资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知与位似，位似中心为点且的面积与面积之比为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠AOC＝80°，则∠ABC的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
6．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
7．某细胞的直径约为0.0000008米，该直径用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若≤1，则x的范围为（ ）
A．≥1 B．≥2 C．＜0或≥2 D．＜0或0＜≤1
10．在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象可能（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．45°
12．模型结论：如图①，正内接于，点是劣弧上一点，可推出结论.
应用迁移：如图②，在中，，，，是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，设点P在函数y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y= 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y=的图象于点B，则四边形PAOB的面积为_____．
14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于点D，求图中阴影部分的面积为_____．
15．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是__________．
16．如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点、在轴上，点在轴上，则平行四边形的面积为______.
17．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是 ㎝1．
18．反比例函数与在第一象限内的图象如图所示，轴于点，与两个函数的图象分别相交于两点，连接，则的面积为_________ ．
三、解答题（共78分）
19．（8分） (1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”，在连接MD、ME的基础上，只需证明 ．
(2)初步思考：如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE．求证：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)
(3)推广运用：如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，三条高的交点G叫做△ABC的垂心，连接DE、EF、FD，求证：点G是△DEF的内心．
20．（8分）已知：关于x的方程，
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
21．（8分）已知，在中，，，点为的中点．
（1）若点、分别是、的中点，则线段与的数量关系是 ；线段与的位置关系是 ；
（2）如图①，若点、分别是、上的点，且，上述结论是否依然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图②，若点、分别为、延长线上的点，且，直接写出的面积．
22．（10分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）
（1）分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；
（2）通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，
（1）试证明：△AEP∽△ABC；
（2）求y与x之间的函数关系式．
24．（10分）如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为两点．
（1）若的半径为2，说明直线与的位置关系；
（2）若的半径为2，经过点且与轴相切于点，求圆心的坐标；
（3）若的内切圆圆心是点，外接圆圆心是点，请直接写出的长度．
25．（12分）化简求值 ：，其中
26．如图，在中，，，点均在边上，且．
（1）将绕A点逆时针旋转，可使AB与AC重合，画出旋转后的图形，在原图中补出旋转后的图形．
（2）求和的度数．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据位似图形的性质得到AC：DF=3：1，AC∥DF，再证明∽，根据相似的性质进而得出答案．
【详解】∵与位似，且的面积与面积之比为9：4，
∴AC：DF=3：1，AC∥DF，
∴∠ACO=∠DFO，∠CAO=∠FDO，
∴∽，
∴AO：OD=AC：DF=3：1．
故选：A．
本题考查位似图形的性质，及相似三角形的判定与性质，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
2、D
【分析】根据垂径定理可得出AE的值，再根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴AE=BE=4，
∴．
故选：D．
本题考查的知识点是垂径定理，根据垂径定理得出AE的值是解此题的关键．
3、D
【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：A．∵△=b2-4ac=1-4×1×1=-3＜0，
∴此方程没有实数根，故本选项错误；
B．变形为
∴此方程有没有实数根，故本选项错误；
C．∵△=b2-4ac=22-4×1×1=0，
∴此方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D．∵△=b2-4ac=42-4×1×1=12，
∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项正确．
故选：D．
此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
4、D
【分析】根据三角形的中点的概念求出AB、AC，根据三角形中位线定理求出DF、EF，计算得到答案.
【详解】解：∵点E是AC的中点，AB＝AC，
∴AB＝AC＝4，
∵D是边AB的中点，
∴AD＝2，
∵D、F分别是边、AB、BC的中点，
∴DF＝AC＝2，
同理，EF＝2，
∴四边形ADFE的周长＝AD+DF+FE+EA＝8，
故选：D.
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
5、C
【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.
【详解】∵∠AOC＝80°，
∴.
故选：C.
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
6、B
【解析】试题分析：由OC与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，由OA与OD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB=2AD即可求出AB的长．∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD=0.5AB，在Rt△AOD中，OA=5，OD=3，根据勾股定理得：AD=4则AB=2AD=1．故选B．
考点：垂径定理
点评：此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键
7、B
【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为且，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：根据科学计数法得：
．
故选：B．
本题主要考查科学计数法，熟记科学计数法的一般形式是且是关键，注意负指数幂的书写规则是由原数左边第一个不为零的数字开始数起．
8、C
【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】解：连接、，
∵、分别与相切于、两点，
∴，，
∴．
∴，
∴．
故选C．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9、C
【解析】解：由图像可得，当＜0或≥2时，≤1.
