2025届浙江省杭州市第二中学高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025届浙江省杭州市第二中学高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，，，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2． (2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
3．设为中的三边长，且，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是
（A）正三角形 （B）锐角三角形
（C）钝角三角形 （D）直角三角形

5．若直线与直线平行，则的值为
A． B． C． D．
6．直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
7．内角，，的对边分别为，，.已知，，，则这样的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．设是△所在平面内的一点，且，则△与△的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
9．直线与平行，则的值为( )
A． B．或 C．0 D．－2或0
10．如图，网格纸上正方形小格边长为，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，且，则__________．
12．方程的解集为____________.
13．与30°角终边相同的角_____________.
14．已知向量，，，则_________.
15．已知，且，则的值是_______.
16．若、是方程的两根，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．
18．（1）从某厂生产的一批零件1000个中抽取20个进行研究，应采用什么抽样方法？
（2）对（1）中的20个零件的直径进行测量，得到下列不完整的频率分布表：（单位：mm）
分组
频数
频率

2

6

8

合计
20
1
①完成频率分布表；
②画出其频率分布直方图.

19．已知函数满足.
（1）若，对任意都有，求的取值范围；
（2）是否存在实数，，使得不等式对一切实数恒成立？若存在，请求出，，使；若不存在，请说明理由.
20．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点.
（1）若点A的纵坐标是点B的纵坐标是，求的值；
（2）若，求的值.

21．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表

高三

高二

高一

女生

133

153

z

男生

333

453

633

按年级分层抽样的方法评选优秀学生53人，其中高三有13人．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取2人,经检测她们的得分如下：1．4，2．6，1．2， 1．6，2．7，1．3，1．3，2．2，把这2人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过3．5的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
利用坐标表示出，根据垂直关系可知，解方程求得结果.
【详解】
，
，解得：
本题正确选项：
本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.
2、A
【解析】
试题分析：由题意，得，所以，故选A．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
3、B
【解析】
由，则，再根据三角形边长可以证得，再利用不等式和已知可得，进而得到，再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解．
【详解】
由题意，记，又由，
则
，
又为△ABC的三边长，
所以，所以，
另一方面，
由于，所以，
又，
所以，
不妨设，且为的三边长，所以．
令，则，
当时，可得，从而，
当且仅当时取等号．
故选B．
本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题．
4、D
【解析】略
5、C
【解析】
试题分析：由两直线平行可知系数满足
考点：两直线平行的判定
6、D
【解析】
先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值．
【详解】
圆在点处的切线为，即，
点是圆上的动点，
圆心到直线的距离，
∴点到直线的距离的最小值等于．故选D．
圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题.
7、C
【解析】
根据和的大小关系，判断出解的个数.
【详解】
由于，所以，故解的个数有两个.如图所示两个解.

故选：C
本小题主要考查正弦定理的运用过程中，三角形解的个数判断，属于基础题.
8、B
【解析】
试题分析：依题意，得，设点到的距离为，所以与的面积之比是
，故选B．
考点：三角形的面积．
9、A
【解析】
若直线与平行,则,解出a值后,验证两条直线是否重合,可得答案.
【详解】
若直线与平行,
则,
解得或,
又时,直线与表示同一条直线,
故,
故选A.
本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键.
10、C
【解析】
由三视图可知该几何体是一个四棱锥，作出图形即可求出表面积。
【详解】
该几何体为四棱锥，如图.

.
选C.
本题考查了三视图，考查了四棱锥的表面积，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据向量平行的坐标表示可求得；代入两角和差正切公式即可求得结果.
【详解】

