资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上.若，则CD的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．2
3．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是
A．180个，160个 B．170个，160个
C．170个，180个 D．160个，200个
5．关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
6．⊙O是半径为1的圆，点O到直线L的距离为3，过直线L上的任一点P作⊙O的切线，切点为Q；若以PQ为边作正方形PQRS，则正方形PQRS的面积最小为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且，过点O作交BC于点E，若的周长为10，则▱ABCD的周长为
A．14 B．16 C．20 D．18
8．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，点M在CB的延长线上，△DMN为等边三角形，且EN经过F点.下列结论：①EN=MF ②MB=FN ③MP·DP=NP·FP ④MB·BP=PF·FC，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为
A．，且 B．，且
C． D．
10．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是_____．
12．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x＝________．
13．已知抛物线，那么点P（-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是______．
14．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．
15．如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为_________．
16．分解因式：4x3﹣9x＝_____．
17．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于_____．
18．路灯（P点）距地面高9米，身高1．5的小艺站在距路灯的底部（O点）20米的A点，则此时小艺在路灯下的影子长是__________米．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示．
销售量p（件）
P=50—x
销售单价q（元/件）
当1≤x≤20时，
当21≤x≤40时，
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式．
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
20．（6分）如图，在中，，以为直径作交于点.过点作，垂足为，且交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
21．（6分）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由.
(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长.
22．（8分）如图，在与中，，且.
求证：.
23．（8分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线与BC边相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标.
24．（8分）总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻的指示，实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量(袋)与每袋的售价(元)之间关系如下表：
每袋的售价(元)
…
20
30
…
日销售量(袋)
…
20
10
…
如果日销售量y (袋)是每袋的售价x(元)的一次函数，请回答下列问题：
（1）求日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；
（2）求日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？
(提示：每袋的利润=每袋的售价每袋的成本)
25．（10分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，搅匀，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.2，求n的值；
（2）若，小明两次摸球（摸出一球后，不放回，再摸出一球），请用树状图画出小明摸球的所有结果，并求出两次摸出不同颜色球的概率．
26．（10分）问题发现：
（1）如图1，内接于半径为4的，若，则_______；
问题探究：
（2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值；
解决问题
（3）如图3，一块空地由三条直路（线段、AB、）和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】由直角三角形的性质可得AB=2，BC=2AB=4，由旋转的性质可得AD=AB，可证△ADB是等边三角形，可得BD=AB=2，即可求解．
【详解】解：∵AC=，∠B=60°，∠BAC=90°
∴AB=2，BC=2AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴AD=AB，且∠B=60°
∴△ADB是等边三角形
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2
故选：D．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
2、D
【分析】连接OA、OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AOB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AB的长.
【详解】连接OA、OB，如图，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝2．
故选：D．
此题考查的是圆周角定理和等腰直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键.
3、B
【解析】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.
详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，
∴b＞0，
∵交点横坐标为1，
∴a+b+c=b，
∴a+c=0，
∴ac＜0，
∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．
故选B.
点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0.
4、B
【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；
160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；
故选B．
此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5、C
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】由根与系数的关系可知：x1x2＝−3，
∴x2＝−1，
故选：C．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6、B
【分析】连接OQ、OP，作于H，如图，则OH=3，根据切线的性质得，利用勾股定理得到，根据垂线段最短，当OP=OH=3时，OP最小，于是PQ的最小值为，即可得到正方形PQRS的面积最小值1．
【详解】解： 连接OQ、OP，作于H，如图，则OH=3，
∵PQ 为的切线，
∴
在Rt中，，
当OP最小时，PQ最小，正方形PQRS的面积最小，
当OP=OH=3时，OP最小，
所以PQ的最小值为，
所以正方形PQRS的面积最小值为1
故选B
7、C
【解析】由平行四边形的性质得出，，，再根据线段垂直平分线的性质得出，由的周长得出，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为10，
，
平行四边形ABCD的周长；
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
8、C
【分析】①连接DE、DF，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明；
②根据①的结论结合点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，即可得证；
③根据题目中的条件易证得，即可得证；
④根据题目中的条件易证得，再则等量代换，即可得证．
【详解】连接，
∵和为等边三角形，
∴，，
∵点分别为边的中点，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故①正确；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴∥，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③错误；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴∥，，
∴，
∴，
由②得，
∴，
∴，
故④正确；
综上：①②④共3个正确.
故选：C
本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．
9、A
【解析】∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴k-1≠0且△=62-4×（k-1）×3=48-12k≥0，解得k≤4，
∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1，
故选A．
10、C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角逐一判断即可．
【详解】解：A、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A错误；
B、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B错误；
C、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C正确；
D、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D错误，
故答案为： C．
本题考查了直径所对的圆周角是直角的实际应用，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】首先解不等式得x＜1，然后找出这六个数中符合条件的个数，再利用概率公式求解.
