九年级数学知识点总结.pdf

第 1 页一、实数考点一、实数的概念及分类考点一、实数的概念及分类 实数的分类：1、有理数（1）整数（2）分数；2、无理数考点二、实数的倒数、相反数和绝对值考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。考点三、科学记数法和近似数考点三、科学记数法和近似数 1、有效数字从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法把一个数写做的形式，其中，n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。na 10101 a考点四、平方根、算数平方根和立方根考点四、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟），正数 a 的平方根记做“”。a2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“”。a正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。3、立方根如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33aa考点五、数轴考点五、数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。考点六、实数的运算考点六、实数的运算 （做题的基础）（做题的基础）1、加法交换律 abba2、加法结合律 )()(cbacba3、乘法交换律 baab 4、乘法结合律 )()(bcacab5、乘法对加法的分配律 acabcba)(6、实数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。第 2 页二、式考点一、整式的有关概念考点一、整式的有关概念 1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式。2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。考点二、多项式考点二、多项式 1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。3、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。（2）括号前是“”，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。4、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。整式的乘法：),(都是正整数nmaaanmnm ),(都是正整数）（nmaamnnm )()(都是正整数nbaabnnn 22)(bababa 2222)(bababa 2222)(bababa整式的除法：)0,(anmaaanmnm都是正整数考点三、因式分解考点三、因式分解 1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，它是整式乘法的逆过程。2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：)(cbaacab（2）运用公式法：；)(22bababa222)(2bababa222)(2bababa第 3 页（3）分组分解法：)()()(dcbadcbdcabdbcadac（4）十字相乘法：)()(2qapapqaqpa考点四、分式考点四、分式 1、分式的概念2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法则;bcadcdbadcbabdacdcba);()(为整数nbabannn;cbacbcabdbcaddcba考点五、二次根式考点五、二次根式 1、二次根式式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数 a 必须是非负)0(aa数。2、最简二次根式化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。4、二次根式的性质（1）)0()(2aaa )0(aa（2）aa2 )0(aa（3）)0,0(babaab（4）)0,0(bababa5、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里第 4 页的。三、方程、不等式（组）考点一、一元一次方程（不等式）考点一、一元一次方程（不等式）1、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。若 A=B,则 A+C=B+C（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。若 A=B,则 A*C=B*C(C 不为 0)2、解一元一次方程）为未知数，（0ax0bax3、解一元一次不等式并用数轴表示不等式的解集 解一元一次方程（不等式）的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为 14、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。注：（1）在不等式中，不等号两边加上（减去）同一个数，不等式符号不改向；AB,A+CB+C 或 AB，A-CB-C（2）在不等式中，不等号两边同乘以一个正数，不等号不改向；例如：AB，A*CB*C（C0）（3）在不等式中，不等号两边同乘以一个负数，不等号改向；例如：AB，A*CB*C（C0）如果不等号两边同乘以 0，那么不等号改为等号考点二、二元一次方程组考点二、二元一次方程组 二元一次方正组的解法（1）代入法消元（2）加减法消元考点三、一元二次方程考点三、一元二次方程 一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的)0(02acbxax二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系2ax数；c 叫做常数项。考点四、一元二次方程的解法考点四、一元二次方程的解法 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是 b 的平方根，当时，bax2)(ax 0b，当 b0 时,方程有两个不相等的实根；=0 时，方程acb42有两个相等的实根；0 时，方程没有实根。考点六、一元二次方程根与系数的关系考点六、一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是)0(02acbxax21xx，abxx21acxx21说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。考点七、分式方程考点七、分式方程 1、分式方程2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法：换元法四、统计与概率考点一、平均数考点一、平均数 平均数的概念及计算方法（1）平均数：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：,21nxxxL)(121nxxxnxL（2）加权平均数法：，其中。nfxfxfxxkkL2211nfffkL21考点二、统计学中的几个基本概念考点二、统计学中的几个基本概念 1、总体 2、个体 3、样本 4、样本容量 5、样本平均数 6、总体平均数 7、众数 8、中位数考点三、方差考点三、方差 方差的概念：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组,21nxxxLx第 6 页数据的方差。通常用“”表示，即 2s)()()(1222212xxxxxxnsnL作用：描述数据的波动性考点四、统计图考点四、统计图条形统计图一般简称条形图，也叫长条图或直条图。条形统计图是用条形的长短来代表数量的大小，便于比较。扇形统计图：用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360 度的比。折线统计图：是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化。折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且还能够清楚的表示出数量增减变化的情况。各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。考点五、频数分布考点五、频数分布 1、研究频数分布的一般步骤及有关概念（1）频数分布的有关概念极差：最大值与最小值的差频数：落在各个小组内的数据的个数频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量 n）的比值叫做这一小组的频率（2）研究样本的频数分布的一般步骤是：计算极差（最大值与最小值的差）决定组距与组数 决定分点列频数分布表 画频数分布直方图考点六、确定事件和随机事件考点六、确定事件和随机事件 1、必然发生的事件 P（A）=1 2、不可能发生的事件 P（A）=0 3、随机事件 0=P（A）0 y 0 x图像经过一、二、三象限，y 随 x的增大而增大。k0b0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小K0b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0a0图像 y 0 x y 0 x 第 10 页性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是（，ab2ab2）；abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x=时，y 有最小ab2值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是ab2（，）；ab2abac442（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而减小，简记左ab2增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最ab2大值，abacy442最大值5、二次函数中，的含义：)0,(2acbacbxaxy是常数，cb、a表示开口方向：0 时，抛物线开口向上aa 0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。考点六、二次函数的解析式考点六、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线与 x 轴有交点时，即对应二次好方程有实根和cbxaxy202cbxax1x存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可2x)(212xxxxacbxaxcbxaxy2转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。)(21xxxxay考点七、二次函数的最值考点七、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函第 11 页数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。abx2abacy442最值如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，21xxxab221xxx若在此范围内，则当 x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在ab2abacy442最值范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当时，21xxx2xx，当时，；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，cbxaxy222最大1xx cbxaxy121最小则当时，当时，。1xx cbxaxy121最大2xx cbxaxy222最小补充：补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）点 A 坐标为（x1，y1），点 B 坐标为（x2，y2），则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 221221yyxx2、函数平移规律：左加右减、上加下减左加右减、上加下减六、图形的初步考点一、直线、射线和线段考点一、直线、射线和线段 1、几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。