1、高考数学压轴题1椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于、两点。 （1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明. (14分)（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得，依题意，得。设，则， 。 由直线PQ的方程得。于是。 ，。 由得，从而。所以直线PQ的方程为或（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故。而，所以。2 已知函数对任意实数x都有，且当时，。（1） 时，求的
2、表达式。（2） 证明是偶函数。（3） 试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有4个实根3（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。（1） 若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2） 过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2 为定值；（3） 过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。x2=4y x1x2=-4 P(2,1) SMIN=4.以椭
3、圆1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.解：因a1，不防设短轴一端点为B（0，1）设BCykx1（k0）则AByx1 把BC方程代入椭圆，是（1a2k2）x22a2kx0|BC|，同理|AB|由|AB|BC|，得k3a2k2ka210（k1）k2（1a2）k10 k1或k2（1a2）k10当k2（1a2）k10时，（a21）24由0，得1a由0，得a，此时，k1故，由0，即1a时有一解由0即a时有三解 5 已知，二次函数f（x）ax2bxc及一次函数g（x）bx，其中a、b、cR，abc，abc0.（）求证：f（x）及g（x）两函数
4、图象相交于相异两点；（）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围. 解：依题意，知a、b0abc且abc0a0且c0 （）令f（x）g（x），得ax22bxc0.（*）4（b2ac）a0，c0，ac0，0f（x）、g（x）相交于相异两点 （）设x1、x2为交点A、B之横坐标则|A1B1|2|x1x2|2，由方程（*），知|A1B1|2 ，而a0， 4（）21（3，12）|A1B1|（，2） 6 已知两点M（2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，是2和的等比中项。（1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）
5、 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,=（2x,y）=（2x,y）=（2x,y）（2x,y）=由题意得PH2=2即即，所求点P的轨迹为椭圆由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，1），则QE=QN双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为所以，双曲线C的实半轴长a=又双曲线C的方程式为7已知数列an满足 （1）求数列bn的通项公式； （2）设数列bn的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.（1） （2）8已知焦点在轴上的双曲线C
6、的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称（）求双曲线C的方程；（）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； （）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程解：（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0该直线与圆相切，双曲线C的两条渐近线方程为y=x2分故设双曲线C的方程为又双曲线C的一个焦点为 ，双曲线C的方程为4分（）由得令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根因此 解得又AB中点为，直线l的方程为6分令x=0，得，8分（）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 10分由于点N是线段的中点，设，则，即代入并整理得点N的轨迹方程为12分9. 对任意都有（）求和的值（）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；试比较与的大小解：（）因为所以2分令，得，即4分（）又5分两式相加所以，7分又故数列是等差数列9分（）10分12分所以14分第 8 页 共 8 页
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