资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．70°
2．抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．如图,在中，点分别在边上,且为边延长线上一点,连接,则图中与相似的三角形有( )个
A． B． C． D．
5．如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
6．若，且，则的值是 （ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
7．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB=1，CD=2，则△ABO与△DCO的面积之比为
A． B． C． D．
8．点M（2，-3）关于原点对称的点N的坐标是: ( )
A．（-2，-3） B．（-2, 3） C．（2, 3） D．（-3， 2）
9．将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3
10．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的面积最大值是( )
A．64 B．16 C．24 D．32
11．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，△的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_____．
14．如图，在中，，于点，，，则_________；
15．当_____时，在实数范围内有意义．
16．如下图，圆柱形排水管水平放置，已知截面中有水部分最深为，排水管的截面半径为，则水面宽是__________．
17．某型号的冰箱连续两次降价，每台售价由原来的2370元降到了1160元，若设平均每次降价的百分率为，则可列出的方程是__________________________________.
18．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图(如图1)和不完整的扇形图(如图2)，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分．
(1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；
(2)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补查了____人．
20．（8分）如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线 经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D．
（1）求图中抛物线的解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；
（3）在直线AB上是否存在点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，已知，以为直径作半圆，半径绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，当点与点重合时停止．连接并延长到点，使得，过点作于点，连接，．
（1）______；
（2）如图，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由；
（3）如图，当时，求的长；
（4）如图，若点是线段上一点，连接，当与半圆相切时，直接写出直线与的位置关系．
22．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求的面积．
23．（10分）如图，在中，为边的中点，为线段上一点，联结并延长交边于点，过点作的平分线，交射线于点.设.
（1）当时，求的值；
（2）设，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）当时，求的值.
24．（10分）某校九年级学生参加了中考体育考试．为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育成绩情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制出以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：
分组
分数段（分）
频数
A
36≤x＜41
2
B
41≤x＜46
5
C
46≤x＜51
15
D
51≤x＜56
m
E
56≤x＜61
10
（1）m的值为 ；
（2）该班学生中考体育成绩的中位数落在 组；（在A、B、C、D、E中选出正确答案填在横线上）
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
25．（12分）关于x的方程x1﹣1（k﹣1）x+k1＝0有两个实数根x1、x1．
（1）求k的取值范围；
（1）若x1+x1＝1﹣x1x1，求k的值．
26．如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】∵∠AOB=70°，∴∠ACB=∠AOB=35°，
故选B．
2、D
【解析】把y=x2+2x﹣3配方变成顶点式，求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.
【详解】∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∵a=1＞0，
∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣1．
故选：D．
本题考查二次函数最值的求法：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键.
3、B
【分析】根据方程有两个不等的实数根，故△＞0，得不等式解答即可.
【详解】试题分析：由已知得△＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选B．
此题考查了一元二次方程根的判别式.
4、D
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】
∵EF∥CD，ABCD是平行四边形
∴EF∥CD∥AB
∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA
∴△GDP∽△GAB
又EF∥AB
∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA
∴△GEQ∽△GAB
又∵ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G
∴∠BCP=∠GAB
又∠GPD=∠BPC
∴∠GBA=∠BPC
∴△GAB∽△BCP
又∠BQF=∠GQE
∴∠BQF=∠GBA
∴△GAB∽△BFQ
综上共有4个三角形与△GAB相似
故答案选择D.
本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.
5、B
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
6、A
【分析】根据，且，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
7、B
【解析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【详解】∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∵，
∴，
故选B．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
8、B
【解析】试题解析：已知点M（2，-3），
则点M关于原点对称的点的坐标是（-2，3），
故选B．
9、D
【详解】因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，
以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移1个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-1），
所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-1．
故选D．
10、D
【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，
则：S=AC•BD=x（16-x）=-（x-8）2+32，
当x=8时，S最大=32；
所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，
故选D．
【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
11、B
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，即，
解得，DE=
故选：B．
本题考查的是位似变换，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解题的关键．
12、B
【分析】过点C作CD⊥AB，利用间接法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出AB、BC的长度，然后求出CD的长度，即可得到∠B的度数，然后得到答案.
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，
∴，
∵，，
又∵,
∴，
在Rt△BCD中，，
∴，
∴；
故选：B.
本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理与网格问题，解题的关键是作出辅助线正确构造直角三角形，利用三角函数值进行求解.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、10%
【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么11月份的房价为7000（1−x），12月份的房价为7000（1−x）2，然后根据12月份的价格即可列出方程解决问题．
【详解】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，
由题意，得：7000（1﹣x）2＝5670，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
本题是一道一元二次方程的应用题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
14、
【分析】根据相似三角形的判定得到△ABC∽△CBD，从而可根据其相似比求得AC的长．
【详解】∵，，，
∴∠BDC=∠BCA=90°，∠CBD+∠ABC=90°，BC=3，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=CB：BD，即AC： =3：2，
∴AC= ．
故答案为：．
本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理.
15、x≥1且x≠1
【分析】二次根式及分式有意义的条件：被开方数为非负数，分母不为1，据此解答即可．
【详解】∵有意义，
∴x≥1且﹣1≠1，
∴x≥1且x≠1时，在实数范围内有意义，
故答案为：x≥1且x≠1
本题考查二次根式和分式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；要使分式有意义分母不为1．
16、
【分析】利用垂径定理构建直角三角形，然后利用勾股定理即可得解.
【详解】设排水管最低点为C，连接OC交AB于D，连接OB，如图所示：
∵OC=OB=10，CD=5
∴OD=5
∵OC⊥AB
∴
∴
故答案为：.
此题主要考查垂径定理的实际应用，熟练掌握，即可解题.
