资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6π B．12π C．18π D．24π
2．在一个不透明的盒子中装有个白球,若于个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为( )
A． B． C． D．
3．如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
4．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
5．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，是的中线，是上一点，，的延长线交于，（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB=30°，CD=6，则阴影部分面积为（ ）
A．π B．3π C．6π D．12π
8．若，，则以为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．
你认为其中正确信息的个数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知∠A是锐角，，那么∠A的度数是（）
A．15° B．30° C．45° D．60°
11．如图，已知点在的边上，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点、分别在边、上，为的中点，连接，则的长为_________．
14．△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接EF，则S△AEF:S△ABC＝_____．
15．某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染．设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为______．
16．如图,是⊙O上的点,若,则___________度．
17．圆内接正六边形一边所对的圆周角的度数是__________．
18．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）中华鲟是国家一级保护动物，它是大型洄游性鱼类，生在长江，长在海洋，受生态环境的影响，数量逐年下降。中华鲟研究所每年定期通过人工养殖放流来增加中华鲟的数量，每年放流的中华鲟中有少数体内安装了长效声呐标记，便于检测它们从长江到海洋的适应情况，这部分中华鲟简称为“声呐鲟”，研究所收集了它们到达下游监测点A的时间t（h）的相关数据，并制作如下不完整统计图和统计表．
已知：今年和去年分别有20尾“声呐鲟”在放流的96小时内到达监测点A，今年落在24<t≤48内的“声呐鲟”比去年多1尾，今年落在48<t≤72内的数据分别为49，60，68，68，1．
去年20尾“声呐鲟”到达监测点A 所用时间t（h）的扇形统计图
今年20尾“声呐鲟”到达监测点A所用时间t（h）的频数分布直方图
关于“声呐鲟”到达监测点A所用时间t（h）的统计表
平均数
中位数
众数
方差
去年
64.2
68
73
15.6
今年
56.2
a
68
629.7
（1）请补全频数分布直方图，并根据以上信息填空：a= ；
（2）中华鲟到达海洋的时间越快，说明它从长江到海洋的适应情况就越好，请根据上述信息，选择一个统计量说明去年和今年中哪一年中华鲟从长江到海洋的适应情况更好；
（3）去年和今年该放流点共放流1300尾中华鲟，其中“声呐鲟”共有50尾，请估计今年和去年在放流72小时内共有多少尾中华鲟通过监测站A．
20．（8分）为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下表：
（1）甲、乙的平均成绩分别是多少？
（2）甲、乙这5次比赛的成绩的方差分别是多少？
（3）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应该胜出？说明你的理由；
（4）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？
21．（8分）某学校举行冬季“趣味体育运动会”，在一个箱内装入只有标号不同的三颗实心球，标号分别为1，2，3.每次随机取出一颗实心球，记下标号作为得分，再将实心球放回箱内。小明从箱内取球两次，若两次得分的总分不小于5分，请用画树状图或列表的方法，求发生“两次取球得分的总分不小于5分”情况的概率.
22．（10分） “辑里湖丝”是世界闻名最好的蚕丝，是浙江省的传统丝织品，属于南浔特产，南浔某公司用辑丝为原料生产的新产品丝巾，其生产成本为20元/条．此产品在网上的月销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系为y＝﹣0.2x+10（由于受产能限制，月销售量无法超过4万件）．
（1）若该产品某月售价为30元/件时，则该月的利润为多少万元？
（2）若该产品第一个月的利润为25万元，那么该产品第一个月的售价是多少？
（3）第二个月，该公司将第一个月的利润25万元（25万元只计入第二个月成本）投入研发，使产品的生产成本降为18元/件．为保持市场占有率，公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价．请计算该公司第二个月通过销售产品所获的利润w为多少万元？
23．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．
24．（10分）某小型工厂9月份生产的、两种产品数量分别为200件和100件，、两种产品出厂单价之比为2:1，由于订单的增加，工厂提高了、两种产品的生产数量和出厂单价，10月份产品生产数量的增长率和产品出厂单价的增长率相等，产品生产数量的增长率是产品生产数量的增长率的一半，产品出厂单价的增长率是产品出厂单价的增长率的2倍，设产品生产数量的增长率为（），若10月份该工厂的总收入增加了，求的值.
25．（12分）图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的，其转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．当AC长度为9m，张角∠CAE为112°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.1．）
26．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用26m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设BC＝x m．
（1）若矩形花园ABCD的面积为165m2，求 x的值；
（2）若在P处有一棵树，树中心P与墙CD，AD的距离分别是13m和6m，要将这棵树围在花园内（考虑到树以后的生长，篱笆围矩形ABCD时，需将以P为圆心，1为半径的圆形区域围在内），求矩形花园ABCD面积S的最大值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】∵，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.
