2025年上海市闸北区高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年上海市闸北区高一数学第二学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．命题“”的否定是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）

3
4
5.15
6.126

4.0418
7.5
12
18.01
A． B． C． D．
3．将所有的正奇数按以下规律分组，第一组：1；第二组：3，5，7；第三组：9，11，13，15，17；… 表示n是第i组的第j个数，例如，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，实数、满足关系式，若对于任意给定的，当在上变化时，的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
7．设公差为－2的等差数列，如果，那么等于()
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
8．某林区改变植树计划，第一年植树增长率，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的，若成活率为，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的多少倍？（ ）
A． B． C． D．
9．设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为( )
A．65 B．62 C．59 D．56
10．已知，，且，则 （　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．382与1337的最大公约数是__________.
12．已知点，点，则________．
13．在等差数列中，若，则______．
14．已知是奇函数，且，则_______．
15．若向量与的夹角为，与的夹角为，则______.
16．用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
18．已知数列的前项和为.
（1）求这个数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19．已知数列为等差数列，是数列的前n项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
20．数列满足：．
（1）求证：为等比数列；
（2）求的通项公式．
21．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为x.
（1）求出其表面积S（x）和体积V（x）；
（2）设，求出函数的定义域，并判断其单调性（无需证明）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
含有一个量词的命题的否定，注意“改量词，否结论”.
【详解】
改为，改成，则有：.
故选：B.
本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.
2、A
【解析】
由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，即可得出答案.
【详解】
对于A：函数在是单调递增，
且函数值增加速度越来越快，将自变量代入，
相应的函数值，比较接近，符合题意，所以正确；
对于B：函数值随着自变量增加是等速的，不合题意；
对于C：函数值随着自变量的增加比线性函数还缓慢，不合题意；
选项D：函数值随着自变量增加反而减少，不合题意.
故选:A.
本题考查函数模型的选择和应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图像与性质，属于基础题.
3、C
【解析】
由等差数列求和公式及进行简单的合情推理可得：2019为第1010个正奇数，设2019在第n组中，则有，，解得：n=32，又前31组共有961个奇数，则2019为第32组的第1010-961=49个数，得解．
【详解】
由已知有第n组有2n-1个连续的奇数，
则前n组共有个连续的奇数，
又2019为第1010个正奇数，
设2019在第n组中，
则有，，
解得：n=32，
又前31组共有961个奇数，
则2019为第32组的第1010-961=49个数，
即2019=（32，49），
故选：C．
本题考查归纳推理，解题的关键是根据等差数列求和公式分析出规律，再结合数列的性质求解，属于中等题.
4、C
【解析】
由已知条件，先求出函数的周期，由于，即可求出值域.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以当时，；
当时，；当时，，
所以的值域为.
故选：C.
本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.
5、D
【解析】
直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.
【详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，
所以在时，取得最大值，所以有
而，所以的最小值为.
本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.
6、A
【解析】
先计算出，然后利用基本不等式可得出的值.
【详解】
，
由基本不等式得，
当且仅当时，由于，即当时，等号成立，
因此，，故选：A.
本题考查极限的计算，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是利用数列的极限计算出带的表达式，并利用基本不等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
7、D
【解析】
根据利用等差数列通项公式及性质求得答案．
【详解】
∵{an}是公差为﹣2的等差数列，
∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣1．
故选D．
本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，考查了运算能力，属基础题．
8、B
【解析】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，则第年的林区的树木数量为，求解即可.
【详解】
由题意知增长率形成以首项为，公比为的等比数列，从而第年的增长率为，
则第年的林区的树木数量为，
，，，，
因此，经过年后，林区的树木量是原来的树木量的倍，故选：B.
本题考查数列的性质和应用，解题的关键在于建立数列的递推关系式，然后逐项进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、A
【解析】
先求出，再利用等差数列的性质和求和公式可求.
【详解】
，所以，
故选A.
一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2） 且 ；
（3）且为等差数列；
（4） 为等差数列.
10、D
【解析】
根据向量的平行可得4m＝3m+4，解得即可．
【详解】
，，且，
则，
解得，
故选D．
本题考查了向量平行的充要条件，考查了运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、191
【解析】
利用辗转相除法，求382与1337的最大公约数.
【详解】
因为，，所以382与1337的最大公约数为191，故填：.
本题考查利用辗转相除法求两个正整数的最大公因数，属于容易题.
12、
【解析】
直接利用两点间的距离公式求解即可．
【详解】
点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．
故答案为：．
本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．
13、
【解析】
利用等差中项的性质可求出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，解得.
故答案为：.
本题考查利用等差中项的性质求项的值，考查计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
根据奇偶性定义可知，利用可求得，从而得到；利用可求得结果.
【详解】
为奇函数
又
即，解得：
本题正确结果：
本题考查根据函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.
15、
【解析】
根据向量平行四边形法则作出图形，然后在三角形中利用正弦定理分析.
【详解】

如图所示，，，所以在中有：，则，故.
本题考查向量的平行四边形法则的运用，难度一般.在运用平行四边形法则时候，可以适当将其拆分为三角形，利用解三角形中的一些方法去解决问题.
16、
【解析】
根据左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1求解即可.
【详解】
因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1
所以，左边的式子为，
故答案为.
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；（2）.
【解析】
（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
【详解】
（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】
本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
18、 (1) (2)
【解析】
（1）当且时，利用求得，经验证时也满足所求式子，从而可得通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法求得结果.
【详解】
（1）当且时，…①
当时，，也满足①式
数列的通项公式为：
（2）由（1）知：

本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题，关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时，采用错位相减法求和，属于常考题型.
19、（1）（2）
【解析】
（1）由等差数列可得,求得,即可求得通项公式；
（2）由（1）,则利用裂项相消法求数列的和即可
【详解】
解:（1）因为数列是等差数列,且,,
则,解得,
所以
（2）由（1）,,
所以
本题考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的和
20、（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明和的比是定值，即得；（2）由（1）的通项公式入手，即得。
【详解】
（1）由题得，，即有，相邻两项之比为定值3，故为公比的等比数列；（2）因为为等比数列，且，则有，整理得的通项公式为.
本题考查等比数列的概念，以及求数列的通项公式，是基础题。
21、（1），；（2）x>，是减函数.
【解析】
（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出的范围，即定义域，然后判断其为减函数.
【详解】
（1）过点作平面的垂线，垂足为，取的中点，连结，
因为为正四棱锥，所以，，，
，
所以四棱锥的表面积为，
体积.
（2），解得，
是减函数.

本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.