上海市宝山区吴淞中学2025年高一下数学期末检测模拟试题含解析.doc

上海市宝山区吴淞中学2025年高一下数学期末检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角的终边经过点，则
A． B． C． D．
2．定义运算:.若不等式的解集是空集，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．等差数列{}中，＝2，＝7，则＝( )
A．10 B．20 C．16 D．12
4．若实数满足约束条件 ，则的最大值为（　　）
A．9 B．7 C．6 D．3
5．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
7．己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（ ）
A．公差不为0的等差数列 B．公比不为1的等比数列
C．常数数列 D．以上都不对
8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．设为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．-11 B．-8 C．5 D．11
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设数列的前n项和为，关于数列，有下列三个命题：
（1）若既是等差数列又是等比数列，则；
（2）若，则是等差数列：
（3）若，则是等比数列
这些命题中，真命题的序号是__________________________.
12．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________.
13．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.
14．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．

15．若角是第四象限角，则角的终边在_____________
16．等差数列中，则此数列的前项和 _________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知平面，为矩形，分别为的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求证：面平面；
（3）求点到平面的距离.
18．如图，在处有一港口，两艘海轮同时从港口处出发向正北方向匀速航行，海轮的航行速度为20海里/小时，海轮的航行速度大于海轮．在港口北偏东60°方向上的处有一观测站，1小时后在处测得与海轮的距离为30海里，且处对两艘海轮，的视角为30°．

（1）求观测站到港口的距离；
（2）求海轮的航行速度．
19．已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．若数列满足：存在正整数，对任意的，使得成立，则称为阶稳增数列.
（1）若由正整数构成的数列为阶稳增数列，且对任意，数列中恰有个，求的值；
（2）设等比数列为阶稳增数列且首项大于，试求该数列公比的取值范围；
（3）在（1）的条件下，令数列（其中，常数为正实数），设为数列的前项和.若已知数列极限存在，试求实数的取值范围，并求出该极限值.
21．已知向量，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量与的夹角.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．
【详解】
因为，，所以．
故选：A．
本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．
2、B
【解析】
根据定义可得的解集是空集，即恒成立，再对分类讨论可得结果.
【详解】
由题意得的解集是空集，
即恒成立.
当时，不等式即为，不等式恒成立；
当时，若不等式恒成立，则即解得.
综上可知:.
故选：B
本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于基础题.
3、D
【解析】
根据等差数列的性质可知第五项减去第三项等于公差的2倍，由=+5得到2d等于5，然后再根据等差数列的性质得到第七项等于第五项加上公差的2倍，把的值和2d的值代入即可求出的值,即可知=,故选D.
4、A
【解析】

由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5、A
【解析】
由题意知，不等式有解，可得出，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】
已知命题，，若是真命题，则不等式有解，
，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及一元二次不等式有解的问题，考查计算能力，属于基础题.
6、C
【解析】
试题分析：可采用排除法，令和，验证选项，只有，使得，故选C．
考点：数列的通项公式．
7、C
【解析】
先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.
【详解】
设,则,
因为,故,故二次函数,整理得
,故与为方程的两根,所以为常数.
故选C.
本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.
8、D
【解析】
对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.
【详解】
对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.
对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.
对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，
可判定C正确.
对于D，若，则或相交，所以D不正确.
故选：D
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.
9、D
【解析】
取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求
【详解】
取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF, 因为则为二面角的平面角，即
又
设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为
则面，由
在四边形中，设，外接球半径为，则
则三棱锥的外接球的表面积为
故选D
本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题
10、A
【解析】
设数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0,
得a1q(8+q3)=0.
又∵a1q≠0,∴q=-2.
∴===-11.故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、（1）、（2）、（3）
【解析】
利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前项和形式，逐一判断即可.
【详解】
既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确.
等差数列的前项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确.
等比数列的前项和是常数加上常数乘以的形式，故（3）正确.
故答案为：（1），（2），（3）
本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前项和，属于简单题.
12、6
【解析】
利用代数余子式的定义直接求解.
【详解】
三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：
.
故答案为：6.
本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.
13、
【解析】
利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.
【详解】
如图，

