资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应中线的比为（ ）
A． B． C． D．
2．如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位．
3．在同一平面上，外有一定点到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是（ ）
A．5 B．3 C．6 D．4
4．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB=1，CD=2，则△ABO与△DCO的面积之比为
A． B． C． D．
5．对于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大减小
D．抛物线开口向上
6．下列计算正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
7．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.5万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．6（1+x）＝8.5 B．6（1+2x）＝8.5
C．6（1+x）2＝8.5 D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.5
9．如图，在△ABC中，点G为△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与四边形DBCE的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转45°后得到正方形.依此方式，绕点连续旋转2020次，得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d ( )
A． B． C． D．
12．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．点（2，5）在反比例函数的图象上，那么k＝_____．
14．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．
15．四边形ABCD与四边形位似，点O为位似中心．若，则________．
16．如图，在中，，，延长至点，使，则________.
17．如图，四边形中，，连接，，点为中点，连接，，，则__________．
18．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为 ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，∠MON=60°，OF平分∠MON，点A在射线OM上， P，Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM，OF，ON于点D，B，C，连接AB，PB．
（1）依题意补全图形；
（2）判断线段 AB，PB之间的数量关系，并证明；
（3）连接AP，设，当P和Q两点都在射线ON上移动时，是否存在最小值？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由．
20．（8分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
21．（8分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为40米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为102平方米，求x；
(2)若使这个苗圃园的面积最大，求出x和面积最大值.
22．（10分）空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为110m．
（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了110m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m1．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（1）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图1．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
23．（10分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：
（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的80%，则一月份B款运动鞋销售了多少双？
（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）
（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议．
24．（10分）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？
25．（12分）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点.
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）当，，求的长.
26．用配方法解方程：﹣3x2＋2x＋1＝1．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
【详解】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，
∴△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选D．
考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
2、D
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：（0，），
∵，则顶点坐标为：（4，），
∴顶点由（0，）平移到（4，），需要向右平移4个单位，再向下平移5个单位，
故选择：D.
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
3、D
【分析】由点P在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.
【详解】解：∵点P在圆外
∴圆的直径为10-2=8
∴圆的半径为4
故答案为D.
本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.
4、B
【解析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【详解】∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∵，
∴，
故选B．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
5、C
【分析】A.将抛物线一般式化为顶点式即可得出顶点坐标，由此可判断A选项是否正确；
B.根据二次函数的对称轴公式即可得出对称轴，由此可判断B选项是否正确；
C.由函数的开口方向和顶点坐标即可得出当时函数的增减性，由此可判断C选项是否正确；
D.根据二次项系数a可判断开口方向，由此可判断D选项是否正确.
【详解】，
∴该抛物线的顶点坐标是，故选项A正确，
对称轴是直线，故选项B正确，
当时，随的增大而增大，故选项C错误，
，抛物线的开口向上，故选项D正确，
故选：C．
本题考查二次函数的性质.对于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤时，y随x的增大而减小；当x ≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤时，y随x的增大而增大；当x ≥时，y随x的增大而减小．在本题中能将二次函数一般式化为顶点式（或会用顶点坐标公式计算）得出顶点坐标是解决此题的关键.
6、B
【解析】分析：分别根据次根式的加减运算法则以及合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂的除法法则对各选项进行逐一判断即可．
详解：A.与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B.，故本选项正确；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项错误.
故选：B.
点睛：此题考查了二次根式的加减运算以及合并同类项、积的乘方运算和同底数幂的除法法则运算等知识，正确掌握运算法则是解题的关键.
7、B
【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可.
【详解】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；
C不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
D不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
故选B
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握其定义即可快速判断出来.
8、C
【解析】由题意可得9月份的快递总件数为6(1+x)万件，则10月份的快递总件数为6(1+x)(1+x)万件.
【详解】解：由题意可得6(1+x)2=8.5，故选择C.
理解后一个月的快递数量是以前一个月的快递数量为基础的是解题关键.
9、A
【分析】连接AG并延长交BC于H，如图，利用三角形重心的性质得到AG=2GH，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，然后根据比例的性质得到△ADE与四边形DBCE的面积比.
【详解】解：连接AG并延长交BC于H，如图，
∵点G为△ABC的重心，
∴AG＝2GH，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝（）2＝，
∴△ADE与四边形DBCE的面积比＝．
故选：A．
本题考查了三角形的重心与相似三角形的性质与判定. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
10、A
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
【详解】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=，
∴A1（，），
如图，
由旋转得：OA=OA1=OA2=OA3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OA绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOA1=∠A1OA2=∠A2OA3=…=45°，
∴A1（1，1），A2（0，），A3（，），A4（，0）…，
发现是8次一循环，所以2020÷8=252…余4，
∴点A2020的坐标为（，0）；
故选：A.