本题正确结果：
本题考查两角和差正切公式的应用，涉及到向量平行的坐标表示，属于基础题.
12、或
【解析】
首先将原方程利用辅助角公式化简为，再求出的值即可.
【详解】
由题知：，
，.
所以或 ，.
解得：或.
所以解集为：或.
故答案为：或
本题主要考查正弦函数的图像及特殊角的三角函数值，同时考查了辅助角公式，属于中档题.
13、
【解析】
根据终边相同的角的定义可得答案.
【详解】
与30°角终边相同的角，
故答案为：
本题考查了终边相同的角的定义，属于基础题.
14、
【解析】
根据向量平行交叉相乘相减等于0即可．
【详解】
因为两个向量平行，所以
本题主要考查了向量的平行，即，若则，属于基础题．
15、
【解析】
计算出的值，然后利用诱导公式可求得的值.
【详解】
，，则，
因此，.
故答案为：.
本题考查利用诱导公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
由题意利用韦达定理求得、 的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【详解】
解：、是方程的两根，
，，
，或，，
则，
故答案为：．
本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）因为曲线与坐标轴的交点都在圆上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点．曲线与轴的交点为，与轴的交点为 ．由与轴的交点为 关于点(3,0)对称，故可设圆的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆的半径为，然后可求圆的方程为．（2）设，，由可得，进而可得，减少变量个数．因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去，得方程．因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，．代入，化简可求得，满足，故．
详解：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为
．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．
（2）设，，其坐标满足方程组
消去，得方程．
由已知可得，判别式，且，． 
由于，可得．
又，
所以． ‚
由‚得，满足，故．
点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：
① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；
②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径．
（2）直线与圆或圆锥曲线交于，两点，若，应设，，可得．可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去，得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代入，化简求值．
18、（1）系统抽样；（2）①分布表见解析；②直方图见解析.
【解析】
（1）因需要研究的个体很多，且差异不明显，适宜用系统抽样.
（2）①直接计算频率即可.
②根据①中计算出的数据，用每一组的频率/组距作为纵坐标，即可做出频率分布直方图.
【详解】
某厂生产的一批零件1000个, 差异不明显, 且因需要研究的个体很多.
所以适宜用系统抽样.
（2）①频率分布表为
分组
频数
频率

2
0.1

6
0.3

8
0.4

4
0.2
合计
20
1
②频率分布直方图为.
分组
频数
频率
频率/组距

2
0.1
0.02

6
0.3
0.06

8
0.4
0.08

4
0.2
0.04
合计
20
1

本题考查频率分布表和根据频率分布表绘制频率分布直方图，属于基础题.
19、（1）（2）存在，使不等式恒成立，详见解析.
【解析】
（1）由知函数关于对称，求出后，通过构造函数求出；
（2）利用不等式的两边夹定理，令，得，结合已知条件，解出；然后设存在实数，，命题成立，运用根的判别式建立关于实数的不等式组，解得.
【详解】
（1）由得此时，
，
构造函数，
.
即的取值范围是.
（2）由对一切实数恒成立，得
由得
由得恒成立，
也即，此时，.
把，.代入，不等式也恒成立，
所以，.
本题第（1）问，常用“反客为主法”，即把参数当成主元，而把看成参数；
第（2）问，不等式对任意实数恒成立，常用赋值法切入问题.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）根据三角函数的定义，求出对应的正弦和余弦值，用正弦的和角公式即可求解；
（2）根据题意，先计算出的值，再求解.
【详解】
（1）由三角函数的定义得，，.
由角、的终边分别在第一和第二象限，得：
，，
所以；
（2），
则
根据，即可得，
解得：.
.
故.
本题考查三角函数的定义，以及由向量的数量积计算模长，属基础题.
21、（1）433
（2）
（3）
【解析】
（1）设该校总人数为n人,由题意得,，
所以n=2333．z=2333-133-333-153-453-633=433；
（2）设所抽样本中有m个女生,因为用分层抽样的方法在高一女生中抽取一个容量为5的样本，所以，
解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作S1，S2；B1 ，B2，B3，
则从中任取2人的所有基本事件为（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2）, （S2,B3），（S1, S2），（B1,B2），（B2,B3），（B1,B3）共13个，
其中至少有1名女生的基本事件有7个：（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2），（S2,B3），（S1, S2），
所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为．
（3）样本的平均数为，
那么与样本平均数之差的绝对值不超过3．5的数为1．4, 2．6, 1．2, 2．7, 1．3, 1．3这6个数,总的个数为2,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过3．5的概率为．