【详解】解：∵x+1＜2
∴x＜1
∴在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，
∴满足不等式x+1＜2的概率是，
故答案为：．
本题考查求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12、-3
【分析】观察A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点坐标特征，纵坐标相等，可知A,B两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为经过线段AB中点且平行于y轴的直线.
【详解】解：∵ A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2）两点纵坐标相等，
∴A,B两点关于对称轴对称，
根据中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(-3,-2)，
∴抛物线的对称轴是直线x= -3.
本题考查二次函数图象的对称性及对称轴的求法，常见确定对称轴的方法有，已知解析式则利用公式法确定对称轴，已知对称点利用对称性确定对称轴，根据条件确定合适的方法求对称轴是解答此题的关键.
13、（1，4）.
【解析】试题解析：抛物线的对称轴为：
点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是
故答案为
14、1
【解析】解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．
15、1
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，从而计算出EF的值,即可得到DF的值．
【详解】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2，
∴，即，
∴=，
∴EF=2，
∵DE=2
∴DF=DE+EF=2+2=1
故答案为：1．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
16、x（2x+3）（2x﹣3）
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】原式＝x（4x2﹣9）＝x（2x+3）（2x﹣3），
故答案为：x（2x+3）（2x﹣3）
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17、1
【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：设△DEF的周长别为x，
△ABC的三边长分别为4、5、6，
∴△ABC的周长＝4＋5＋6＝15，
∵△ABC∽△DEF，
∴，
解得，x＝1，
故答案为1．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
18、2
【分析】此题利用三角形相似证明即可，即图中路灯与影长组成的三角形和小艺与自身影长组成的三角形相似，再根据对应边成比计算即可．
【详解】如图：
∵PO⊥OB，AC⊥AB，
∴∠O=∠CAB，
∴△POB△CAB，
∴ ，
由题意知：PO=9，CA=1.5，OA=20，
∴，
解得：AB=2，
即小艺在路灯下的影子长是2米，
故答案为：2．
此题考查根据相似三角形测影长的相关知识，利用相似三角形的相关性质即可．
三、解答题(共66分)
19、（1）第10天或第31天该商品的销售单价为31元/件（2）（3）这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是721元
【分析】（1）分别将q=31代入销售单价关于x的函数关系式，求出x即可．
（2）应用利润=销售收入－销售成本列式即可．
（3）应用二次函数和反比例函数的性质，分别求出最大值比较即得所求．
【详解】解：（1）当1≤x≤20时，令，解得；；
当21≤x≤40时，令，解得；．
∴第10天或第31天该商品的销售单价为31元/件．
（2）当1≤x≤20时，；
当21≤x≤40时，．
∴y关于x的函数关系式为．
（3）当1≤x≤20时，，
∵，∴当x=11时，y有最大值y1，且y1=612.1．
当21≤x≤40时，∵26210＞0，∴随着x的增大而减小，
∴当x=21时，有最大值y2，且．
∵y1＜y2，
∴这40天中该网店第21天获得的利润最大？最大利润是721元．
20、（1）见解析；（2）BD长为1．
【分析】（1）连接OD，AD，根据等腰三角形三线合一得BD=CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得∠BAD=∠BAC=30°，由30°的直角三角形的性质即可求得BD．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD是△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴BD＝AB＝×10＝1,
即BD 长为1．
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的性质，圆的切线的判定，30°的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
21、（1）详见解析；（2）3.
【解析】（1）根据正方形的性质，得△ADG≌△ABE，所以∠AGD＝∠AEB. 延长EB交DG于点H.由图形及题意，得到∠DHE ＝90°，所以，.（2）根据正方形的性质等，先证明△ADG≌△ABE(SAS) ，得到DG＝BE. 过点A作AM⊥DG交DG于点M.由题意，得AM＝BD＝1，再由勾股定理，得到GM＝2，所以DG＝DM＋GM＝1＋2＝3，最后得到BE＝DG＝3.
【详解】(1)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形
∴AD＝AB,∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE
∴△ADG≌△ABE
∴∠AGD＝∠AEB
如图1，延长EB交DG于点H
△ADG中 ∠AGD＋∠ADG＝90°
∴∠AEB＋∠ADG＝90°
△DEH中, ∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°
∴∠DHE ＝90°
∴
(2)四边形ABCD与四边形AEFG是正方形
∴AD＝AB, ∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE
∴∠DAB＋∠BAG＝∠GAE＋∠BAG
∴∠DAG＝∠BAE
AD＝AB, ∠DAG＝∠BAE,AG＝AE
∴△ADG≌△ABE(SAS)
∴DG＝BE
如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M,
∠AMD＝∠AMG＝90°
BD是正方形ABCD的对角线
∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°, BD＝2
∴AM＝BD＝1
在Rt△AMG中，
∵
∴GM＝2
∵DG＝DM＋GM＝1＋2＝3
∴BE＝DG＝3
本题考查了三角形全等判定定理及勾股定理在图形证明中的综合运用，熟练掌握三角形全等判定定理及勾股定理在图形证明中的综合运用.