注：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。N 棱柱就是底面图形有 N 条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。3、线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示。一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。第 12 页4、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。5、线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。考点二、角考点二、角 1、角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的 1/60 是一分，一分的 1/60 是一秒。2、角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。3、角平分线的性质判定：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。考点三、相交线考点三、相交线 1、相交线中的角：临补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角（临补角互补，对顶角相等）2、垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。直线 AB，CD 互相垂直，记作“ABCD”（或“CDAB”)，垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。考点四、平行线考点四、平行线 1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“”表示，如“ABCD”，读作“AB 平行于 CD”。同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。注意：注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。3、平行线的判定第 13 页平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。考点五、投影与视图考点五、投影与视图 1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。七、三角形考点一、三角形考点一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线2、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。3、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：三角形：1、不等腰三角形 2、等腰三角形 a、底和腰不相等的等腰三角形 b、等边三角形 三角形按角的关系分类如下：三角形：1、直角三角形（有一个角为直角的三角形）2、斜三角形 a、锐角三角形 b、钝角三角形把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。4、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：第 14 页判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。5、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。6、三角形的面积：三角形的面积=底高21考点二、全等三角形考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：“SAS”，“ASA”，“SSS”，“AAS”，“HL”4、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括以下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（与中线不同）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。八、四边形考点一、四边形的相关概念考点一、四边形的相关概念 第 15 页 1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其它边都在延长线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 360。推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于180；)2(n 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360。6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为 n，则多边形的对角线条数为。2)3(nn考点二、平行四边形考点二、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积：S平行四边形=底边长高=ah考点三、矩形考点三、矩形 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长宽=ab第 16 页考点四、菱形考点四、菱形 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半考点五、正方形考点五、正方形 1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为 a，对角线长为 b：S正方形=222ba 考点六、梯形考点六、梯形 1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、等腰梯形的性质第 17 页（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。5、梯形的面积（1）如图，DEABCDSABCD)(21梯形（2）梯形中有关图形的面积：；BACABDSS；BOCAODSSBCDADCSS6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。九、解直角三角形考点一、直角三角形的性质考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即222cba5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90 BDADCD2 ABADAC2CDAB ABBDBC26、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC考点二、直角三角形的判定考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，那么这个三角形是直角三角形。222cba考点三、锐角三角函数的概念考点三、锐角三角函数的概念 第 18 页 1、如图，在ABC 中，C=90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA，即casin斜边的对边AA锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为 cosA，即cbcos斜边的邻边AA锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为 tanA，即batan的邻边的对边AAA锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记为 cotA，即abcot的对边的邻边AAA2、锐角三角函数的概念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0 30 45 60 90sin02122231cos12322210tan03313不存在cot不存在313304、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A)tanA=cot(90A)，cotA=tan(90A)（2）平方关系1cossin22AA（3）倒数关系tanAtan(90A)=1（4）弦切关系tanA=AAcossin5、锐角三角函数的增减性当角度在 090之间变化时，第 19 页（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）222cba（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：baBabBcaBcbBabAbaAcbAcaAcot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin十、圆考点一、圆的相关概念考点一、圆的相关概念 1、圆的定义在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。2、圆的几何表示以点 O 为圆心的圆记作“O”，读作“圆 O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的 AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的 CD）直径等于半径的 2 倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心第 20 页 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点七、点和圆的位置关系考点七、点和圆的位置关系 设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有：dr点 P 在O 外。考点八、过三点的圆考点八、过三点的圆 1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：圆内接四边形对角互补。考点九、直线与圆的位置关系考点九、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么：直线 l 与O 相交dr；考点十、切线的判定和性质考点十、切线的判定和性质 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。考点十一、切线长定理考点十一、切线长定理 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。第 21 页2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。考点十二、三角形的内切圆考点十二、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。考点十三、圆和圆的位置关系考点十三、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr）两圆内含dr）两圆同心d=04、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点十四、正多边形和圆考点十四、正多边形和圆 1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。3、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。4、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。5、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。6、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点十五、正多边形的对称性考点十五、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。考点十六、弧长和扇形面积考点十六、弧长和扇形面积 1、弧长公式：n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为180rnl2、扇形面积公式：lRRnS213602扇其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。第 22 页3、圆锥的侧面积：rlrlS221其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。十一、图形的变换考点一、平移考点一、平移 1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新