资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第30个“上”字需用多少枚棋子（ ）
A．122 B．120 C．118 D．116
4．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．如图，在矩形中，，垂足为，设，且，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
8．如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°， 则∠BCD是( )
A．34° B．44° C．54° D．56°
9．如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
10．函数与的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞1；②b＋c＝1；③3b＋c＋6＝1；④当1＜＜3时，＜1．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，某数学兴趣小组将长为，宽为的矩形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三连个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．1000(1＋x)2＝440 B．1000(1＋x)2＝1000
C．1000(1＋2x)＝1000＋440 D．1000(1＋x)2＝1000＋440
二、填空题（每题4分，共24分）
13．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个．
14．一元二次方程（x﹣1）2＝1的解是_____．
15．如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝_____．
16．若点与关于原点对称，则的值是___________.
17．点（﹣1，）、（2，）是直线上的两点，则 （填“＞”或“=”或“＜”）
18．在直角坐标系中，点A（-7，）关于原点对称的点的坐标是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
20．（8分）阅读材料
材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”.
材料2：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：.
例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.
则.
请解答：
（1）一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值， ；
（2）已知两个三位“对称数”，若能被11整数，求的所有值.
21．（8分）如图,在平面直角坐标系中,点,过点作轴的垂线,垂足为.作轴的垂线,垂足为点从出发,沿轴正方向以每秒个单位长度运动;点从出发,沿轴正方向以每秒个单位长度运动；点从出发,沿方向以每秒个单位长度运动.当点运动到点时,三点随之停止运动.设运动时间为.
(1)用含的代数式分别表示点,点的坐标.
(2)若与以点,,为顶点的三角形相似,求的值.
22．（10分）计算:.
23．（10分）已知关于x的不等式组恰有两个整数解,求实数a的取值范围.
24．（10分）一次函数的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，二次函数图像经过点A、B，与x轴相交于另一点C．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中画出该二次函数的图像；
（3）求∠ABC的度数．
25．（12分）解方程：x2－2x－3＝0
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发以lcm/s的速度沿折线AC﹣CB运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作正方形PQRS，设正方形PQRS与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示CP的长度；
（2）当点S落在BC边上时，求t的值；
（3）当正方形PQRS与△ABC的重叠部分不是五边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）连结CS，当直线CS分△ABC两部分的面积比为1：2时，直接写出t的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，
∴，
故选：D．
本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
2、B
【分析】根据判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
3、A
【分析】可以将上字看做有四个端点每次每个端点增加一个，还有两个点在里面不发生变化．找到其规律即可解答.
【详解】第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）．
所以第30个“上”字需要4×30+2=122枚棋子．
故选：A．
此题考查规律型：图形的变化，解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.
4、A
【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：两个相似多边形的面积比是9：16，
面积比是周长比的平方，
则大多边形与小多边形的相似比是4：1．
相似多边形周长的比等于相似比，
因而设大多边形的周长为x，
则有=，
解得：x=2．
大多边形的周长为2cm．
故选A．
考点：相似多边形的性质．
5、A
【解析】首先求出一元二次方程根的判别式，然后结合选项进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴△＝，
即△＜0，
∴一元二次方程无实数根，
故选A．
本题主要考查了根的判别式的知识，解题关键是要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6、C
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
【详解】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα=，，
∴AC=．
故选：C．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．
7、C
【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论．
【详解】解：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：C．
此题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键．
8、A
【分析】根据圆周角定理由AB是⊙O的直径可得∠ADB=90°，再根据互余关系可得∠A=90°-∠∠ABD=34°，最后根据圆周角定理可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=56°，
∴∠A=90°-∠ABD=34°，
∴∠BCD=∠A=34°，
故答案选A．
本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．解题的关键是正确利用图中各角之间的关系进行计算．
9、A
