桂林市第十八中学2025年高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

桂林市第十八中学2025年高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知公式为正数的等比数列满足：，，则前5项和( )
A．31 B．21 C．15 D．11
2．把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知内角，，所对的边分别为，，且满足，则=（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的方程有两个不同解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．设满足约束条件则的最大值为（ ）.
A．10 B．8 C．3 D．2
6．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（ ）

A． B． C． D．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B．同一平面的两条垂线一定共面；
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
8．已知, , 为坐标原点，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）
（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）
A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天
10．在中，分别为角的对边)，则的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．按照如图所示的程序框图，若输入的x值依次为，0，1，运行后，输出的y值依次为，，，则________.

12．已知变量x，y线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y关于x的线性回归方程为，则______.
x
1
2
4
5
y
5.4
9.6
10.6
14.4

13．已知方程的两根分别为、、且，且__________．
14．在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.
15．设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________.
16．若是方程的解，其中，则________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解下列三角方程：
（1）；
（2）.
18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.
（1）求的值；
（2）已知为锐角，，求的值.
19．若不等式的解集为.
（1）求证：；
（2）求不等式的解集.
20．已知的三个内角、、的对边分别是、、，的面积，
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若中，边上的高，求的值.
21．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求边所在的直线方程。
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由条件求出数列的公比．再利用等比数列的前项求和公式即可得出．
【详解】
公比为正数的等比数列满足：，
则，即.
所以,所以.
故选：A
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2、D
【解析】
函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式．
【详解】
函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），
得到，
把图象向左平移个单位，
得到
故选：．
本题考查函数的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题．
3、A
【解析】
利用正弦定理以及和与差的正弦公式可得答案；
【详解】
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0
由atanA＝bcosC+ccosB，
根据正弦定理：可得sinA•tanA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA
∴•tanA＝1；
∴tanA，
那么A；
故选A．
本题考查三角形的正弦定理,,内角和定理以及和与差正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
4、D
【解析】
换元设，将原函数变为，根据函数图像得到答案.
【详解】
设，则
，单调递增，则

如图：

数的取值范围为
故答案选D
本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.
5、B
【解析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.
【详解】
作出可行域如图：

化目标函数为，
联立，解得.
由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
6、D
【解析】
在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.
【详解】
在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.
故选：D
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题.
7、D
【解析】
一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
8、A
【解析】
根据圆的几何性质判断出是直径，由此求得圆心坐标和半径，进而求得三角形外接圆的方程.
【详解】
由于直角对的弦是直径，故是圆的直径，所以圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为，化简得，故选A.
本小题主要考查三角形外接圆的方程的求法，考查圆的几何性质，属于基础题.
9、A
【解析】
设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．．
【详解】
设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An．
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An，Bn，
由题意可得：，化为：2n7，
解得2n＝3，2n＝1（舍去）．
∴n12.3．
∴估计2.3日蒲、莞长度相等，
故选：A．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10、A
【解析】
根据正弦定理得到，化简得到，得到，得到答案.
【详解】
，则，
即，即，
，故，.
故选：.
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、5
【解析】
根据程序框图依次计算出、、后即可得解.
【详解】
由程序框图可知，；，；
，.
所以.
故答案为：.
本题考查了程序框图的应用，属于基础题.
12、4.3
【解析】
由所给数据求出，根据回归直线过中心点可求解．
【详解】
由表格得到，，将样本中心代入线性回归方程得.
故答案为：4.3
本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键，即回归直线必过中心点．
13、
【解析】
由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求．
【详解】
方程两根、，
，，
，
又，
，，
，，，
，结合，
，
故答案为．
本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题．
14、
【解析】
先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。
【详解】
取CD中点为E，并连接AE、BE
在中，由等腰三角形的性质可得,同理
则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,
在中，

本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.
15、
【解析】
由在区间上具有单调性，
且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，
设函数的最小正周期为，
所以，，
即，所以，
解得，故答案为.
考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.
16、或
【解析】
将代入方程，化简结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】
由题意可得：，即
所以或
又
所以或
故答案为：或
本题主要考查了三角函数求值问题，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】
（1）先将等式变形为，并利用两角和的余弦公式得出，即可得出，即可得出该方程的解；
（2）由，将该方程变形为，求出的值，即可求出该方程的解.
【详解】
（1），，即，
，解得；
（2），整理得，
即，，得或，
解得；解，得.
因此，原方程的解为或.
本题考查三角方程的求解，对等式进行化简变形是计算的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角函数的定义可求出，再根据二倍角的余弦公式即可求解.
（2）由（1）可得，再利用同角三角函数的基本关系可得，由，利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】
解：（1）依题意得，，，
所以.
（2）由（1）得，，
故.
因为，，，
所以，
又因为，
所以，.
所以，
所以

.
本小题主要考查同角三角函数关系、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等.
19、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）由已知可得是的两根，利用韦达定理，化简可得结论；（2）结合（1）原不等式可化为，利用一元二次不等式的解法可得结果.
【详解】
（1）∵不等式的解集为
∴是的两根,且
∴
∴，所以 ;
（2）因为，,
所以，即 ,
又 即 ，
解集为
本题考查了求一元二次不等式的解法，是基础题目．若，则的解集是；的解集是.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由面积公式推出，代入所给等式可得，求出角C的余弦值从而求得角C；（Ⅱ）首先由求出边c，再由面积公式代入相应值求出边b，利用余弦定理即可求出边a.
【详解】
（Ⅰ）由得 ①
于是，
即
∴
又，所以
（Ⅱ），
由得，
将代入中得，
解得.
本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题.
21、 (1) (2)
【解析】
（1）联立直线的方程，求出点坐标；（2）求出点，利用坐标求直线的斜率，再用点斜式求直线方程.
【详解】
由及边上的高所在直线为，
得所在直线方程为
又所在直线方程为
由，得.
（2）设，又，为中点，则，
由已知得，得，
又得直线的方程为.
考查直线的垂直关系、直线的交点坐标、直线方程的求法等，考查运算求解能力.