资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某商品原价格为100元，连续两次上涨，每次涨幅10%，则该商品两次上涨后的价格为( )
A．121元 B．110元 C．120元 D．81元
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=55°，则∠OCB为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
3．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
4．在平面直角坐标系xOy中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆与y轴( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．如图，在中，，，于点．则与的周长之比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5
6．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．对于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大减小
D．抛物线开口向上
9．如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
10．已知反比例函数图像上三个点的坐标分别是，能正确反映的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
11．方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣1＝0中，当m取什么范围内的值时，方程有两个不相等的实数根？（ ）
A．m＞ B．m＞且m≠1 C．m＜ D．m≠1
12．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(0,-1) B．(-1,1) C．(-1,0) D．(1,0)
二、填空题（每题4分，共24分）
13．二次函数解析式为，当x>1时，y随x增大而增大，求m的取值范围__________
14．如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______．
15．二次函数图象的顶点坐标为________．
16．如图，边长为2的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为__________．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为________.
18．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）求当线段AM最短时的长度
20．（8分）如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）.
（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；
（2）点 E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E 的坐标；
（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.
22．（10分）已知，且2x+3y﹣z＝18，求4x+y﹣3z的值．
23．（10分）如图，是的直径，且，点为外一点，且，分别切于点、两点．与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）填空：①当__________时，四边形是正方形．
②当____________时，为等边三角形．
24．（10分）深圳国际马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.
（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为 .
（2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目标组进行志愿服务的概率.
25．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝1
（2）5x2+2x﹣1＝1．
26．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．
（1）求的值；
（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】依次列出每次涨价后的价格即可得到答案.
【详解】第一次涨价后的价格为： ，
第二次涨价后的价格为： 121（元），
故选：A.
此题考查代数式的列式计算，正确理解题意是解题的关键.
2、A
【分析】首先根据圆周角定理求得∠BOC，然后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求得∠OCB．
【详解】解：∵∠A=55°，
∴∠BOC=55°×2=110°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=(180°-∠BOC)=35°，
故答案为A．
本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，掌握并灵活利用相关性质定理是解答本题的关键．
3、D
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
【详解】把y=0代入y=-x1+x+得：
-x1+x+=0，
解之得：x1=2，x1=-1．
又x＞0，解得x=2．
故选D．
4、A
【分析】先找出圆心到y轴的距离，再与圆的半径进行比较，若圆心到y轴的距离小于半径，则圆与y轴相交，反之相离，若二者相等则相切
故答案为A选项
【详解】根据题意，我们得到圆心与y轴距离为3，小于其半径4，所以与y轴的关系为相交
本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键
5、A
【详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD=∠A=30°；
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故选A
6、D
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.
【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.
7、A
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．
故选A．
8、C
【分析】A.将抛物线一般式化为顶点式即可得出顶点坐标，由此可判断A选项是否正确；
B.根据二次函数的对称轴公式即可得出对称轴，由此可判断B选项是否正确；
C.由函数的开口方向和顶点坐标即可得出当时函数的增减性，由此可判断C选项是否正确；
D.根据二次项系数a可判断开口方向，由此可判断D选项是否正确.
【详解】，
∴该抛物线的顶点坐标是，故选项A正确，
对称轴是直线，故选项B正确，
当时，随的增大而增大，故选项C错误，
，抛物线的开口向上，故选项D正确，
故选：C．
本题考查二次函数的性质.对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤时，y随x的增大而减小；当x ≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤时，y随x的增大而增大；当x ≥时，y随x的增大而减小．在本题中能将二次函数一般式化为顶点式（或会用顶点坐标公式计算）得出顶点坐标是解决此题的关键.
9、C
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选C．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10、B
【分析】根据反比例函数关系式，把－2、1、2代入分别求出，然后比较大小即可.
【详解】将A、B、C三点横坐标带入函数解析式可得，
∵，
∴.
故选：B.
本题考查反比例函数图象上点的坐标，正确利用函数表达式求点的坐标是解题关键.
11、B
【分析】由题意可知原方程的根的判别式△>0，由此可得关于m的不等式，求出不等式的解集后再结合方程的二次项系数不为0即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＝4m2﹣4（m﹣1）2＞0，解得：∴m＞，
∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴m的范围是：m＞且m≠1．
故选：B．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法等知识，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与方程根的个数的关系是解题关键．
12、C
【解析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标．
解答：解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴抛物线顶点坐标为（-1，0），
故选C．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、m≤1
【分析】先确定图像的对称轴x= ，当x>1时，y随x增大而增大，则≤1，然后列不等式并解答即可．
【详解】解：∵
∴对称轴为x=
∵当x>1时，y随x增大而增大
∴≤1即m≤1
故答案为m≤1．
本题考查二次函数的增减性，正确掌握二次函数得性质和解一元一次不等式方程是解答本题的关键．
14、
【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3×2×1=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种，故其概率为.
故答案为.
本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.
15、
【解析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的h，k所表示的意义．
16、
【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．
【详解】解：∵与相切于点，与交于点
∴EF=AF,EC=BC=2
设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x
在Rt△CDF中,由勾股定理得:
DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22
解得:x=,则DF=
∴的面积为=
故答案为．
本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．
17、-6
【解析】因为四边形OABC是菱形,所以对角线互相垂直平分,则点A和点C关于y轴对称,点C在反比例函数上,设点C的坐标为(x,),则点A的坐标为(－x,),点B的坐标为(0,),因此AC=－2x,OB=,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:
,解得
18、＝45
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．
【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
故答案是：．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以1．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）BE=1或；（3）．
【解析】试题分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-（x-3）2+，利 用二次函数的性质，继而求得线段AM的最小值．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴
∴CE=
∴BE=6-
∴BE=1或
（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴
即：
∴CM=
∴AM=-5-CM=
∴当x=3时，AM最短为．
考点：相似形综合题．
20、（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)
【分析】（1）将点A分别代入y=-x2+bx+3，y=x+c中求出b、c的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D的坐标；
（2））过点E作EF⊥y轴，设E（x，-x2+2x+3），先求出点B、C的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE的面积，即可求出点E的坐标.