故选C.
10、C
【分析】先分别根据二次函数和一次函数的图象得出a、c的符号，再根据两个函数的图象与y轴的交点重合，为点逐项判断即可．
【详解】A、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意
B、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号不一致，则此项不符题意
C、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号一致，且都经过点，则此项符合题意
D、由二次函数的图象可知，
由一次函数的图象可知，
两个函数图象得出的a、c的符号一致，但与y轴的交点不是同一点，则此项不符题意
故选：C．
本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．
11、C
【分析】先根据垂径定理可得，然后根据圆周角定理计算∠BOD的度数．
【详解】解：∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°．
故选：C．
本题考查了垂径定理、圆心角定理和圆周角定理，熟悉掌握定义，灵活应用是解本题的关键
12、D
【分析】在△DEG右侧作等边三角形DGM，连接FM，由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为线段EM，根据题意求出EM即可.
【详解】解：在△DEG右侧作等边三角形DGM，过M作ED的垂线交ED延长线于H，连接FM，EM，
由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为EF+FM的最小值，即线段EM，
由已知易得∠MDH=30°，DM=DG=，
∴在直角△DMH中，MH=DM=，DH=，
∴EH=3+3=6，
在直角△MHE中，
本题主要考查了学生的知识迁移能力，熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、4
【解析】
＝6－1－1
＝4
本题考察了反比例函数的几何意义及割补法求图形的面积．通过观察可知，所求四边形的面积等于矩形OCPD的面积减去△OBD和△OCA的面积，而矩形OCPD的面积可通过的比例系数求得；△OBD和△OCA的面积可通过的比例系数求得，从而用矩形OCPD的面积减去△OBD和△OCA的面积即可求得答案．
14、1
【分析】连接AD，由图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面积．
【详解】解：连接AD，
∵AB＝BC＝2，∠A＝90°，
∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∴BD＝AD＝，
∴由BD，AD组成的两个弓形面积相等，
∴阴影部分的面积就等于△ABD的面积，
∴S△ABD＝AD•BD＝××＝1．
故答案为：1．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
15、
【分析】利用公式直接计算．
【详解】解：这六个数字中小于3的有1和2两种情况，则P（向上一面的数字小于3）=．
故答案为：
本题考查概率的计算．
16、6
【分析】作AH⊥OB于H，根据平行四边形的性质得AD∥OB，则，再根据反比例函数(k)系数的几何意义得到=6，即可求得答案．
【详解】作AH⊥轴于H，如图，
∵AD∥OB，
∴AD⊥轴，
∴四边形AHOD为矩形，
∵AD∥OB，
∴，
∵点A是反比例函数的图象上的一点，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了反比例函数(k)系数的几何意义：从反比例函数(k)图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
17、14
【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据S=ab=×6×8=14cm1，
故答案为14．
18、
【分析】设直线AB与x轴交于点C，那么．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，即可求出结果．
【详解】设直线AB与x轴交于点C．
∵AC⊥x轴，BC⊥x轴．
∵点A在双曲线的图象上，
∴，
∵点B在双曲线的图象上，
∴，
∴．
故答案为：1．
本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即．
三、解答题（共78分）
19、 (1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
【分析】(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．
(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME＝MD＝MB＝MC，得到四边形BCDE为圆内接四边形，故有对角互补．
(3)根据内心定义，需证明DG、EG、FG分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点B、C、D、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．
【详解】解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上
故答案为：ME＝MD＝MB＝MC
(2)证明：连接MD、ME
∵BD、CE是△ABC的高
∴BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC＝∠CEB＝90°
∵M为BC的中点
∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上
∴∠ABC+CDE＝180°
∵∠ADE+∠CDE＝180°
∴∠ADE＝∠ABC
(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN
∵CE、AF是△ABC的高
∴∠BEG＝∠BFG＝90°
∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG
∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上
∴∠FBG＝∠FEG
∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上
∴∠FBG＝∠CED
∴∠FEG＝∠CED
同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG
∴点G是△DEF的内心
本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系.
