吉化第一高级中学2025年高一数学第二学期期末统考试题含解析.doc

吉化第一高级中学2025年高一数学第二学期期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（ ）
A．缩小为原来的 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．不变
2．已知在中，内角的对边分别为，若，则等于()
A． B． C． D．
3．已知实数，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，则是( )
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
5．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数x，y满足约束条件，那么目标函数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C． D．10
7．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
8．三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
9． “是第二象限角”是“是钝角”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
10．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式恒成立，若数列满足，且，则的值为（ ）
A．4037 B．4038 C．4027 D．4028
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算：=_______________.
12．已知等比数列、、、满足，，，则的取值范围为__________．
13．已知数列，若对任意正整数都有，则正整数______；
14．已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）

15．已知无穷等比数列满足：对任意的，，则数列公比的取值集合为__________．
16．等差数列，的前项和分别为，，且，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知关于的不等式．
（1）当时，解上述不等式．
（2）当时，解上述关于的不等式
18．已知函数，
（1）若，求a的值，并判断的奇偶性；
（2）求不等式的解集.
19．一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：
温度
20
25
30
35
产卵数/个
5
20
100
325

（1）根据散点图判断与哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（数字保留2位小数）；
（3）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少以下？（最后结果保留到整数）
参考数据：，，，，，，，，，，

5
20
100
325

1.61
3
4.61
5.78

20．在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
(1)求；
(2)若，，求.
21．在直角坐标系中，已知以点为圆心的及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
设原来的圆锥底面半径为，高为，可得出变化后的圆锥的底面半径为，高为，利用圆锥的体积公式可得出结果.
【详解】
设原来的圆锥底面半径为，高为，该圆锥的体积为，
变化后的圆锥底面半径为，高为，
该圆锥的体积为，变化后的圆锥的体积缩小到原来的，
故选：A.
本题考查圆锥体积的计算，考查变化后的圆锥体积的变化，解题关键就是圆锥体积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
2、A
【解析】
由题意变形，运用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方关系，可得所求值．
【详解】
2b2﹣2a2＝ac+2c2，
可得a2+c2﹣b2ac，
则cosB，
可得B＜π，
即有sinB
．
故选A．
本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题．
3、C
【解析】
先得出，，，然后利用在上的单调性即可比较出的大小.
【详解】
因为
所以，，
因为且在上单调递增
所以
故选：C
利用函数单调性比较函数值大小的时候，应将自变量转化到同一个单调区间内.
4、D
【解析】
函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．
5、A
【解析】
由已知易得圆柱的高为，底面圆周长为，求出半径进而求得底面圆半径即可求出圆柱体积。
【详解】
底面圆周长， ，
所以
故选：A
此题考查圆柱的侧面展开为长方形，长为底面圆周长，宽为圆柱高，属于简单题目。
6、D
【解析】
根据约束条件，画出可行域，再平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求最值.
【详解】
画出可行域（如图），

平移直线，当目标直线过点时，目标函数取得最大值，．
故选：D
本题主要考查线性规划求最值问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题.
7、D
【解析】
写出所有等可能事件，求出事件“至少有一个黑球”的概率为，事件“都是红球”的概率为，两事件的概率和为，从而得到两事件对立.
【详解】
记两个黑球为，两个红球为，则任取两球的所有等可能结果为：
，记事件A为“至少有一个黑球”，事件为：“都是红球”，
则，因为，所以事件与事件互为对立事件.
本题考查古典概型和对立事件的判断，利用两事件的概率和为1是判断对立事件的常用方法.
8、B
【解析】
是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．
此时，，在直角△中，．
三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，
∴三棱锥的外接球的半径为，
∴三棱锥的外接球的表面积为．
选B.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
9、B
【解析】
由α是钝角可得α是第二象限角，反之不成立，则答案可求．
【详解】
若α是钝角，则α是第二象限角；反之，若α是第二象限角，α不一定是钝角，如α＝﹣210°．
∴“α是第二象限角”是“α是钝角”的必要非充分条件．
故选B．
本题考查钝角、象限角的概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．
10、A
【解析】
由，对任意的实数，等式恒成立，且，得到an+1＝an+2，由等差数列的定义求得结果．
【详解】
∵，∴f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，∵f（x）•f（y）＝f（x+y）恒成立，
∴令x＝﹣1，y＝0，则f（﹣1）•f（0）＝f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（﹣1）≠0，
则f（0）＝1，则f（an+1）f（﹣2﹣an）＝1，等价为f（an+1）f（﹣2﹣an）＝f（0），
即f（an+1﹣2﹣an）＝f（0），则an+1﹣2﹣an＝0，∴an+1﹣an＝2.
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，首项a1＝f（0）＝1，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝2×2019﹣1＝4037.
故选：A
本题主要考查数列与函数的综合运用，根据抽象函数的关系结合等差数列的通项公式建立方程是解决本题的关键，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：
考点：两角和的正切公式
点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.
12、
【解析】
设等比数列、、、的公比为，由和计算出的取值范围，再由可得出的取值范围.
【详解】
设等比数列、、、的公比为，
，，，所以，，，.
所以，，故答案为：.
本题考查等比数列通项公式及其性质，解题的关键就是利用已知条件求出公比的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.
13、9
【解析】
分析数列的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出的值.
【详解】
因为，所以时，，时，，
又因为在上递增，在也是递增的，
所以，又因为对任意正整数都有，所以.
故答案为：.
本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为.
14、
【解析】
函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，

