清华老师绝密高考数学压轴题完全解析.doc

高考数学压轴题

1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分)
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。
由已知得解得
所以椭圆的方程为，离心率。
（2）解：由（1）可得A（3，0）。
设直线PQ的方程为。由方程组
得，依题意，得。
设，则， ① 。 ②
由直线PQ的方程得。于是
。 ③
∵，∴。 ④
由①②③④得，从而。
所以直线PQ的方程为或
（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组

注意，解得
因，故
。
而，所以。

2． 已知函数对任意实数x都有，且当时，。
（1） 时，求的表达式。
（2） 证明是偶函数。
（3） 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
①f(x)= (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。
（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；
（3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。

①x2=4y ②x1x2=-4 ⑶P(±2,1) SMIN=

4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.
.解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1）
设BC∶y＝kx＋1（k＞0）
则AB∶y＝－x＋1
把BC方程代入椭圆，
是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0
∴|BC|＝，同理|AB|＝
由|AB|＝|BC|，得k3－a2k2＋ka2－1＝0
（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0
∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0
当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4
由Δ＜0，得1＜a＜
由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1
故，由Δ≤0，即1＜a≤时有一解
由Δ＞0即a＞时有三解

5 已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.
解：依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x），
得ax2＋2bx＋c＝0.（*）
Δ＝4（b2－ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0
∴f（x）、g（x）相交于相异两点 
（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标
则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*），知
|A1B1|2＝

∵，而a＞0，∴
∵，∴
∴
∴4［（）2＋＋1］∈（3，12）
∴|A1B1|∈（，2）

6 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。
（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。
解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,,=（－2－x,－y）
=（2－x,－y）
∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=

由题意得∣PH∣2=2··
即
即，所求点P的轨迹为椭圆
由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣
双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为
所以，双曲线C的实半轴长a=
又
∴双曲线C的方程式为

7．已知数列{an}满足
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.
（1）
（2）

8．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围；
（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分
故设双曲线C的方程为．
又双曲线C的一个焦点为
∴，．
∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分
（Ⅱ）由得．
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．
因此　 解得．
又AB中点为，
∴直线l的方程为．………………………………6分
令x=0，得．
∵，
∴
∴．………………………………………………8分
（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，
若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．
根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
　　 ①…………………………………………10分
由于点N是线段的中点，设，．
则，即．
代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分

9. 对任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；
试比较与的大小．

解：（Ⅰ）因为．所以．……2分
令，得，即．……………4分
（Ⅱ）
又………………5分
两式相加
．
所以，………………7分
又．故数列是等差数列．………………9分
（Ⅲ）

………………10分
………………12分

所以……………………………………………………………………14分

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