资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，为了测量路灯离地面的高度，身高的小明站在距离路灯的底部（点）的点处，测得自己的影子的长为，则路灯的高度是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
5．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在▱ABCD中，F为BC的中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接FF交DC于点G，则DG：CG＝（ ）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．2：5
7．对于二次函数y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③其图象的顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣ D．y＝x2﹣1
9．某商务酒店客房有间供客户居住．当每间房 每天定价为元时，酒店会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有客户居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，酒店当天的利润为元?设房价定为元，根据题意，所列方程是( )
A． B．
C． D．
10．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差和的大小关系是（ ）
A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．一个三角形的三边之比为，与它相似的三角形的周长为，则与它相似的三角形的最长边为____________.
12．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为_____．
13．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是__________
14．如图所示，点为矩形边上一点，点在边的延长线上，与交于点，若，，，则______.
15．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是_____；
16．已知中，，的面积为1．
（1）如图，若点分别是边的中点，则四边形的面积是__________．
（2）如图，若图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，则四边形的面积是___________．
17．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计发现共抛掷次啤酒瓶盖，凸面向上的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为_______________________(结果精确到)
18．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．求出函数解析式.
20．（6分）如图，已知正方形，点在延长线上，点在延长线上，连接、、交于点，若，求证：．
21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A，B重合），连接CA，CB．∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．
（1）求∠ACD的度数；
（2）探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；
（3）E为⊙O外一点，满足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若点P为AE中点，求PO的长．
22．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取出的小球标号相同；
（2）两次取出的小球标号的和等于4.
23．（8分）实行垃圾分类和垃圾资源化利用，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒，干垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为万元.
求甲、乙两种智能设备单价；
垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分组成，其中物资成本占总成本的，且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的倍还多元.调查发现，若燃料棒售价为每吨元，平均每天可售出吨，而当销售价每降低元，平均每天可多售出吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到元，且保证售价在每吨元基础上降价幅度不超过，求每吨燃料棒售价应为多少元？
24．（8分）如图，已知的三个顶点坐标为，，.
（1）将绕坐标原点旋转，画出旋转后的，并写出点的对应点的坐标 ；
（2）将绕坐标原点逆时针旋转，直接写出点的对应点Q的坐标 ；
（3）请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标 .
25．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图. 原传送带与地面的夹角为，，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由改为，原传送带长为．求：
（1）新传送带的长度；
（2）求的长度.
26．（10分）尺规作图: 如图,已知正方形ABCD，E在BC边上，求作AE上一点P，使△ABE∽△DPA (不写过程，保留作图痕迹）.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据平行得：△ABM∽△ODM，列比例式，代入可求得结论．
【详解】解：由题意得：AB∥OC，
∴△ABM∽△OCM，
∴
∵OA=12，AM=4，AB=1.6，
∴OM=OA+AM=12+4=16，
∴
∴OC=6.4，
则则路灯距离地面6.4米.
故选：B.
本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是利用物高和影长成正比或相似三角形的对应边成比例性质解决此题．
2、B
【解析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．
3、B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】由题意知：，，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，．
4、B
【解析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．
本题解析：
x ²-4x+3=0
(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
所以x ₁=3,x ₂=1，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为7.
故答案为7.
考点：解一元二次方程-因式分解法, 三角形三边关系, 等腰三角形的性质
5、B
【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．
【详解】解：已设这个百分数为x．
200+200（1+x）+200（1+x）2=1．
故选B．
本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
6、B
【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证△DEG∽△CFG，可得＝．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BF＝BC＝AD，
∵DE：AD＝1：3，
∴DE：CF＝2：3，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝．
故选：B．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质.
7、C
【解析】由抛物线解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断①②③，再利用增减性可判断④，可求得答案．
【详解】∵
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1,顶点坐标为(−1,3)，
故②不正确，①③正确，
∵抛物线开口向上，且对称轴为x=−1，
∴当x>−1时，y随x的增大而增大，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
故④正确，
∴正确的结论有3个，
故选:C.
考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的求解方法是解题的关键.
8、C
【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．
【详解】A、y＝4x是正比例函数；
B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；
C、y＝﹣是反比例函数；
D、y＝x2﹣1是二次函数；
故选：C．
本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．
9、D
【分析】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】设房价定为x元，根据题意，得
故选：D．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
10、A
【解析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲.
【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以＞
故选：A
本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、18cm．
【分析】由一个三角形的三边之比为3：6：4，可得与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，又由与它相似的三角形的周长为39cm，即可求得答案．
【详解】解：∵一个三角形的三边之比为3：6：4，
∴与它相似的三角形的三边之比为3：6：4，
∵与它相似的三角形的周长为39cm，
∴与它相似的三角形的最长边为：39×=18（cm）．
故答案为：18cm．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例．
12、10%
【解析】设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1-x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系得出关于x的一元二次方程．
13、k≤4且k≠1
【分析】根据二次函数的定义和图象与x轴有交点则△≥0，可得关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：根据题意得k−1≠0且△＝22−4×（k−1）×1≥0，
解得k≤4且k≠1．
故答案为：k≤4且k≠1.
本题考查了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14、
【分析】设，则，，与的交点为，首先根据同角的余角相等得到，可判定，利用对应边成比例推出，再根据平行线分线段成比例推出，进而求得，最后再次根据平行线分线段成比例得到.
【详解】设，则，，与的交点为，
，
.
∵，
又∵，
.
，
，
∵DM∥CE
.
