资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图相交于点，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 y＝（x﹣1）2﹣2 的顶点是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
4．下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．日行千里 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月
5．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y＝上，如果x1＜x2，而且x1•x2＞0，则以下不等式一定成立的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．y1•y2＜0 D．＜0
6．已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（ ）
A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内
7．如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，中，，，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，，，，分别是正方形各边的中点，顺次连接，，，.向正方形区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是_______.
12．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离出发点的水平距离为__m．
13．如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为_____米．（结果保留根号）
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____．
15．如图，已知中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、分别为、的中点，若点刚好落在边上，则______.
16．如图，四边形内接于圆，点关于对角线的对称点落在边上，连接.若，则的度数为__________．
17．已知是方程的一个根，则代数式的值为__________．
18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_____
三、解答题(共66分)
19．（10分）平面直角坐标系中，函数（x>0），y=x-1，y=x-4的图象如图所示，p（a , b）是直线上一动点，且在第一象限.过P作PM∥x轴交直线于M，过P作PN∥y轴交曲线于N.
（1）当PM=PN时，求P点坐标
（2）当PM > PN时，直接写出a的取值范围.
20．（6分）如图，反比例函数的图象过点A（2，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过A点作AC⊥x轴，垂足为C．若P是反比例函数图象上的一点，求当△PAC的面积等于6时，点P的坐标．
21．（6分）下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，△ABC．
求作：AB边上的高线．
作法：如图2，
①分别以A，C为圆心，大于长
为半径作弧，两弧分别交于点D，E；
② 作直线DE，交AC于点F；
③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M；
④ 连接CM．
则CM 为所求AB边上的高线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接DA，DC，EA，EC，
∵由作图可知DA=DC =EA=EC，
∴DE是线段AC的垂直平分线．
∴FA=FC ．
∴AC是⊙F的直径．
∴∠AMC=______°（___________________________________）（填依据），
∴CM⊥AB．
即CM就是AB边上的高线．
22．（8分）为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：. 设这种产品每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．（8分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图1摆放，点D为AB边的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，且BC=2.
（1）求证：△ADC∽△APD；
（2）求△APD的面积；
（3）如图2，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M是BC的中点．
（1）在AM上求作一点E，使△ADE∽△MAB（尺规作图，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求AE的长．
25．（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 为 CO 的延长线上一点，且 AP ＝ AC．
（1）求证：AP 是⊙O 的切线；
（2）若 PB 为⊙O 的切线，求证：△ABC 是等边三角形．
26．（10分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
乙
（1）写出表格中的值：
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2、D
【分析】根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，，故A、B正确；
∴△CDG∽△FEG，
∴，故C正确；
不能得到，故D错误；
故选：D.
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.
3、A
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可解决．
【详解】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
本题考查了顶点式，解决本题的关键是正确理解二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
4、D
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】解：A、日行千里是随机事件，故本选项错误；
B、守株待兔是随机事件，故本选项错误；
C、水涨船高是必然事件，故本选项错误；
D、水中捞月是不可能事件，故本选项正确．
故选：D．
此题考查是不可能事件的判断,掌握不可能事件的定义是解决此题的关键．
5、B
【分析】根据题意可得x1＜x2，且x1、x2同号，根据反比例函数的图象与性质可得y1＞y2，即可求解．
【详解】反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，
而x1＜x2，且x1、x2同号，
所以y1＞y2，
即y1﹣y2＞0，
故选：B．
本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
6、B
【分析】由题意根据圆的半径和线段的长进行大小比较，即可得出选项.
【详解】解：因为圆的半径为5，线段的长为4，5>4，
所以点在圆内.
故选B.
本题考查同一平面内点与圆的位置关系，根据相关判断方法进行大小比较即可.
7、A
【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．
故选A．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图
8、D
【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），逐一判断即可得答案.