17、
【分析】先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
【详解】依题意得：第一次降价后售价为：2370（1-x），
则第二次降价后的售价为：2370（1-x）（1-x）=2370（1-x）2，
故．
故答案为．
此题考查一元二次方程的运用，解题关键在于要注意题意指明的是降价，应该是1-x而不是1+x．
18、10%
【解析】设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1-降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1-x%）2=324，
解得：x=10，或x=190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系得出关于x的一元二次方程．
三、解答题（共78分）
19、 (1)被遮盖的数是9，中位数为5；(2)1.
【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；
（2）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．
【详解】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），
读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），
所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；
（2）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了1人．
故答案为1．
本题考查了统计图和中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20、（1）；（2）当时，线段PC有最大值是2；（3），，
【分析】把x=0，y=0分别代入解析式可求点A，点B坐标，由待定系数法可求解析式；
设点C,可求PC,由二次函数的性质可求解；
设点P的坐标为(x,−x+2)，则点C，分三种情况讨论，由平行四边形的性质可出点P的坐标．
【详解】解：(1)可求得 A（0,2 ），B(4,0 )
∵抛物线经过点A和点B
∴把(0,2),(4,0)分别代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为.
（2）设点P的坐标为(x,−x+2)，则C（）
∵点P在线段AB上
∴
∴当时，线段PC有最大值是2
（3）设点P的坐标为(x,−x+2)，
∵PC⊥x轴，
∴点C的横坐标为x，又点C在抛物线上，
∴点C(x,)
①当点P在第一象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOPC为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得x1=x2=2把x=2代入
则点P的坐标为(2,1)
②当点P在第二象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得：
把，
则点P的坐标为;
③当点P在第四象限时，假设存在这样的点P，使四边形AOCP为平行四边形，
则OA=PC=2,即，
化简得：，
解得：
把
则点P的坐标为
综上，使以O、A. P、C为顶点的四边形是平行四边形，
满足的点P的坐标为.
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，最值问题，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的思想解决问题．
21、（1）；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）的长为或；（4）
【分析】(1)先证AC垂直平分DB,即可证得AD=AB;
(2)先证AD=BD,又因为AD=AB,可得△ABD是等边三角形；
(3)分当点在上时和当点在上时，由勾股定理列方程求解即可；
(4)连结OC,证明OC∥AD, 由与半圆相切，可得∠OCP=90°,即可得到与的位置关系.
【详解】解：（1）∵为直径，
∴∠ACB=90°,
又∵
∴AD=AB
∴，
故答案为10；
（2）是等边三角形，
理由如下：∵点与点重合，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴是等边三角形；
（3）∵，∴，
当点在上时，
则，，∵，，
∴在和中，
由勾股定理得，即，
解得，∴；
当点在上时，同理可得，
解得，∴，
综上所述，的长为或；
（4）.
如图，连结OC，
∵与半圆相切，
∴OC⊥PC,
∵△ADB为等腰三角形，,
∴∠DAC=∠BAC,
∵AO=OC
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴OC∥AD,
∴.
考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
22、（1）；（2）8
【分析】（1）根据题意先把，代入确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据题意分别求出C、D点的坐标，进而根据面积公式进行运算可得结论．
【详解】解：（1）把，代入得，
把和代入得，
所以一次函数表达式为.
（2）在中含得，令得，
，，
.
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，注意掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解以及掌握待定系数法求函数解析式．
23、（1）；（2）；（3）或2.
【分析】（1）由平行四边形ABCD，得到AD与BC平行且相等，由两直线平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形BEF与三角形AGF相似，由相似得比例，把x＝1代入已知等式，结合比例式得到AG＝BE，AD＝AB，即可求出所求式子的值；
（2）设AB＝1，根据已知等式表示出AD与BE，由AD与BC平行，得到比例式，表示出AG与DG，利用两角相等的三角形相似得到三角形GDH与三角形ABE相似，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方列出y与x的函数解析式，并求出x的范围即可；
（3）分两种情况考虑：①当点H在边DC上时，如图1所示；②当H在DC的延长线上时，如图2所示，分别利用相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】（1）在中，，，
.
，即，
.
，.
为的中点，
.
，即.
（2），
不妨设.
则，.
，
.
，.
，
.
，
.
.
在中，，
.
.
.
.
（3）①当点在边上时，
，
.
.
，
.
.
解得.
②当在的延长线上时，
，
.
.
，
.
.
解得.
综上所述，可知的值为或2.
此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24、（1）18；（2）D组；（3）图表见解析，
【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；
（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
【详解】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%＝50（人）；
m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；
故答案为：18；
（2）∵全班学生人数有50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51﹣56分数段，
∴落在D段
故答案为：D；
（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1，
A1
A2
B1
A1
（A1，A2）
（A1，B1）
A2
（A2，A1）
（A2，B1）
B1
（B1，A1）
（B1，A2）
∵共有6种等情况数，
∴恰好选到一男一女的概率是＝＝．
此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键．
25、（1）；（1）
【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出的取值范围；
（1）由韦达定理可知，列出等式，可得出的值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)1－4k1≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤；
(1)∵x1＋x1＝1(k－1)，x1x1＝k1，∴1(k－1)＝1－k1，
∴k1＝1，k1＝－3.
∵k≤，∴k＝－3.
26、1200cm2
【解析】先利用勾股定理计算AC，然后根据平行四边形的面积求解.
【详解】解 如图，AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC，
在Rt△ABC中，AC＝＝40 cm，
所以该平行四边形的面积＝30×40＝1 200(cm2)．
本题主要考查了利用勾股定理求直角三角形边长和求平行四边形面积，熟练掌握方法即可求解.
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