∴，.
又∵AM∥CE
.
故答案为：.
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例，利用相似三角形的性质求出DF是解题的关键.
15、
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y＝的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，
由勾股定理得，AB＝ ＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝4，
故答案为4．
本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键．
16、31.5； 26
【分析】(1)证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为1，求得△ADE的面积，用大三角形的面积减去小三角形的面积，即可得答案；
(2) 利用△AFH∽△ADE得到，设，，则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【详解】(1)∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)如图，
根据题意得，
∴，
设，，
∴，
解得，
∴，
∴．
本题考查了相似三角形的判定和性质：有两组角对应相等的两个三角形相似．利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
17、
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为10次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为＝0.1，
故答案为：0.1．
本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，大量重复试验事件发生的频率约等于概率．
18、-1.
【解析】分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
详解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选A．
点睛：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
三、解答题(共66分)
19、（1）m＜；（2）y=
【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质得出不等式解之即可；（2）本题根据平行四边形的性质得出点D的坐标，代入反比例函数求出解析式.
【详解】解：（1）根据题意得1-2m＞0解得m＜
（2）∵四边形ABOC为平行四边形，∴AD∥OB，AD=OB=2，而A点坐标为（0，3），∴D点坐标为（2，3），∴1-2m=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=.
20、见解析.
【分析】根据已知条件证明△ADG≌△CDF,得到∠ADG=∠CDF,根据AD∥BC，推出∠CDF=∠E,由此证明△CDE∽△CFD,即可得到答案.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠BCD=90，AD=CD，
∴∠DCF=∠A=90，
又∵,
∴△ADG≌△CDF,
∴∠ADG=∠CDF,
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠E,
∴∠CDF=∠E,
∵∠BCD=∠DCF=90，
∴△CDE∽△CFD,
∴,
∴.
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，在证明题中证明线段成比例的关系通常证明三角形相似，由此得到边的对应比的关系，注意解题方法的积累.
21、（1）∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，见解析；（3）OP＝．
【分析】（1）由圆周角的定义可求∠ACB＝90°，再由角平分线的定义得到∠ACD＝45°；
（2）连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；先证明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再证明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；
（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；先证明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再证明△AED是等腰三角形，分别求得EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．
【详解】解：（1）∵AB是直径，点C在圆上，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D，
∴∠ACD＝45°；
（2）BC+AC＝CD，
连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；
∴∠CDG＝∠CBG＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥BG，
∴∠CGB＝∠ACG，
∴∠CGB＝45°+∠DCG，
∵∠CBF＝90°+∠DCG，
∴∠BGF＝45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG＝BF，
∵△ACO≌△BGO（SAS），
∴AG＝BF，
∵△CDF是等腰三角三角形，
∴CF＝CD，
∴BC+AC＝CD；
（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴AD＝BD，
∵AB＝5，
∴BD＝AD＝，
∵∠MAD＝∠BDN，
∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），
∴AM＝DN，MD＝BN，
∵ED＝BD，
∴△AED是等腰三角形，
∵AE＝3，
∴AM＝，DM＝，
∴EN＝，BN＝，
在Rt△EBN中，BE＝，
∵P是AE的中点，O是AB的中点，
∴OP＝BN，
∴OP＝．
本题是一道关于圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质、圆周角定义、角平分线、全等三角形的判定及性质，勾股定理等多个知识点，根据题目作出适合的辅助线是解此题的关键．
22、（1）（2）
【解析】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．
试题解析：
（1）P（两次取得小球的标号相同）=；
（2）P（两次取得小球的标号的和等于4）=．
考点：概率的计算．
23、（1）甲设备万元每台，乙设备万元每台.（2）每吨燃料棒售价应为元.
【分析】（1）设甲单价为万元，则乙单价为万元，再根据购买甲型智能设备花费万元，购买乙型智能设备花费万元，购买的两种设备数量相同列出分式方程并解答即可；
（2）先求出每吨燃料棒成本为元，然后根据题意列出一元二次方程解答即可.
【详解】解：设甲单价为万元，则乙单价为万元，则:
解得
经检验，是所列方程的根.
答：甲设备万元每台，乙设备万元每台.
设每吨燃料棒成本为元，则其物资成本为，则:
，解得
设每吨燃料棒在元基础上降价元，则
解得
.
每吨燃料棒售价应为元.
本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键在于弄懂题意、找到等量关系、并正确列出方程.
24、（1）；（2）；（3）或或.
【解析】（1）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；
（2）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；
（3）根据平行四边形的性质作出图形即可写出.
【详解】解：（1）旋转后的图形如图所示，点的对应点Q的坐标为：；
（2）如图点的对应点的坐标；
（3）如图以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为：
或或
此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知图形的旋转作图及平行四边形的性质.
25、（1）；（2）
【分析】（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．
（2）利用求出BD, 利用求出CD,故可求解.
【详解】解：（1）∵，，
∴在中，
，
在中，
，∴.
（2）在中，，
在中，，
∴.
考查了坡度坡角问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．
26、详见解析
【分析】过D点作DP⊥AE交AE于点P，利用相似三角形的判定解答即可．
【详解】作图如下:
解：∵DP⊥AE交AE于点P，四边形ABCD是正方形
∴∠APD=∠ABE=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠PAD=90°，∠PAD+∠ADP=90°，
∴∠BAE=∠ADP，
又∵∠APD=∠ABE
∴△DPA∽△ABE．
此题考查作图-相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答．
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