2025年宁夏青铜峡市吴忠中学分校高一数学第二学期期末检测试题含解析.doc

2025年宁夏青铜峡市吴忠中学分校高一数学第二学期期末检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ）
3
9

4
0
1
1
2
5

5
1
3
6
6
7
7
8
8
8
9
6
0
0
1
2
3
3
4
5

A．1 B．2 C．3 D．4
2．在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，所对的边分别为，若，，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于 (　　)

A．－3 B．－10 C．0 D．－2
6．已知等差数列的前项和为，且，则满足的正整数的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（ ）

A．AC B．A1D1 C．A1D D．BD
8．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　)
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是_________.
12．中,三边所对的角分别为,若,则角______.
13．已知数列满足，，，则数列的通项公式为________．
14．设是等差数列的前项和，若，则___________.
15．若圆与圆的公共弦长为，则________.
16．已知sin+cosα=，则sin2α=__
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

支持
保留
不支持
岁以下

岁以上（含岁）

(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了人，求的值；
(2)在接受调查的人中，有人给这项活动打出的分数如下：，，，，，，，，，，把这个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过的概率．
18．某中学从高三男生中随机抽取n名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如表所示：
组号
分组
频数
频率
第1组

5
0.05
第2组

a
0.35
第3组

30
b
第4组

20
0.20
第5组

10
0.10
合计
n
1.00
（1）求出频率分布表中的值，并完成下列频率分布直方图；

（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.
19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.

（1）经计算估计这组数据的中位数；
（2）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率.
（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购，通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
20．已知向量.
(1)当时，求的值；
(2)设函数，当时，求的值域.
21．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入（单位：万元）
1
2
3
4
5
销售收益（单位：万元）
2
3
3

7
由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程.（参考公式：）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．
【详解】
解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，
则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．
故选：．
本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．
2、A
【解析】
先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.
【详解】
因为，为的角平分线，所以，
在中，，因为，所以，
在中，，因为，所以，所以，
则
,
因为，所以,
所以，则 ，
即的取值范围为.选A.
本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.
3、D
【解析】
利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．
【详解】
解：为等差数列的前项和，且，，．
可得，则公差．，
，则，，，
．
数列的前项和为：．
故选：．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4、A
【解析】
利用三角形内角和为，得到，利用正弦定理求得.
【详解】
因为，，所以，
在中，，所以，故选A.
本题考查三角形内角和及正弦定理的应用，考查基本运算求解能力.
5、A
【解析】
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，，
当时，不成立，循环结束，此时，故选A.
6、C
【解析】
先由，得到，，，公差大于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
由得，，，，所以公差大于零.
又，，
，
故选C.
本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.
7、D
【解析】
在正方体内结合线面关系证明线面垂直，继而得到线线垂直
【详解】
，平面，平面，
则平面
又因为平面
则
故选D
本题考查了线线垂直，在求解过程中先求得线面垂直，由线面垂直的性质可得线线垂直，从而得到结果
8、A
【解析】
利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值．
【详解】
如下图所示：

由切线的性质可知，，，且，
，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线
的距离，即，
此时，，
四边形面积的最小值为，故选A.
本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：
（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；
（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值．
9、A
【解析】
分析：利用余弦的二倍角公式可得，进而利用同角三角基本关系，使其除以，转化成正切，然后把的值代入即可．
详解：由题意得.
∵
∴
故选A.
点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．
10、B
【解析】
把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.
【详解】
，该函数求出向右平移个单位后得到新函数的解析式为：，由题意可知：函数的图象关于轴对称，所以有
当时，有最小值，最小值为.
故选：B
本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题若对于任意的都有，可得 解出即可得出．
【详解】
∵，若对任意都有，
∴．
∴ ，
解得 ．
故答案为．
本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12、
【解析】
利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
【详解】
由得，由于，所以.
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
13、.
【解析】
由题意得出，可得出数列为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式.
【详解】
设，整理得，对比可得，
，即，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
因此，，故答案为.
本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14、1.
【解析】
由已知结合等差数列的性质求得，代入等差数列的前项和得答案．
【详解】
解：在等差数列中，由，得
，，
则，
故答案为：1．
本题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，考查了等差数列前项和的求法，属于基础题．
15、
【解析】
将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填．
16、
【解析】
∵，
∴即，
则.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)120;(2).
【解析】
（1）参与调查的总人数为20000，其中从持“不支持”态度的人数5000中抽取了30人，由此能求出n.（2）总体的平均数为9，与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，由此能求出任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
【详解】
（1）参与调查的总人数为8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中不支持态度的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以n=.
（2）总体的平均数
与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7，所以任取一个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
本题主要考查了样本容量的求法，分层抽样，用列举法求古典概型的概率，属于中档题.
18、（1）直方图见解析；（2）.
【解析】
（1）由题意知，0.050，从而n＝100，由此求出第2组的频数和第3组的频率，并完成频率分布直方图．（2）利用分层抽样， 35名学生中抽取7名学生，设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为，利用列举法能求出第4组中至少有一名学生被抽中的概率．
【详解】
（1）由频率分布表可得
，所以， ；

（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组；第4组；第5组.
设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为.
则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：一共21种.
记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件，即包含的基本事件分别为：一共3种，于是
所以， .
本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19、（1）中位数为268.75；（2）；（3）选B方案
【解析】
(1)根据中位数左右两边的频率均为0.5求解即可.
(2)利用枚举法求出所以可能的情况,再利用古典概型方法求解概率即可.
(3)分别计算两种方案的获利再比较大小即可.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得,前3组的频率和为,
前4组的频率和为,所以中位数在内,
设中位数为,则有,解得.故中位数为268.75.
（2）设质量在内的4个芒果分别为,,,,质量在内的2个芒果分别为,.从这6个芒果中选出3个的情况共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共计20种,
其中恰有一个在内的情况有,,,,,,,,,,,,共计12种,
因此概率.
（3）方案A：元.
方案B：由题意得低于250克：元；
高于或等于250克元.
故总计元,由于,
故B方案获利更多,应选B方案.
本题主要考查了频率分布直方图的用法以及古典概型的方法,同时也考查了根据样本估计总体的方法等.属于中等题型.
20、 (1)-7， (2)
【解析】
试题分析：(1)由向量共线得到等量关系，求出角的正切值，再利用两角差正切公式求解：(2)先根据向量数量积，利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式，再从角出发研究基本三角函数范围：
试题解析：(1), 3分
6分
(2)8分
11分
，的值域为14分
考点：向量平行坐标表示，三角函数性质
21、（1）2；（2）5；（3）空白栏中填5，
【解析】
（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；
（2）根据各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；
（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程.
【详解】
（1）设各小长方形的宽度为.
由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知
，
解得.故图中各小长方形的宽度为2.
（2）由（1）知各小组依次是，
其中点分别为对应的频率分别为
故可估计平均值为.
（3）由（2）可知空白栏中填5.
由题意可知，
，，
根据公式，可求得，.
所以所求的回归直线方程为.
本题考查频率分布直方图的实际应用以及回归直线方程的求法，难度一般.（1）频率分布直方图中，小矩形的面积代表该组数据的频率，所有小矩形面积之和为；（2）求解回归直线方程时，先求解出，然后根据回归直线方程过样本点的中心再求解出.