内蒙古包头六中2024-2025学年高一数学第二学期期末考试试题含解析.doc

内蒙古包头六中2024-2025学年高一数学第二学期期末考试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
2．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
4．已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．某产品的广告费用 (单位：万元)与销售额 (单位：万元)的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
7．书架上有2本数学书和2本语文书，从这4本书中任取2本，那么互斥但不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有1本数学书”和“都是语文书”
B．“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”
C．“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书”
D．“至多有1本数学书”和“都是语文书”
8．将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则在区间上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数f(x)满足： f(x)=-f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，成立，若则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a> b> c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．某餐厅的原料支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程，则表中的值为_________.

2
4
5
6
8

25
35

55
75

12．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______.

13．已知正实数x，y满足2x+y=2，则xy的最大值为______.
14．一个扇形的半径是，弧长是，则圆心角的弧度数为________.
15．将边长为1的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,点､分别是圆和圆上的点, 长为,长为,且与在平面的同侧,则与所成角的大小为______.
16．若为锐角，，则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）已知，求的值
（2）若，，且，，求的值
18．平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．
(1)求满足的实数m，n；
(2)若，求实数k；
19．已知数列的前项和为，且.
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
20．设等差数列的前项和为，且（是常数，），.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为.
21．已知．若三点共线，求实数的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
2、D
【解析】
由正弦定理将边化角可求得，根据三角形为锐角三角形可求得.
【详解】
由正弦定理得：

，即
故选：
本题考查正弦定理边化角的应用问题，属于基础题.
3、C
【解析】
利用的单调性直接判断即可。
【详解】
因为在上递增，
又，所以成立。
故选：C
本题主要考查了幂函数的单调性，属于基础题。
4、D
【解析】
根据对称中心，结合的范围可求得，从而得到函数解析式；将所给区间代入求得的范围，与的单调区间进行对应可得到结果.
【详解】
为函数的对称中心 ，
解得：，

当时，，此时不单调，错误；
当时，，此时不单调，错误；
当时，，此时不单调，错误；
当时，，此时单调递增，正确
本题正确选项：
本题考查正切型函数单调区间的求解问题，涉及到利用正切函数的对称中心求解函数解析式；关键是能够采用整体对应的方式，将正切型函数与正切函数进行对应，从而求得结果.
5、C
【解析】
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.
【详解】
∵．
∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA
即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC
∴sinC＝4cosAsinC
∵1＜C＜π，sinC≠1．
∴1＝4cosA，即cosA，
那么．
故选C
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
6、B
【解析】
试题分析：，回归直线必过点，即．将其代入可得解得，所以回归方程为．当时，所以预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元
考点：回归方程
7、C
【解析】
两个事件互斥但不对立指的是这两个事件不能同时发生，也可以都不发生，逐一判断即可
【详解】
对于A：“至少有1本数学书”和“都是语文书”是对立事件，故不满足题意
对于B：“至少有1本数学书”和“至多有1本语文书”可以同时发生，故不满足题意
对于C：“恰有1本数学书”和“恰有2本数学书” 互斥但不对立，满足题意
对于D：“至多有1本数学书”和“都是语文书”可以同时发生，故不满足题意
故选：C
本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．
8、A
【解析】
先按照图像变换的知识求得的解析式，然后根据三角函数求最值的方法，求得在上的最小值.
【详解】
图像上所有的点向左平移个单位长度得到，把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，由得，故在区间上的最小值为.
故选A.
本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于基础题.
9、C
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.
【详解】
为减函数，，
为增函数，，
为增函数，，
所以，故.
故选：C
本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.
10、B
【解析】
根据已知条件判断出函数的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出的单调性，结合的奇偶性比较出的大小关系.
【详解】
由于，所以为奇函数.构造函数，依题意，当时，，所以在区间上递减.由于，所以为偶函数，故在上递增..，.由于，所以.
故选：B
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、60
【解析】
由样本中心过线性回归方程，求得，，代入即可求得
【详解】
由题知：，，
将代入得
故答案为：60
本题考查样本中心与最小二乘法公式的关系，易错点为将直接代入求解，属于中档题
12、
【解析】
根据三角函数图象依次求得的值.
【详解】
由图象可知，，所以，故，将点代入上式得，因为，所以.故.
故答案为：
本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题.
13、
【解析】
由基本不等式可得，可求出xy的最大值.
【详解】
因为，所以，
故，当且仅当时，取等号.
故答案为.
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件.
14、2
【解析】
直接根据弧长公式，可得．
【详解】
因为，所以，解得
本题主要考查弧长公式的应用．
15、
【解析】
画出几何体示意图，将平移至于直线相交，在三角形中求解角度.
【详解】
根据题意，过B点作BH//交弧于点H，作图如下：

因为BH//，故即为所求异面直线的夹角，
在中，，
在中，因为，故
该三角形为等边三角形，即：，
在中，，，且母线BH垂直于底面，故：
，又异面直线夹角范围为，
故，
故答案为：.
本题考查异面直线的夹角求解，一般解决方法为平移至直线相交，在三角形中求角.
16、
【解析】
因为为锐角，，所以，
.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用诱导公式化简可得：原式 ，再分子、分母同除以可得：原式，将代入计算得解.
（2）将整理为：，利用两角差的正弦公式整理得：，根据已知求出、即可得解.
【详解】
解：（1）原式
；
（2）因为，，所以.
又因为，所以，
所以.
于是
.
本题主要考查了诱导公式及转化思想，还考查了两角差的正弦公式及同角三角函数基本关系，考查计算能力，属于中档题．
18、（1）； （2）.
【解析】
(1)由及已知得,由此列方程组能求出实数；(2)由 ,可得，由此能求出的值.
【详解】
(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.
本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用与的关系可得，再利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
解：（1）因为，①
所以当时，，又，故.
当时，，②
①②得，，
整理得.
因为，所以，
所以是以为首项，以1为公差的等差数列.
所以，即.
（2）由（1）及得，，
所以

.
本小题考查与的关系、等差数列的定义及通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.
20、 (1) ； (2)
【解析】
（1）先令得出，再令，利用作差法得出，于此得出，可由和的值求出等差数列的公差，于此可求出等差数列的通项公式；
（2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出数列的前项和.
【详解】
（1）因为，所以当时，，解得.
当时，，即.
解得，所以，解得，则.
数列的公差.所以；
（2）因为，
所以，①
，②
由①－②可得，
所以.
本题考查等差数列通项的求解，考查错位相减法求和，解题时要注意错位相减求和法所适用数列通项的结构类型，要熟练错位相减法求和的基本步骤，难点在于计算量较大，属于中等题．
21、
【解析】
计算出由三点共线解出即可．
【详解】
解：，∵三点共线，∴，∴
本题考查3点共线的向量表示，属于基础题．