20、（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为1．
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；
（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．
【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）当a=1为底边时，则b=c，
∴△=(k-2)²=0，
解得：k=2，
∴方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2，即b=c=2，
∵1、2、2可以构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=1．
当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，
∴1-（k+2）+2k=0，
解得：k=1，
∴方程为x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能构成三角形，
综上所述：△ABC的周长为1．
本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．
21、（1），；（2）成立，证明见解析；（3）1．
【分析】（1）点、分别是、的中点，及，可得：,根据SAS判定，即可得出，，可得，即可证；
（2）根据SAS判定，即可得出，，可得，即可证；
（3）根据SAS判定，即可得出,将转化为：进行求解即可．
【详解】解：（1）证明：连接，
∵点、分别是、的中点，
∴
∵，
∴
∵，，为中点，
∴，且平分，．
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，即
故答案为：，；
（2）结论成立：，；
证明：连接，
∵，，为中点，
∴，且平分，．
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，即
（3）证明：连接，
∵
∴
∴
∵，，为中点，
∴，且平分，，
∴
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴
即
∵为中点，
∴
∵，
∴，
∴
故答案为:1
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22、（1）y1＝;y2＝x2﹣4x+2；（2）5月出售每千克收益最大，最大为．
【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1和y2的解析式；
（2）由收益W=y1-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．
【详解】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得．
∴y1＝﹣x+1．
设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，
4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．
∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+2．
（2）收益W＝y1﹣y2，
＝﹣x+1﹣（x2﹣4x+2）
＝﹣（x﹣5）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝5时，W最大值＝．
故5月出售每千克收益最大，最大为元．
本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法
23、（1）见解析；（2）y=．（0＜x＜6.4）
【分析】（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出：△AEP∽△ABC；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE＝x，，即可得出y与x的函数关系式．
【详解】（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠APE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ABC；
（2）在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，
又∵AP＝x，
即，
∴PE＝x， ，
∴＝．（0＜x＜6.4）
本题考查了相似三角形的性质问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
24、（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）（，2）或（-，2）；（3）
【分析】（1）由直线解析式求出A（-4，0），B（0，3），得出OB=3，OA=4，由勾股定理得出AB==5，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC=＞2，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当点P在第一象限，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，BC=OB-OC=1，由勾股定理得出PC=，即可得出答案；②当点P在的第二象限，根据对称性可得出此时点P的坐标；
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD=（OA+OB-AB）=1，求出BE=BD=OB-OD=2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN=BN=AB=，NE=BN-BE=，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线l的函数表达式为y=x+3，
∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=4，
AB==5，
过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：
∵sin∠BAO=，
∴，
∴OC=＞2，
∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；
（2）如图2所示，分两种情况：
①当点P在第一象限时，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，
则四边形OCPF是矩形，
∴OC=PF=BP=2，
∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，
∴PC=，
∴圆心P的坐标为：（，2）；
②当点P在第二象限时，
由对称性可知，在第二象限圆心P的坐标为：（-，2）．
综上所知，圆心P的坐标为（，2）或（-，2）．
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图3所示：
则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，
∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，
∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，
∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，
∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，
在Rt△MEN中，
MN=．
本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、直角三角形的内切圆与外接圆、勾股定理、切线长定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
25、；．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，现时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把x的值代入计算即可．
【详解】
=
=
=；
当时，原式=．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26、（1）见解析；（2），.
【分析】（1）以C为圆心BD为半径作弧，与以A为圆心AD为半径作弧的交点即为G点，然后连线即可得解；
（2）根据旋转的性质可得∠CAG=∠BAD，∠ACG=∠ABD，然后根据题意即可得各角的大小.
【详解】（1）△ACG如图：
（2）∵，，
∴∠B+∠ACB=90°，∠BAD+∠CAE=45°，
又∵为绕A点逆时针旋转所得，
∴∠CAG=∠BAD，∠ACG=∠ABD，
∴，
.
本题主要考查画旋转图形，旋转的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
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