【详解】A.=，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，
B.=，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，
C.=，故该选项不是最简二次根式，不符合题意，
D.是最简二次根式，符合题意，
故选：D.
本题考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式；能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．
9、D
【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果．
【详解】解：∵在同一时刻，
∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高，
即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米，
故选：D．
本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是．
10、C
【解析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案．
【详解】
过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90，
∵∠A=30,AC=，
∴CD=AC=,由勾股定理得：AD=CD=3，
∵tanB==，
∴BD=2，
∴AB=2+3=5，
故选C.
本题考查解直角三角形.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据三角形中位线定理判定阴影部分是正方形，然后按照概率的计算公式进行求解.
【详解】解：连接AC，BD
∵，，，分别是正方形各边的中点
∴，∠HEF=90°
∴阴影部分是正方形
设正方形边长为a,则
∴
∴向正方形区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是
故答案为：
本题考查三角形中位线定理及正方形的性质和判定以及概率的计算，掌握相关性质定理正确推理论证是本题的解题关键.
12、．
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【详解】如图，
∵AB＝10米，tanA＝＝．
∴设BC＝x，AC＝2x，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即100＝x2+4x2，解得x＝2，
∴AC＝4米．
故答案为4．
本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
13、
【分析】由解直角三角形，得，即可求出AB的值.
【详解】解：根据题意，△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴，
∴；
∴大楼AB的高度为米.
故答案为：.
此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
14、1
【解析】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1，
∴△ABC的内切圆的半径为 1，
故答案为1．
15、
【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，
∵E为MN的中点，
∴CE=,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=,
∴由勾股定理得，DE=，
∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴DN=EN= ,
∴由勾股定理得，CN=,
∴sin∠DEC= .
故答案为：.
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
16、
【分析】直接利用圆内接四边形对角互补，再结合三角形外角的性质即可得出答案．
【详解】解：∵四边形内接于圆，，
∴∠ADC=180°-115°=65°，
又∵点关于对角线的对称点落在边上，
∴∠AEC=∠ABC=115°，
∴∠DAE=∠AEC-∠ADC=115°-65°=50°.
故答案为：50°.
此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC和∠ADC的度数是解题关键．
17、
【分析】根据方程的根的定义，得，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】∵是方程的一个根，
∴，即：
∴=1+1=1．
故答案是：1．
本题主要考查方程的根的定义以及完全平方公式，，掌握完全平方公式，是解题的关键．
18、2．
【解析】设另一个根为t，根据根与系数的关系得到3+t=4，然后解一次方程即可．
【详解】设另一个根为t，
根据题意得3+t=4，
解得t=2，
则方程的另一个根为2．
故答案为2．
本题考查了根与系数的关系：若x2，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x2+x2=-，x2x2=．
三、解答题(共66分)
19、（1）（2，1）或（，）；（2）
【分析】（1）根据直线与直线的特征，可以判断为平行四边形，且，再根据坐标特征得到等式=3 ，即可求解；
（2）根据第（1）小题的结果结合图象即可得到答案.
【详解】（1）∵直线与轴交点，直线与轴交点 ，
∴，
∵直线 与直线平行，
且∥轴，
∴为平行四边形，
∴，
∵∥轴， 在的图象上，
∴ ，
∵在直线上 ，
∴ ，
∵ ，
∴=3 ，
解得：或，
（2）如图，
∵或， ，
当点在直线和区间运动时，,
∴
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
20、 (1) y＝；(2)（1，1），（﹣2，﹣3）.
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m的方程，通过解方程来求m的值；
（2）设点P的坐标是（a，），然后根据三角形的面积公式来求点P的坐标．
【详解】解：（1）设反比例函数为y＝，
∵反比例函数的图象过点A（2，3）．则＝3，解得m＝1．
故该反比例函数的解析式为y＝；
（2）设点P的坐标是（a，）．
∵A（2，3），
∴AC＝3，OC＝2．
∵△PAC的面积等于1，
∴×AC×|a﹣2|＝1，
解得：|a﹣2|＝4，
∴a1＝1，a2＝﹣2，
∴点P的坐标是（1，1），（﹣2，﹣3）．
本题考查了反比例函数的面积问题，涉及的知识点有：待定系数法求函数解析式，坐标和图形性质，以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键
21、（1）补图见解析；（2）90，直径所对的圆周角是直角.
