资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ）
A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．在一块半径为的圆形钢板中裁出一个最大的等边三角形，此等边三角形的边长（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
5．下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．线段 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形
7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴 C．顶点坐标是 D．与轴有两个交点
8．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（ ）
A．线段 B．与原三角形全等的三角形
C．变形的三角形 D．点
9．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
10．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠ABO＝35°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．65° C．55° D．45°
11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．1
12．如图，在平面直角坐标系中，若反比例函数过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为_____．
14．如图，在中，弦，点在上移动，连结，过点作交于点，则的最大值为__________．
15．如图，在中，，，，则的长为________．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD的中点，将△ABE折叠后得到△A′BE，延长BA′交CD于点F，则DF的长为______．
17．一个不透明的布袋里装有100个只有颜色不同的球，这100个球中有m个红球通过大量重复试验后发现，从布袋中随机摸出一个球摸到红球的频率稳定在左右，则m的值约为______．
18．等腰三角形的底角为15°，腰长为20cm，则此三角形的面积为 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
20．（8分）通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间()变化的函数图象如图所示(越大表示注意力越集中)．当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段．
（1）当时，求注意力指标数与时间的函数关系式．
（2）一道数学综合题，需要讲解24，问老师能否安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于1．
21．（8分）知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．中国北斗导航已经全球组网，它已经走进了人们的日常生活．如图，某校周末组织学生利用导航到某地(用表示)开展社会实践活动，车辆到达地后，发现地恰好在地的正北方向，且距离地8千米．导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至地，再沿北偏西45°方向行驶一段距离才能到达地．求两地间的距离(结果精确到0.1千米)．(参考数据：)
22．（10分）画出如图所示的几何体的三种视图．
23．（10分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}＝﹣1，min{1，1}＝1．类似地，若函数y1、y1都是x的函数，则y＝min{y1，y1}表示函数y1和y1的“取小函数”．
（1）设y1＝x，y1＝，则函数y＝min{x，}的图象应该是 中的实线部分．
（1）请在图1中用粗实线描出函数y＝min{（x﹣1）1，（x+1）1}的图象，并写出该图象的三条不同性质：
① ；② ；③ ；
（3）函数y＝min{（x﹣4）1，（x+1）1}的图象关于 对称．
24．（10分）解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并求出此不等式组的所有整数解.
25．（12分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量（本）与销售单价（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求的值．
26．为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率
故选A．
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
2、B
【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵CD=CE，OE=OD，
∴AO是线段DE的垂直平分线，
∴∠AOB=90°；
则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；
故选：B．
本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．
3、D
【分析】画出图形，作于点，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC的长即可得出AB的长.
【详解】解：依题意得，
连接，，作于点，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
本题考查了圆的内接多边形，和垂径定理的使用，弄清题意准确计算是关键.
4、B
【分析】利用顶点公式 ，进行计算
【详解】
顶点坐标为
故选B.
本题考查二次函数的性质，熟练运用抛物线顶点的公式是解题关键.
5、A
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项进行判断即可．
【详解】A、是无理数，故本选项正确；
B、=2，是有理数，故本选项错误；
C、0，是有理数，故本选项错误；
D、1，是有理数，故本选项错误；
故选：A．
本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．
6、B
【解析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.
【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选：B．
本题主要考查几何图形的投影，关键在于根据不同的位置，识别不同的投影图形.
7、C
【分析】根据抛物线的性质由a=2得到图象开口向上，再根据顶点式得到顶点坐标，再根据对称轴为直线x=1和开口方向和顶点，从而可判断抛物线与x轴的公共点个数．
【详解】解：二次函数y=2（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），
对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
8、D
【分析】将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段；当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．
【详解】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，不可能是一个点，
故选D.
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
9、B
【解析】试题解析：△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，
是的中点，
∠BEC=90°，
△BCE的周长
故选B.
点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
10、C
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，
∴∠BAO=∠ABO=35°，
∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=∠O=55°．
故选：C．
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
11、B
【分析】根据网格结构找出∠ABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】解：∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，
所以，tan∠ABC＝．
故选B．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
12、C
【解析】把代入求解即可.
【详解】反比例函数过点，
，
故选：．
本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、3
【分析】作出D关于AB的对称点D'，则PC+PD的最小值就是CD'的长度．在△COD'中根据边角关系即可求解．
【详解】作出D关于AB的对称点D'，连接OC，OD'，CD'．
又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，
∴∠BAD'∠CAB=15°，
∴∠CAD'=45°，
∴∠COD'=90°．∴△COD'是等腰直角三角形．
∵OC=OD'AB=3，
∴CD'=3．
故答案为：3．
本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解答本题的关键．
14、2
【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可；
【详解】如图，连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=，
∴，
当OC的值最小时，CD的值最大，OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD=CB=AB=2，即CD的最大值为2；
故答案为：2.