由指数函数y=ax，x=2时，y∈（1，2）；对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为：b＜a＜c．
15、
【解析】
根据条件先得到：的表示，然后再根据是等比数列讨论公比的情况.
【详解】
因为，所以，即；取连续的有限项构成数列，不妨令，则，且，则此时必为整数；
当时，，不符合；
当时，，符合，
此时公比 ；
当时， ，不符合；
当时，，不符合；
故：公比.
本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.
16、
【解析】
取，代入计算得到答案.
【详解】
，当时
故答案为
本题考查了前项和和通项的关系，取是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）．（2）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为或
【解析】
（1）将代入，结合一元二次不等式解法即可求解.
（2）根据不等式，对分类讨论，即可由零点大小确定不等式的解集.
【详解】
（1）当时，代入可得，
解不等式可得，
所以不等式的解集为.
（2）关于的不等式．
若，
当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得，由解不等式可得，
当时，化简不等式可得，解不等式可得或，
综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或
本题考查了一元二次不等式的解法，含参数分类讨论的应用，属于基础题.
18、（1），，是偶函数（2）或
【解析】
（1）先由已知求出，然后结合利用定义法判断函数的奇偶性即可；
（2）讨论当时，当时对数函数的单调性求解不等式即可.
【详解】
解：（1）由题意得，，即，则，，
则，函数的定义域为，
则，是偶函数；
（2）当时，在上是减函数， ，，解得，
所以原不等式的解集为；
当时，在上是增函数，
，，即，
所以原不等式的解集为，
综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.
本题考查了利用定义法判断函数的奇偶性，主要考查了利用对数函数的单调性求解不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
19、（I）选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型； （II）； （III）要使得产卵数不超过50，则温度控制在 以下.
【解析】
（I）由于散点图类似指数函数的图像，由此选择.（II）对；两边取以为底底而得对数，将非线性回归的问题转化为线性回归的问题，利用回归直线方程的计算公式计算出回归直线方程，进而化简为回归曲线方程.（III）令，解指数不等式求得温度的控制范围.
【详解】
（I）依散点图可知，选择更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型。
（II）因为，令，
所以与可看成线性回归
，
，
所以，

所以，
即，
（III）由即，

解得，
要使得产卵数不超过50，则温度控制在 以下。
本小题主要考查散点图的判断，考查非线性回归的求解方法，考查线性归回直线方程的计算公式，考查了利用回归方程进行预测.属于中档题.解题的关键点有两个，首先是根据散点图选择出恰当的回归方程，其次是要将非线性回归的问题，转化为线性回归来求解.
20、（1）（2）
【解析】
(1)利用正弦定理化简为，再利用余弦定理得到答案.
(2)先用和差公式计算，再利用正弦定理得到.
【详解】
(1)由正弦定理，可化为，
得，由余弦定理可得，有
又由，可得.
(2)由，

由正弦定理有.
本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.
21、（1）；（2）或
【解析】
（1）由圆的方程求得圆心坐标和半径，依题意可设圆的方程为，由圆与圆外切可知圆心距等于两圆半径的和，由此列式可求得，即可得出圆的标准方程；
（2）求出所在直线的斜率，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求得，则直线方程即可求出.
【详解】
（1）因为圆为，
所以圆心的坐标为，半径.
根据题意，设圆的方程为.
又因为圆与圆外切，所以，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）由题意可知，所以可设直线的方程为.
又，所以圆心到直线的距离，
即，解得或，
所以直线的方程为或.
本题主要考查圆与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，其中运用了两圆外切时，圆心距等于两圆的半径之和，还涉及到圆的方程、直线的方程和点到直线的距离公式.