22、见解析
【分析】先证得，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
【详解】∵，
∴，
即，
又，
∴．
本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
23、（3）点D的坐标为（3，3）；（3） 抛物线的解析式为；（3） 符合条件的点P有两个，P3（3，0）、P3（3，-4）.
【分析】（3）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案．
（3）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案．
（3）由题目分析可以知道∠B=90°，以P、A、M为顶点的三角形与△ABD相似，所以应有∠APM、∠AMP或者∠MAP等于90°，很明显∠AMP不可能等于90°，所以有两种情况．
【详解】（3） ∵四边形OABC为矩形，C（0，3）
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3．
∵直线与BC边相交于点D，
∴． ∴点D的坐标为（3，3）．
（3） ∵若抛物线经过A（6，0）、D（3，3）两点，
∴
解得：，∴抛物线的解析式为
（3） ∵抛物线的对称轴为x=3，
设对称轴x=3与x轴交于点P3，∴BA∥MP3，
∴∠BAD=∠AMP3．
①∵∠AP3M=∠ABD=90°，∴△ABD∽△AMP3．
∴P3（3，0）．
②当∠MAP3=∠ABD=90°时，△ABD∽△MAP3．
∴∠AP3M=∠ADB
∵AP3=AB，∠AP3P3=∠ABD=90°
∴△AP3P3≌△ABD
∴P3P3=BD=4
∵点P3在第四象限，∴P3（3，-4）．
∴符合条件的点P有两个，P3（3，0）、P3（3，-4）．
24、（1）；（2）P=；（3）当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【分析】（1）用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据日销售利润=每袋的利润×销售量即可得出日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）根据二次函数的性质求最大值即可.
【详解】解：（1）设一次函数的表达式为：，
将(，)，(，)代入中得
解得
∴售量(袋)与售价(元)之间的函数表达式为．
(2) ()()
．
(3) () (40)
∴当时，
∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.
25、（1）；（2）
【分析】（1）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.2，然后利用概率公式列方程即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式求概率即可.
【详解】解：（1）∵经过大量实验，摸到绿球的频率稳定于0.2，
∴摸到绿球的概率为0.2
∴
解得：，经检验是原方程的解.
（2）树状图如下图所示：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次摸出不同颜色球的结果共有10种，
故两次摸出不同颜色球的概率为：
此题考查的是利用频率估计概率、画树状图及概率公式，掌握画树状图分析结果和利用概率公式求概率是解决此题的关键.
26、（1）；（2）四边形ABCD的面积最大值是；（3）存在，其最大值为.
【分析】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，利用求出∠AOH=∠AOB=，根据OA=4，利用余弦公式求出AH，即可得到AB的长；
（2）连接AC，由得出AC=，再根据四边形的面积= ，当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，得到BD是直径，再将AC、BD的值代入求出四边形面积的最大值即可；
（3）先证明△ADM≌△BMC,得到△CDM是等边三角形，求得等边三角形的边长CD，再根据完全平方公式的关系得出PD=PC时PD+PC最大，根据CD、∠DPC求出PD，即可得到四边形周长的最大值.
【详解】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，
∵，
∴∠AOB=120.
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=∠AOB=，AH=BH=AB，
∵OA=4，
∴AH=，
∴AB=2AH=.
故答案为：.
（2）∵∠ABC=120,四边形ABCD内接于，
∴∠ADC=60，
∵的半径为6，
∴由（1）得AC=,
如图，连接AC，作DH⊥AC,BM⊥AC,
∴四边形的面积= ,
当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，连接BD，则BD是的直径，
∴BD=2OA=12，BD⊥AC，
∴四边形的面积=.
∴四边形ABCD的面积最大值是
（3）存在；
∵千米，千米，，
∴△ADM≌△BMC,
∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,
∵∠BCM+∠BMC=180-∠B=120，
∴∠AMD+∠BMC=120，
∴∠DMC=60，
∴△CDM是等边三角形，
∴C、D、M三点共圆，
∵点P在弧CD上,
∴C、D、M、P四点共圆，
∴∠DPC=180-∠DMC=120，
∵弧的半径为1千米，∠DMC=60，
∴CD=,
∵,
∴,
∴,
∴当PD=PC时，PD+PC最大，此时点P在弧CD的中点，交DC于H ,
在Rt△DPH中，∠DHP=90,∠DPH=60，DH=DC=,
∴，
∴四边形的周长最大值=DM+CM+DP+CP=.
此题是一道综合题，考查圆的性质，垂径定理，三角函数，三角形全等的判定及性质，动点最大值等知识点.（1）中问题发现的结论应用很主要，理解题意在（2）、（3）中应用解题，（3）的PD+PC最大值的确定是难点，注意与所学知识的结合才能更好的解题.
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