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，
故选A．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
10、C
【分析】利用二次函数与一元二次方程的联系对①进行判断；利用，可对②进行判断；利用，对③进行判断；根据时，可对④进行判断 ．
【详解】解：抛物线与轴没有公共点，
△，所以①错误；
，，
，
即，所以②正确；
，，
，
，所以③正确；
时，，
的解集为，所以④正确 ．
故选：C．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11、B
【分析】根据已知条件可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：计算即可．
【详解】解：∵矩形的长为6，宽为3，
∴AB=CD=6，AD=BC=3，
∴弧BD的长=18-12=6，
故选：B．
此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式
12、D
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题得出选项．
【详解】解：由题意可得，1000(1＋x)2＝1000＋440，
故选：D．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，是关于增长率的问题．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：根据题意得：
则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=1（个）．
故答案为1．
本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
14、x＝2或0
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：∵（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝±1，
∴x＝2或0
故答案为：x＝2或0
本题主要考查解一元二次方程的方法，形如x2=p或(nx+m)2=p(p⩾0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
15、1
【分析】设点C（），则点D（），然后根据CD的长列出方程，求得x的值，得到D的坐标，解直角三角形求得AD．
【详解】解：设点C（），则点D（），
∴CD＝x﹣（）＝
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∴＝5，解得x＝1，
∴D（﹣3，），
作DE⊥AB于E，则DE＝，
∵∠DAB＝60°，
故答案为：1．
本题考查的是平行四边形的性质、反比例性质、特殊角的三角函数值，利用平行四边形性质和反比例函数的性质列出等式是解题的关键．
16、1
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.
【详解】∵点与关于原点对称
∴
故填：1.
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握点的变化规律是关键．
17、＜．
【解析】试题分析：∵k=2＞0，y将随x的增大而增大，2＞﹣1，∴＜．故答案为＜．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
18、（7，）．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点A（-7，）关于原点对称的点的坐标是：（7，）．
故答案为：（7，）．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（2）y＝﹣x2+3x+2；（2）存在．P（﹣，）．（3）
【分析】（2）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+2求出a,b,c值，即可确定表达式；
（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.
【详解】解：如图：
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣2，0），B（2，0），点C三点．
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+2．
（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+2＝﹣（x﹣）2+．
∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，
∴m＝2，∴D（3，2），∵C（0，2）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝25°．
连接CD，∴CD∥x轴，
∴∠DCB＝∠OBC＝25°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，
再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，
∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，2），B（2，0）代入，得
k＝﹣，b＝2，
∴BP解析式为yBP＝﹣x+2．
yBP＝﹣x+2，y＝﹣x2+3x+2
当y＝yBP 时，﹣x+2＝﹣x2+3x+2，
解得x2＝﹣，x2＝2（舍去），
∴y＝，∴P（﹣，）．
（3） 理由如下，如图
B(2，0),C(0，2) ，抛物线对称轴为直线，
设N(，n)，M(m, ﹣m2+3m+2)
第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,
∴2-=0-m，∴m=
∴﹣m2+3m+2=,
∴；
或∴0-=2-m，
∴m=
∴﹣m2+3m+2=,
∴；
第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，
∴
∴m=
∴﹣m2+3m+2=
∴
综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为 .
本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.
20、（1）515或565；（2）的值为4，8，96，108，144.
【分析】（1）根据“对称数”的定义和可知，这个三位数首尾数字只能是5，然后中间的数字2倍后个位数为2，由此可得B的值.
（2）首先表示出这两个三位数，，，根据能被11整数，分情况讨论、的值即可得出答案.
【详解】解：（1）∵
由运算法则可知，这个三位数首尾数字只能是5，中间数字2倍后各位数字为2，
∴中间数字为1或6，
则这个三位数为515或565
故答案为：515或565；
（2）由题意得：，
，
能被11整除，
是11的倍数.
、在1～9中取值，
.
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，；
的值为4，8，96，108，144.
本题考查新型定义运算问题，理解的运算法则是解决本题的关键.
21、（1）点的坐标为,点的坐标为；（2）的值为
【分析】(1)根据题意OE=3t，OD=t, BF=2t, 据四边形OABC是矩形，可得AB=OC=10,BC=OA=12,从而可求得OE、AF,即得E、F的坐标；
(2)只需分两种情况(①△ODE∽△AEF ②△ODE∽△AFE)来讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决.