（3）分别以点D、M、N为直角顶点讨论△MND是等腰直角三角形时点N的坐标．
【详解】（1）将A（-1,0）代入y=-x2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，
∴y=-x2+2x+3，
将点A代入y=x+c中，得-1+c=0，解得c=1，
∴y=x+1，
解，解得，（舍去），
∴D（2,3）.
∴b= 2 ，c= 1 ，D（2,3）.
（2）过点E作EF⊥y轴，
设E（x，-x2+2x+3）,
当y=-x2+2x+3中y=0时，得-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1（舍去），
∴B(3，0).
∵C(0，3)，
∴，
∴，
解得x1=4,x2=-1（舍去），
∴E(4，-5).
（3）∵A(-1，0),D(2，3),
∴直线AD的解析式为y=x+1,
设P（m，m+1），则Q（m，-m2+2m+3），
∴线段PQ的长度h=-m2+2m+3-（m+1）=，
∴当=0.5，线段PQ有最大值.
当∠D是直角时，不存在△MND是等腰直角三角形的情形；
当∠M是直角时，如图1，点M在线段DN的垂直平分线上，此时N1（2,0）；
当∠M是直角时，如图2，作DE⊥x轴，M2E⊥HE，N2H⊥HE,
∴∠H=∠E=90,
∵△M2N2D是等腰直角三角形，
∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,
∵∠N2M2H=∠M2DE,
∴△N2M2H≌△M2DE,
∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，
∴E(2，-1.5)，
∴M2H=DE=3+1.5=4.5，
∴ON2=4.5-0.5=4，
∴N2(-4，0)；
当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，
∴∠N3HM3=∠DEN3=90,
∵△M3N3D是等腰直角三角形，
∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90，
∵∠DN3E=∠N3M3H，
∴△DN3E≌△N3M3H，
∴N3H=DE=3，
∴N3O=3-0.5=2.5，
∴N3(-2.5，0)；
当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，
∴∠N4HM4=∠DEN4=90,
∵△M4N4D是等腰直角三角形，
∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90，
∵∠DN4E=∠N4M4H，
∴△DN4E≌△N4M4H，
∴N4H=DE=3，
∴N4O=3+0.5=3.5，
∴N4(3.5，0)；
综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式；根据函数性质得到点坐标，由此求出图象中图形的面积；还考查了图象中构成的等腰直角三角形的情况，此时依据等腰直角三角形的性质，求出点N的坐标.
21、（1）15°；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；
（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∵CA＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，
∴∠CDE＝75°−60°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，
∴BF＝BC，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，
∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△AFD≌△CBA，
∴DF＝BA，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
22、x=4，y=6，z=8.
【分析】设＝k，由1x+3y-z=18列出含k的等式，解出k，x，y，z，再代入所求即可.
【详解】解：设＝k，
可得：x＝1k，y＝3k，z＝4k，
把x＝1k，y＝3k，z＝4k代入1x+3y﹣z＝18中，
可得：4k+9k﹣4k＝18，
解得：k＝1，
所以x＝4，y＝6，z＝8，
把x＝4，y＝6，z＝8代入4x+y﹣3z＝16+6﹣14＝﹣1．
本题考查的知识点是比例的性质，解题的关键是熟练的掌握比例的性质.
23、（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）由切线长定理可得MC=MA，可得∠MCA=∠MAC，由余角的性质可证得 DM=CM；
（2）①由正方形性质可得CM=OA=3；
②由等边三角形的性质可得∠D=60，再由直角三角形的性质可求得答案.
【详解】证明：（1）如图，连接，
，分别切于点、两点，
，，，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
（2）①四边形是正方形，
，
当时，四边形是正方形，
②若是等边三角形，
，且，，
，
，
，
当时，为等边三角形．
本题是圆的综合题，考查了切线长定理，直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是正确解答本题的关键.
24、（1）（2）
【分析】（1）直接利用概率公式可得；
（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）小智被分配到A“全程马拉松”项目组的概率为，
故答案为：.
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中小智和小慧被分配到同一个项目组的结果数为3，
所以小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为.
本题主要考察概率，熟练掌握概率公式是解题关键.
25、（1）x1=-2，x2=6；（2）x1=，x2=
【分析】（1）先移项，两边再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2-4ac的值，代入公式求出即可．
【详解】（1）(x-2)2-16=1，
(x-2)2=16，
两边开方得：x-2=±4，
解得：x1=-2，x2=6；
（2）5x2+2x-1=1，
b2-4ac=22+4×5×1=24，
x=，
∴x1=，x2=
本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查了学生的计算能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
26、 (1)见解析；（2）=﹣．
【解析】（1）由 得，由DE//BC得，再由DF//AC即可得；
（2）根据已知可得 ， ，从而即可得.
【详解】（1）∵ ， ∴，
∵DE//BC，∴，
又∵DF//AC，∴ ；
（2）∵，∴，
∵，与方向相反 ， ∴ ，
同理： ，
又∵，∴.
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