安徽省师范大学附属中学2025年数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

安徽省师范大学附属中学2025年数学高一第二学期期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．在中，，，则（ ）
A．或 B． C． D．
3．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
4．的值为 ( )
A． B． C． D．
5．设，为两个平面，则能断定∥的条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一条直线
C．，垂直于同一条直线 D．，垂直于同一平面
6．已知，则的值为
A． B． C． D．
7．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据( )
A．一样稳定 B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断
8．某赛季中，甲､乙两名篮球队员各场比赛的得分茎叶图如图所示，若甲得分的众数为15，乙得分的中位数为13，则（ ）

A．15 B．16 C．17 D．18
9．化简sin 2013o的结果是
A．sin 33o B．cos33o C．-sin 33o D．-cos33o
10．设为数列的前项和，，则的值为（ ）
A． B． C． D．不确定
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图，直三棱柱中，，，，外接球的球心为О，点E是侧棱上的一个动点．有下列判断：

①直线AC与直线是异面直线；
②一定不垂直；
③三棱锥的体积为定值；
④的最小值为
⑤平面与平面所成角为
其中正确的序号为_______
12．设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________．
13．已知为等差数列，为其前项和，若，则，则______．
14．若，则函数的最小值是_________.
15．若向量，则与夹角的余弦值等于_____
16．在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和．
18．已知函数的定义域为R
（1）求的取值范围；
（2）若函数的最小值为，解关于的不等式。
19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
参考数据：．
20．已知函数，且.
（1）求常数及的最大值；
（2）当时，求的单调递增区间.
21．已知向量.
（1）若向量，且，求的坐标；
（2）若向量与互相垂直，求实数的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据，求出向量的关系，再利用必要条件和充分条件的定义，即可判定，得到答案．
【详解】
由题意，函数，
又为偶函数，所以，
则，即，
可得，所以，
若，则，所以，
则，所以函数是偶函数，
所以“函数为偶函数”是“”的充要条件．
故选C．
本题主要考查了向量的数量积的运算，函数奇偶性的定义及其判定，以及充分条件和必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、C
【解析】
由正弦定理计算即可。
【详解】
由题根据正弦定理可得 即，解得 ，
所以为或，又因为，所以为
故选C.
本题考查正弦定理，属于简单题。
3、D
【解析】
因为，所以由于与平行，得，解得.
4、B
【解析】
直接利用诱导公式结合特殊角的三角函数求解即可.
【详解】
,故选B.
本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.
5、C
【解析】
对四个选项逐个分析，可得出答案.
【详解】
对于选项A，当，相交于直线时，内有无数条直线与平行，即A错误；
对于选项B，当，相交于直线时，存在直线满足：既与平行又不在两平面内，该直线平行于，，故B错误；
对于选项C，设直线AB垂直于，平面，垂足分别为A,B，假设与不平行，设其中一个交点为C，则三角形ABC中，，显然不可能成立，即假设不成立，故与平行，故C正确；
对于选项D，，垂直于同一平面，与可能平行也可能相交，故D错误.
本题考查了面面平行的判断，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
6、B
【解析】
利用诱导公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
【详解】
∵已知tanα，∴tanα，
则，
故选B．
本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
7、C
【解析】
根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．
【详解】
由题可得：平均值为2，
由，，
所以变得不稳定.
故选：C.
本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．
8、A
【解析】
由图可得出，然后可算出答案
【详解】
因为甲得分的众数为15，所以
由茎叶图可知乙得分数据有7个，乙得分的中位数为13，
所以
所以
故选：A
本题考查的是茎叶图的知识，较简单
9、C
【解析】
试题分析：sin 2013o=．
考点：诱导公式．
点评：直接考查诱导公式，我们要熟记公式．属于基础题型．
10、C
【解析】
令，由求出的值，再令时，由得出，两式相减可推出数列是等比数列，求出该数列的公比，再利用等比数列求和公式可求出的值.
【详解】
当时，，得；
当时，由得出，两式相减得，可得.
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，.
故选：C.
本题考查利用前项和求数列通项，同时也考查了等比数列求和，在递推公式中涉及与时，可利用公式求解出，也可以转化为来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①③④⑤
【解析】
由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心,由棱锥底面积与高为定值判断③；设,列出关于的函数关系式,结合其几何意义,求出最小值判断④；由面面成角的定义判断⑤
【详解】
对于①,因为直线经过平面内的点,而直线在平面内,且不过点,所以直线与直线是异面直线,故①正确；
对于②,当点所在的位置满足时,又,,平面,所以平面,又平面,所以,故②错误；
对于③,由题意知,直三棱柱的外接球的球心是与的交点,则的面积为定值,由平面,所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,故③正确；
对于④,设,则,所以,由其几何意义,即直角坐标平面内动点与两定点,距离和的最小值知,其最小值为,故④正确；
对于⑤,由直棱柱可知,,,则即为平面与平面所成角,因为,,所以,故⑤正确；
综上,正确的有①③④⑤,
故答案为:①③④⑤
本题考查异面直线的判定,考查面面成角,考查线线垂直的判定,考查转化思想
12、
【解析】
试题分析：试题分析： 由得，平移直线由图象可知，当过时目标函数的最大值为，即，则
，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为．