∴阴影部分面积=.
故答案为A.
本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.
2、B
【分析】根据题意可知摸出白球的概率=白球个数÷白球与黄球的和，代入求x即可.
【详解】解：设黄球个数为x,
∵在一个不透明的盒子中装有个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,
∴=8÷(8+x)
∴x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
故选：B
本题考查的是利用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键.
3、B
【详解】∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
4、D
【分析】设，则a=2k，b=3k，代入式子化简即可．
【详解】解：设，
∴a=2k，b=3k，
∴==0，
故选D.
本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
5、B
【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴．
【详解】∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=-1，x2=2，
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)，
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x．
故选：B．
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解答本题的关键．
6、D
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到，据此计算得到答案．
【详解】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴FH=HC，
∴FC=2FH，
∵DH∥BF，，
，
∴AF：FC=1：6，
∴AF：AC=1：7，
故选：D．
本题考查平行线分线段成比例定理，作出平行辅助线，灵活运用定理、找准比例关系是解题的关键．
7、D
【解析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．
【详解】解：连接BC，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
又∵CO=BO，
∴△COB是等边三角形，
∵E为OB的中点，
∴CD⊥AB，
∵CD=6，
∴EC=3，
∴sin60°×CO=3，
解得：CO=6，
故阴影部分的面积为：=12π．
故选：D．
此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．
8、B
【分析】由已知条件可得出，再根据一元二次方程的根与系数的关系，，分别得出四个方程的两个根的和与积，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
A. ，方程的两个根的和为-3，积为-2，选项错误；
B. ，方程的两个根的和为3，积为2，选项正确；
C. ，方程的两个根的和为-3，积为2，选项错误；
D. ，方程的两个根的和为3，积为-2，选项错误；
故选：B．
本题考查的知识点是根与系数的关键，熟记求根公式是解此题的关键．
9、D
【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．
∵对称轴x，∴＜1．∴ab＞1．故①正确．
②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．
③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．
④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．
∵b＜1，∴c﹣b＞1．
∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．
⑤如图，对称轴，则．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．
10、C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】∵，且∠A是锐角，
∴∠A=45°.
故选：C.
本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键.
11、D
【分析】根据两角对应相等证明△CAD∽△CBA，由对应边成比例得出线段之间的倍数关系即可求解.
【详解】解：∵∠CAD=∠B，∠C=∠C,
∴△CAD∽△CBA,
∴,
∴CA=2CD,CB=2CA,
∴CB=4CD,
∴BD=3CD,
∴ .
故选：D.
本题考查相似三角形的判定与性质，得出线段之间的关系是解答此题的关键.
12、D
【解析】x2−3x=0，
x(x−3)=0，
∴x1=0，x2=3.
故选：D.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【详解】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH= OA= ×（3-1）=1．
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG=
故答案是：.
本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
14、
【分析】由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求得BC＝1EF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝1EF，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴S△AEF：S△ABC＝（）1＝，
故答案为：．
本题考查了三角形中位线的性质，三角形面积比等于相似比的平方，三角形中位线是对应边的一半，所以得到相似比是1：1．
15、x(x+1)+x+1=1．
【分析】设每轮传染中平均一人传染x人，那么经过第一轮传染后有x人被感染，那么经过两轮传染后有x（x+1）+x+1人感染，列出方程即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一人传染x人，则第一轮后有x+1人感染，第二轮后有x(x+1)+x+1人感染，
由题意得：x(x+1)+x+1=1．
故答案为：x(x+1)+x+1=1．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键.
16、130°.
【分析】
在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理先求出∠ADB的度数，再利用圆内接四边形对角互补进行求解即可.