【详解】解:(1) ∵BA⊥轴,BC⊥轴, ∠AOC=90°,
∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°,
∴四边形OABC是矩形，
又∵B(12,10),
∴AB=CO=10, BC=OA=12
根据题意可知OE=3t,OD=t,BF=2t.
∴AF=10-2t,AE=12-2t
∴点E的坐标为(3t,0),点F的坐标为(12,10-2t)
(2)①当△ODE∽△AEF时,则有,
∴，
解得(舍),；
②当△ODE∽△AFE时,则有,
∴，
解得(舍),；
∵点运动到点时,三点随之停止运动,
∴，
∴，
∵，
∴舍去,
综上所述:的值为
故答案为：t=
本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，运用相似三角形的性质来解决问题.易错之处是这两种情况都要考虑到.
22、2
【分析】首先计算各锐角三角函数值，然后进行计算即可.
【详解】原式
=2-1+1
此题主要考查锐角三角函数的相关计算，牢记锐角三角函数值是解题关键.
23、-4≤a<-3.
【解析】试题分析：首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
试题解析：解：由5x+2＞3（x﹣2）得：x＞﹣2，由x≤8﹣x+2a得：x≤4+a．
则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a．
不等式组只有两个整数解，是﹣2和2．
根据题意得：2≤4+a＜2．
解得：﹣4≤a＜﹣3．
点睛：本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
24、（1），b=6；（2）见解析；（3）∠ABC=45°
【分析】（1）根据已知条件求得点A、点B的坐标，再代入二次函数的解析式，即可求得答案；
（2）根据列表、描点、依次连接即可画出该二次函数的图像；
（3）作AD⊥BC，利用两点之间的距离公式求得的边长，再运用面积法求高的方法求得AD，最后用特殊角的三角函数值求得答案.
【详解】（1）∵一次函数的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴令，则；令，则；
∴点A、点B的坐标分别为： ，
∵二次函数图像经过点A、B，
∴，
解得：，
∴，b=6；
（2）由（1）知二次函数的解析式为：
对称轴为直线： ，与x轴的交点为．
x
-2
-1
0
0.5
1
2
3
y
0
4
6
0.25
6
4
0
二次函数的图像如图：
（3）如图，过A作AD⊥BC于D，
AB=，
CB=，
，
∵，
，
∴，
解得：，
在中，，
∵，
∴.
故∠ABC=45°.
本题考查了一次函数和二次函数的性质，用待定系数法确定函数的解析式，勾股定理以及面积法求高的应用，解此题的关键是运用面积法求高的长，用特殊角的三角函数值求角的大小.
25、,
【解析】试题分析：用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：
,
或 ,
,.
点睛：解一元二次方程的常用方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.
26、（1）当0＜t＜4时，CP＝4﹣t，当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；（1）；（3）S＝；（4）或
【分析】（1）分两种情形分别求解即可．
（1）根据PA+PC＝4，构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形：如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，分别求解即可．
（4）设直线CS交AB于E．分两种情形：如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件．如图4﹣1中，当AE＝AB时，满足条件．分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）当0＜t＜4时，∵AC＝4，AP＝t，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣t；
当4≤t＜8时，CP＝t﹣4；
（1）如图1中，点S落在BC边上，
∵PA＝t，AQ＝QP，∠AQP＝90°，
∴AQ＝PQ＝PS＝t，
∵CP＝CS，∠C＝90°，
∴PC＝CS＝t，
∵AP+PC＝BC＝4，
∴t+t＝4，
解得t＝．
（3）如图1中，当0＜t≤时，重叠部分是正方形PQRS，S＝（t）1＝t1．
当4＜t＜8时，重叠部分是△PQB，S＝（8﹣t）1．
综上所述，S＝．
（4）设直线CS交AB于E．
如图4﹣1中，当AE＝AB＝时，满足条件，
∵PS∥AE，
∴，
∴，
解得t＝．
如图4﹣1中，当AE＝AB时，满足条件．
同法可得：，
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．
此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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