考点：1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值．
【方法点晴】
本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．
13、
【解析】
利用等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质求出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，得，
由等差中项的性质得，.
故答案为：.
本题考查等差数列中项的计算，充分利用等差中项的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
利用基本不等式可求得函数的最小值.
【详解】
，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
因此，当时，函数的最小值是.
故答案为：.
本题考查利用基本不等式求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
利用坐标运算求得；根据平面向量夹角公式可求得结果.
【详解】

本题正确结果：
本题考查向量夹角的求解，明确向量夹角的余弦值等于向量的数量积除以两向量模长的乘积.
16、1
【解析】
根据弧长公式求解
【详解】
因为圆心角所对弧长等于半径，所以
本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ），
【解析】
（Ⅰ）设正项等比数列的公比为且，由已知列式求得首项与公比，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由数列的分组求和即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，等比数列的公比，且，
所以，
解得，或（舍去），
则所求数列的通项公式为.
（Ⅱ）由题意得，
故

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由的定义域为可知，，恒成立，即可求出的范围.
（2）结合的范围，运用配方法，即可求出的值，进而求解不等式.
【详解】
（1）由已知可得对，恒成立，
当时，恒成立。
当时，则有，解得，
综上可知，的取值范围是[0，1]
（2）
由（1）可知的取值范围是[0，1]
显然，当时，，不符合.
所以，，，
由题意得，，，
可化为，解得，
不等式的解集为。
主要考查了一元二次不等式在上恒成立求参数范围，配方法以及一元二次不等式求解问题，属于中档题.对任意实数恒成立的条件是；而任意实数恒成立的条件是.
19、（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多
【解析】
1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．
【详解】
（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03
这组数据的平均数
．
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．
记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：
，，，
从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于250克的芒果收入为（元）；
不低于250克的芒果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）．
由于，所以选择方案②获利多．
本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20、（1），（2）递增区间为.
【解析】
（1）由二倍角公式降幂，再由求出，然后由两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合余弦函数单调性可得最大值；
（2）由（1）结合余弦函数性质可得增区间．
【详解】
（1），由得，，即.
∴，当时，
即时，.
（2）由，得
，又，所以，
所以递增区间为.
本题考查二倍角公式，考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的性质．三角函数问题一般都要由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数或余弦函数性质求解．
21、（1）或（2）
【解析】
（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数的方程.
（2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.
【详解】
（1）法一:设，
则，
所以
解得
所以或
法二:设，
因为，，所以，
因为，所以
解得或，
所以或
（2）因为向量与互相垂直
所以，即
而，，所以，
因此，
解得
考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.