题
例1 已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

例2 已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

例3 已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．

练习：
1、由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .
2、设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.

3、已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于
____________
4、已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，问点的轨迹是什么？
.

5、已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 .
6、已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.
、

专题十：高中数学圆的方程典型例题——圆的综合应用
例1、 已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．

说明：求解本题时，应避免去求、两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点、存在．
例2、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

例3 有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍．已知、两地距离为10公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
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