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.
15、
【分析】过点作的垂线，则得到两个直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式，求的长.
【详解】过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．
本题考查勾股定理和正余弦公式的运用，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解.
16、
【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE＝DE＝EA'，然后利用“HL”证明△EDF和△EA'F全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝A'F；设FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列方程即可得解．
【详解】∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△A'BE，
∴AE＝EA'，AB＝BA'，
∴ED＝EA'，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠EA'F＝90°，
∵在Rt△EDF和Rt△EA'F中，
∵，
∴Rt△EDF≌Rt△EA'F（HL），
∴DF＝FA'，
设DF＝x，则BF＝4+x，CF＝4﹣x，
在Rt△BCF中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝．
故答案为：．
本题主要考查折叠的性质与勾股定理，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
17、1
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】根据题意，得：，
解得：，
故答案为：1．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18、100
【解析】试题分析：先作出图象，根据含30°角的直角三角形的性质求出腰上的高，再根据三角形的面积公式即可求解．
如图，
∵∠B=∠C=15°
∴∠CAD=30°
∴CD=AC=10
∴三角形的面积
考点：本题考查的是三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；30°角的所对的直角边等于斜边的一半．
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）欲证△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明且就可以；
（2）A是的中点，的中点，则AC=AB=8，根据△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根据正切三角函数的定义就可以求出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵，
∴∠DCA=∠BAE，
∴△ADC∽△EBA；
（2）解：∵A是的中点，
∴，
∴AB=AC=8，
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD=∠AEC，，即，
∴AE=，
∴tan∠CAD=tan∠AEC===．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
20、（1）y=+20(0≤x≤10)；（2）能，理由见解析．
【分析】（1）利用待定系数法假设函数的解析式，代入方程的点分别求出、 、 的值，即可求出当时，注意力指标数与时间的函数关系式．
（2）根据函数解析式，我们可以求出学生在这这道题时，注意力的指标数都不低于1时x的值，然后和24进行比较，即可得到结论．
【详解】（1）设 时的抛物线为 ．
由图象知抛物线过(0，20)，(5，39)，(10，48)三点，
所以．
解得
所以
（2）由图象知，
当 时， ．
当 时，令 ，．
解得： (舍去)．
当 时，令 ，得 ，
解得：
因为，
所以老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于1时，讲授完这道数学综合题．
本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
21、7.2千米
【解析】设千米，过点作，可得，根据，列方程求解即可．
【详解】解：设千米，过点作，交于点
在中，
在中， ，
∵
∴
∴
答：两地间的距离约为7.2千米．
本题主要考查解直角三角形应用和特殊三角函数..熟练掌握特殊三角函数值是解决问题的关键.
22、见解析
【分析】直接利用三视图的画法分别从不同角度得出答案．
【详解】解：如图所示：
此题主要考查了作三视图，正确把握观察角度是解题关键．
23、 (2)B,(2) 对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3；(3) x=2．
【分析】（2）依据函数解析式，可得当x≤-2时，x≤；当-2＜x＜3时，x＞；当3＜x＜2时，x≤；当x≥2时，x＞；进而得到函数y=min{x，}的图象；
（2）依据函数y=（x-2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x-2）2，（x+2）2}的图象及其性质；
（3）令（x-4）2=（x+2）2，则x=2，进而得到函数y=min{（x-4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．
【详解】（2）当x≤﹣2时，x≤；当﹣2＜x＜3时，x＞；当3＜x＜2时，x≤；当x≥2时，x＞；
∴函数y=min{x， }的图象应该是
故选B；
（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：
性质为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3．
故答案为对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为3；
（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=2，
故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=2．
故答案为直线x=2．
本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．
24、见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，即可求得解集内所有整数解．
【详解】解：解不等式，得
解不等式，得
则不等式组的解集为
在数轴上表示如下：
此不等式组的整数解为，0，1.
本题考查解一元一次不等式组：先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．也考查了数轴表示不等式的解集．
25、（1）；（1）．
【解析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．根据题意得到w=（x-10-a）（-10x+500）=-10x1+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30＜35+a≤38，则当时，取得最大值，解方程得到a1=1，a1=58，于是得到a=1．
【详解】解：（1）根据题意得，；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为元．
对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30＜35+a ≤38，
则当时，取得最大值，
∴
∴（不合题意舍去），
∴．
本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
26、（1）；（2）该公可若想获得10万元的年利润，此设备的销售单价应是3万元.
【解析】分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
详解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，53）代入y=kx+b，得：
，
解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1）=10，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=3，x2=2．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=3．
答：该设备的销售单价应是3万元/台．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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