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据线段的垂直平分线的性质以及圆周角定理证明即可．
【详解】解：（1）如图线段CM即为所求．
证明：连接DA，DC，EA，EC，
∵由作图可知DA=DC =EA=EC，
∴DE是线段AC的垂直平分线．
∴FA=FC ．
∴AC是⊙F的直径．
∴∠AMC==90°（直径所对的圆周角是直角 ），
∴CM⊥AB．
即CM就是AB边上的高线．
故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22、（1）；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：.
（2），
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
23、 (1)见解析;(2) ;(3) 不会随着α的变化而变化
【解析】（1）先判断出△BCD是等边三角形，进而求出∠ADP=∠ACD，即可得出结论；
（2）求出PH，最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）只要证明△DPM和△DCN相似，再根据相似三角形对应边成比例即可证明．
【详解】（1）证明：∵△ABC是直角三角形，点D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∵在△BCD中，BC=BD且∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴∠ACD=90°－∠BCD=30°，
∠ADE=180°－∠BDC－∠EDF=30°，
在△ADC与△APD中，∠A=∠A，∠ACD=∠ADP，
∴△ADC∽△APD.
（2）由（1）已得△BCD是等边三角形，∴BD=BC=AD=2，
过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠ADP=30°=90°－∠B=∠A，
∴AH=DH=1， tanA=，
∴PH=.
∴△APD的面积=AD·PH=
（3）的值不会随着α的变化而变化.
∵∠MPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠MPD=∠BCD=60°，
在△MPD与△NCD中，∠MPD=∠NCD=60°，∠PDM=∠CDN=α，
∴△MPD∽△NCD，∴，
由（1）知AD=CD，∴，
由（2）可知PD=2AH，∴PD=，
∴．
∴的值不会随着α的变化而变化.
属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积等，综合性比较强，对学生综合能力要求较高.
24、（1）过D 作DE⊥AM于E，△ADE即为所求；见解析；（2）AE＝．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）先根据矩形的性质，得到AD∥BC，则∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的两三角形相似，即可证明出△DAE∽△AMB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE的长，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）过D 作DE⊥AM于E，△ADE即为所求；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴△DAE∽△AMB，
∴DE：AD＝AB：AM，
∵M是边BC的中点，BC＝6，
∴BM＝3，
又∵AB＝4，∠B＝90°，
∴AM＝5，
∴DE：6＝4：5，
∴DE＝，
∴AE＝＝＝．
考核知识点：相似三角形判定和性质.根据相似三角形判定和性质求出线段比，利用勾股定理进一步求解是关键.
25、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）连接OA，由等边三角形性质和圆周角定理可得∠AOC的度数，从而得到∠OCA，再由AP=AC得到∠PAC，从而算出∠PAO的度数；
（2由切线长定理得PA，PB，从而说明PO垂直平分AB，得到CB=CA，再根据∠ABC=60°，从而判定等边三角形.
【详解】解：（1）证明：连接．
又是半径，
是的切线．
（2）证明：连接
是的切线，
是的垂直平分线．
是等边三角形．
本题考查了外接圆的性质，垂直平分线的判定和性质，切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，从而进行证明.
26、（1），，，；（2）选择乙，理由见解析
【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；
（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．
【详解】解：（1）甲的平均成绩（环），
∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击成绩的中位数（环），
又∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击成绩的众数：c=8（环）
其方差为：
=×（16+9+1+0+3+4+9）
=
=；
（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，
综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．
本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．
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