当时，，则在点处取最小值，符合
当时，令，
要在点处取最小值，则
当时，
要在点处取最小值，则
综上所述：
故答案为：
本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.
14、
【解析】
先求出点B的坐标，再求出M的坐标.
【详解】
由题得B(4,6,0),,
因为M点是中点，
所以点M坐标为.
故答案为
本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
15、第二或第四象限
【解析】
根据角是第四象限角，写出角的范围，即可求出角的终边所在位置．
【详解】
因为角是第四象限角，所以，即有
，当为偶数时，角的终边在第四象限；当为奇数时，角的终边在第二象限，故角的终边在第二或第四象限．
本题主要考查象限角的集合的应用．
16、180
【解析】
由,
,可知.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
(1)利用线面平行的判定定理，寻找面PAD内的一条直线平行于MN，即可证出；（2）先证出一条直线垂直于面PCD，依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证出；
（3）依据等积法，即可求出点到平面的距离．
【详解】
证明：（1）取中点为，连接分别为的中点，
是平行四边形，
平面，平面，∴平面
证明：（2）因为平面，所以，而,
面PAD，而面 ，所以,
由,为的终点，所以
由于平面，又由（1）知，
平面，平面，∴平面平面
解：（3），
，，
则点到平面的距离为
（也可构造三棱锥）
本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力．
18、（1）海里；（2）速度为海里/小时
【解析】
（1）由已知可知,所以在中，运用余弦定理易得OA的长．（2）因为C航行1小时到达C，所以知道OC的长即可，即求BC的长．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．
【详解】
（1）因为海伦的速度为20海里/小时，所以1小时后，海里
又海里，，所以中，由余弦定理知：

即
即，解得：海里
（2）中，由正弦定理知：

解得：
中，，，所以
所以
在中，
由正弦定理知：
，解得：
所以
答：船的速度为海里/小时
三角形中一般已知三个条件可求其他条件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）数列的通项公式，利用，可求公差，然后可求；的通项公式可以利用退位相减法求解；
（Ⅱ）求出代入，利用分离参数法可求实数的取值范围.
【详解】
解：（Ⅰ）∵，∴，
∴，即，
∵，∴，
∴，∴，
又，也成立，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴.
（Ⅱ），
∴对恒成立，
即对恒成立，
令，，
当时，，
当时，，
∴，故，
即的取值范围为.
本题主要考查数列通项公式的求解和参数范围的确定，熟练掌握公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.
20、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）设，由题意得出，求出正整数的值即可；
（2）根据定义可知等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列，分和两种情况讨论，列出关于的不等式，解出即可；
（3）求出，然后分、和三种情况讨论，求出，结合数列的极限存在，求出实数的取值范围.
【详解】
（1）设，由于数列为阶稳增数列，则，
对任意，数列中恰有个，
则数列中的项依次为：、、、、、、、、、、、、、、、、，
设数列中值为的最大项数为，
则，
由题意可得，即，，解得，
因此，；
（2）由于等比数列为阶稳增数列，即对任意的，，且.
所以，等比数列中的奇数项构成的等比数列为阶稳增数列，偶数项构成的等比数列也为阶稳增数列.
①当时，则等比数列中每项都为正数，由可得，整理得，解得；
②当时，
（i）若为正奇数，可设，则，
由，得，即，整理得，解得；
（ii）若为正偶数时，可设，则，
由，得，即，整理得，解得.
所以，当时，等比数列为阶稳增数列.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），由（1）知，则.
①当时，，，则，
此时，数列的极限不存在；
②当时，，
，
上式下式得，
所以，，则.
（i）若时，则，此时数列的极限不存在；
（ii）当时，，
此时，数列的极限存在.
综上所述，实数的取值范围是.
本题考查数列新定义“阶稳增数列”的应用，涉及等比数列的单调性问题、数列极限的存在性问题，同时也考查了错位相减法求和，解题的关键就是理解新定义“阶稳增数列”，考查分析问题和解决问题能力，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.
21、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得结果；
（2）利用向量夹角公式可求得，进而根据向量夹角的范围求得结果.
【详解】
（1） ，解得：
（2）
又
本题考查平面向量共线的坐标表示、向量夹角的求解问题；考查学生对于平面向量坐标运算、数量积运算掌握的熟练程度，属于基础应用问题.