高中数学圆锥曲线试题(含答案).doc

理 数
圆锥曲线

1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.　　
[答案] 1.A
[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,
又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,
∴cos∠AF2F1===.故选A.
2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为(　　)
A.+=1　　B.+y2=1　　C.+=1　　D.+=1　　
[答案] 2.A
[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.
3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.3　　
[答案] 3.B
[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,
于是
∴m·n=··⇒m=3n.
∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.
4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的(　　)
A.焦距相等　　B.实半轴长相等　　C.虚半轴长相等　　D.离心率相等　　
[答案] 4.A
[解析] 4.∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.
∴-=1与-=1均表示双曲线,
又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,
∴它们的焦距相等,故选A.
5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(　　)
A.5　　B.+　　C.7+　　D.6　　
[答案] 5.D
[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),
则|MQ|=
=
=
=≤5,
故|PQ|max=5+=6.

6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(　　)
A.x±y=0B.x±y=0
C.x±2y=0D.2x±y=0
[答案] 6.A
[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.
故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.
7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　B.-=1　　C.-=1　　D.-=1
[答案] 7.A
[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.
8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（    ）
A．            B．          C．　　D．
[答案] 8.  B
[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，
在抛物线方程中，令可得，即
从而可得，，
因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，
所以直线的方程为，
故选B．
9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（   ）
  A.             B.
  C.             D.
[答案] 9.  D
[解析] 9.  因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.
10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.
[答案] 10.
[解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,
+=1②.
①、②两式相减并整理得=-·.
把已知条件代入上式得,-=-×,
∴=,故椭圆的离心率e==.
11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.
[答案] 11.1+
[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,
故C,F,
又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,
从而有即
∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,
又>1,
∴=1+.
12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.
[答案] 12.x2+y2=1
[解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).
又∵|AF1|=3|F1B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,∴b2=.
故椭圆E的方程为x2+y2=1.

13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
[答案] 13.
[解析] 13.由得A,
由得B,
则线段AB的中点为M.
由题意得PM⊥AB,∴kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.
14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.
[答案] 14.  y=3
[解析] 14.  抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.
15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
[答案] 15.查看解析
[解析] 15.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.(5分)
(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)
由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,
即4(m2+1)2++=.
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)
16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标.
[答案] 16.查看解析
[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得
解得a2=6,b2=2,
所以椭圆C的标准方程是+=1.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).
则直线TF的斜率kTF==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.
当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得
消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.
所以y1+y2=,y1y2=,
x1+x2=m(y1+y2)-4=.
所以PQ的中点M的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM=-,
又直线OT的斜率kOT=-,所以点M在直线OT上,
因此OT平分线段PQ.
(ii)由(i)可得,
|TF|=,
|PQ|=
=
==.
所以==≥=.
当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.
所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).
17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
[答案] 17.查看解析
[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,
∴a=3,b2=a2-c2=4,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设两切线为l1,l2,
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).
②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,
整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,
∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,
∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,
∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,
同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,
∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,
∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
检验P(±3,±2)满足上式.
综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.
证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.

[答案] 18.查看解析
[解析] 18.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,
直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.
又直线OA的方程为y=x,则A,kAB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),
即y=.
因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;
直线l与直线x=的交点为N,
则===·.
因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得
=·=·=,
所求定值为==.
19. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.

[答案] 19.查看解析
[解析] 19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.
设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得xP=,从而yP=,
∴点P的坐标为.
同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴=(k,-4),=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
故直线l的方程为y=-(x-1).
解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.
20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.
(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

[答案] 20.查看解析
[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF2==a.
又BF2=,故a=.
因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.
故所求椭圆的方程为+y2=1.

(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为+=1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,
且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.
21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.
(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.

[答案] 21.查看解析
[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).
由题意知解得a2=1,b2=2,
故C1的方程为x2-=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.
由P(,)在C2上,得+=1,
解得=3,因此C2的方程为+=1.
显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,
因此
由x1=my1+,x2=my2+,得

因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).
由题意知·=0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤
将①,②,③,④代入⑤式整理得
2m2-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为
x-y-=0或x+y-=0.
22.(2012太原高三月考，20,12分)
已知曲线C:x2+=1.
(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;
(Ⅱ)如果直线l的斜率为,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线C的方程.
[答案] 22.(Ⅰ)设E(x0,y0),P(x,y),
则F(x0,0),∵=3,
∴(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),
∴代入曲线C中得x2+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)
①当λ=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)
②当0<λ<时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆;(4分)
③当λ>时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆;(5分)
④当λ<0时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线.(6分)
(Ⅱ)由题设知直线l的方程为y=x-2,代入曲线C中得
(λ+2)x2-4x+4-λ=0,(7分)
令A(x1,y1),B(x2,y2),
∵以上方程有两解,∴Δ=32-4(λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分)
∴λ>2或λ<0且λ≠-2,
x1+x2=,x1·x2=.
又·=x1·x2+(y1+2)(y2+2)=3x1·x2==-.(10分)
解得λ=-14,(11分)
∴曲线C的方程是x2-=1.(12分)
22.
23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.
[答案] 23.（I）由题意得，∴，∴.
由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为
，
∴，
∴
∴椭圆C的方程为
（II）设，直线AB的方程为
则，
，
直线AB的方程与椭圆C的方程联立得
消去得
整理得
则是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴

，
∴，

整理得，
∴，
∴O到直线AB的距离
即O到直线AB的距离定值. ……8分

∴，当且仅当OA=OB时取“=”号.
∴，
又，∴,

即弦AB的长度的最小值是
23.
24.(2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,20，14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
（１）求椭圆的方程；
（２）已知动直线与椭圆相交于、两点，
①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
②已知点，求证：为定值.
[答案] 24.（1）由题意得……2分
解得，
所以椭圆C的方程为.…4分
（2）①设，
直线方程与椭圆C的方程联立得
消去，整理得，……6分
则是关于的方程两个不相等的实数根，
恒成立，，……7分
又中点的横坐标为，所以，
解得.…………9分
②
则，
由①知，，
所以，…………11分

…………12分

.…14分
24.