【详解】
在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=100°，
∴∠ADB=∠AOB =50°，
∴∠ACB=180°﹣∠ADB=130°．
故答案为130°．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键．
17、30°或150°
【分析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
【详解】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角360°÷6=60°，
圆内接正六边形的一条边所对的弧可能是劣弧，也可能是优弧，
根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，
所以圆内接正六边形的一条边所对的圆周角的度数是30°或150°，
故答案为30°或150°．
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，涉及的知识点有正多边形的中心角、圆周角与圆心角的关系，属于基础题，要注意分两种情况讨论．
18、x1＝3，x2＝1
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）2；（2）见详解；（3）1560
【分析】（1）先求出去年落在48＜t≤72内的数据个数，从而根据“今年落在24＜t≤48内的“声呐鲟”比去年多1尾”得到今年落在48＜t≤72内的数据个数，继而根据各时间段的数据和为20求出24＜t≤48内的数据个数，从而补全图形，最后根据中位数的概念求解可得；
（2）从平均数上看去年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为2.2小时，而今年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为56.2小时，缩短了8小时，答案不唯一，合理即可；
（3）用总数量乘以放流72小时内通过监测站A的对应的百分比求出去年、今年的数量，求和即可得．
【详解】解：（1）去年落在48＜t≤72内的数据有20×（个），
∴今年落在48＜t≤72内的数据为5，
则今年24＜t≤48内的“声呐鲟”数量为20-（5+5+7）=3，
补全图形如下：
∵今年“声呐鲟”到达下游监测点时间的第10、11个数据为60、68，
∴a=，
故答案为：2．
（2）选择平均数，
由表可知，去年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为2.2小时，而今年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为56.2小时，缩短了8小时，
所以今年“声呐鲟”从长江到海洋的适应情况更好（答案不唯一，合理即可）．
（3）去年和今年在放流72小时内中华鲟通过监测站A的数量为
1300×（1-45%）+1300×=15+845=1560（尾）．
此题考查了频数分布直方图、条形统计图，平均数，中位数，众数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
20、（1）=8（环），=8（环）；（2），；（3）甲胜出，理由见解析；（4）见解析．
【分析】（1）根据平均数的计算公式先求出平均数，
（2）根据方差公式进行计算即可；
（3）根据方差的意义，方差越小越稳定，即可得出答案．
（4）叙述符合题意，有道理即可
【详解】（1）（环），
（环）
（2）
（3）甲胜出．因为＜，甲的成绩稳定，所以甲胜出．
（4）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：如果平均成绩相同，则命中满环（10环）次数多者胜出．（答案不唯一）
本题考查一组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而方差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
21、
【分析】根据题意先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次得分的总分不小于5分的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：树状图如下：
共有9种等可能的结果数，两次得分的总分不小于5分的结果数为3种，
所以P=．
本题考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22、（1）该月的利润为40万元；（1）该产品第一个月的售价是45元；（3）该公司第二个月通过销售产品所获的利润w至少为13万元，最多获利润16.1万元．
【分析】（1）根据题意销售量与售价的关系式代入值即可求解;
（1）根据月利润等于销售量乘以单件利润即可求解;
（3）根据根据（1）中的关系利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）根据题意,得:
当x＝30时,y＝﹣0.1×30+10＝4,4×10＝40,
答:该月的利润为40万元．
（1）15＝（x﹣10）（﹣0.1x+10）,
解得x1＝45,x1＝15（月销售量无法超过4万件,舍去）．
答:该产品第一个月的售价是45元．
（3）∵由于受产能限制,月销售量无法超过4万件,
且公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价．
∴30≤x≤45,
w＝y（x﹣18）﹣15＝（﹣0.1x+10）（x﹣18）﹣15＝﹣0.1x1+13.6x﹣105＝﹣0.1（x﹣34）1+16.1．
当30≤x≤45时,13≤w≤16.1．
答:该公司第二个月通过销售产品所获的利润w至少为13万元,最多获利润16.1万元.
本题主要考查了二次函数的应用,解决本题的关键是掌握销售问题各个量之间的关系并熟练运用二次函数.
23、（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．
【解析】试题分析：（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，再求得点M的坐标．
试题解析：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2
∴M（-1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.轴对称-最短路线问题．
24、5%
【分析】根据题意，列出方程即可求出x的值．
【详解】根据题意，得
整理，得
解这个方程，得，（不合题意，舍去）
所以的值是5%．
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
25、CF≈6.8m．
【分析】如图，作AG⊥CF于点G，易得四边形AEFG为矩形，则FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，再计算出∠GAC＝28°，则在Rt△ACG中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GF即可．
【详解】如图，作AG⊥CF于点G，
∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，
∴∠GAC＝∠EAC﹣∠EAG＝112°﹣90°＝22°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG＝，
∴CG＝AC•sin∠CAG＝9sin22°≈9×0.37＝3.33m，
∴CF＝CG+GF＝3.33+3.5≈6.8m．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
26、（1）x的值为11m或15m；（2）花园面积S的最大值为168平方米．
【分析】（1）直接利用矩形面积公式结合一元二次方程的解法即可求得答案；
（2）首先得到S与x的关系式，进而利用二次函数的增减性即可求得答案.
【详解】（1）∵AB＝xm，则BC＝（26﹣x）m，
∴x（26﹣x）＝165，
解得：x1＝11，x2＝15，
答：x的值为11m或15m；
（2）由题意可得出：
S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
由题意得：14≤x≤19，
∵-1＜0，14≤x≤19，
∴S随着x的增大而减小，
∴x＝14时，S取到最大值为：S＝﹣（14﹣13）2+169＝168，
答：花园面积S的最大值为168平方米．
本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确结合二次函数的增减性求得最值是解题的关键.
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