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
11、D
【解析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】∵点P在圆内，且⊙O的半径为4，
∴0≤d＜4，
故选D．
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
12、C
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣1．
故选C．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】直接把点（2，5）代入反比例函数求出k的值即可．
【详解】∵点（2，5）在反比例函数的图象上，
∴5＝，
解得k＝1．
故答案为：1．
此题考查求反比例函数的解析式，利用待定系数法求函数的解析式.
14、2020.
【分析】把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15、1∶3
【解析】根据四边形ABCD与四边形位似，，可知位似比为1：3，即可得相似比为1：3，即可得答案.
【详解】∵四边形与四边形位似，点为位似中心． ，
∴四边形与四边形的位似比是1∶3，
∴四边形与四边形的相似比是1∶3，
∴AB∶OA∶OA′=1∶3，
故答案为1∶3.
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
16、
【分析】过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，目的得到直角三角形利用三角函数得△AFC三边的关系，再证明 △ACF∽△DCE，利用相似三角形性质得出△DCE各边比值，从而得解.
【详解】解:过点A 作AF⊥BC于点，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E，
∵，
∴∠B=∠ACF，sin∠ACF==，
设AF=4k，则AC=5k，CD=，由勾股定理得：FC=3k，
∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°，
∴△ACF∽△DCE，
∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k： =3k：CE=4k：DE，
解得：CE=，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+=，
∴在Rt△AED中， DE：AE=2k：=.
故答案为：.
本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形.
17、
【分析】分别过点E，C作EF⊥AD于F，CG⊥AD于G，先得出EF为△ACG的中位线，从而有EF=CG．在Rt△DEF中，根据勾股定理求出DF的长，进而可得出AF的长，再在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AE的长，从而可得出结果．
【详解】解：分别过点E，C作EF⊥AD于F，CG⊥AD于G，
∴EF∥CG，∴△AEF∽△ACG，
又E为AC的中点，∴F为AG的中点，
∴EF=CG．
又∠ADC=120°，∴∠CDG=60°，
又CD=6，∴DG=3，∴CG=3，
∴EF=CG=，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得，DF=，
∴AF=FG=FD+DG=+3=，
∴在Rt△AEF中，AE=，
∴AB=AC=2AE=2．
故答案为：2．
本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
18、3:3．
【解析】试题解析：∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
考点：3．相似三角形的判定与性质；3．三角形中位线定理．．
三、解答题（共78分）
19、（1）补全图形见解析； （2）AB=PB．证明见解析；（3）存在，．
【分析】（1）根据题意补全图形如图1，
（2）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出 ，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为 ，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，
（2）AB=PB．
证明：如图，连接BQ．
∵BC的垂直平分OQ，
∴ OB =BQ，
∴∠BOP=∠BQP．
又∵ OF平分∠MON，
∴∠AOB = ∠BOP．
∴∠AOB = ∠BQP．
又∵PQ=OA，
∴ △AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
（3））∵△AOB≌△PQB，
∴∠OAB=∠BPQ，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴，
∵∠AOB=30°，
∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为，
∴k=．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
20、（1）不可能事件；（2）.
【详解】试题分析：（1）根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（2）根据题意画出树状图，再由概率公式求解即可．
试题解析：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
（2）树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为．
考点：列表法与树状图法．
21、 (1)x=17；(2)当x=11米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为198平方米.
【分析】（1）根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设苗圃园的面积为y平方米，用x表达出y,得到二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积的最大值，注意考虑是否符合实际情况．
【详解】(1)解：根据题意得：，
解得： 或，
∵，
∴，
∴
(2)解：设苗圃园的面积为y平方米，则y=x(40﹣2x)=﹣2x2+40x =
∵二次项系数为负，∴苗圃园的面积y有最大值.
∴当x=10时，即平行于墙的一边长是20米， 20＞18，不符题意舍去；
∴当x=11时，y最大=198平方米；
答：当x=11米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为198平方米.
本题主要考察一元二次方程的实际问题及二次函数的实际问题，解题的关键是能够列出方程或函数表达式，熟练运用二次函数的性质解决实际问题．
22、（1）旧墙AD的长为10米；（1）当0＜a＜40时，围成长和宽均为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当40≤a＜60时，围成长为a米，宽为米的矩形菜园面积最大，最大面积为（60﹣）平方米．
【分析】(1)按题意设出AD=x米，用x表示AB，再根据面积列出方程解答；
(1)根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论S与菜园边长之间的数量关系．
【详解】解：(1)设AD＝x米，则AB＝，
依题意得，＝1000，
解得x1＝100，x1＝10，
∵a＝30，且x≤a，
∴x＝100舍去，
∴利用旧墙AD的长为10米，
故答案为10米；
(1)设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
①如果按图1方案围成矩形菜园，依题意得，
S＝，
∵0＜a＜60，
∴x＜a＜60时，S随x的增大而增大，
当x＝a时，S最大为；
②如按图1方案围成矩形菜园，依题意得，
S＝，
当a＜时，即0＜a＜40时，
则x＝时，S最大为，
当，即40≤a＜60时，S随x的增大而减小，
∴x＝a时，S最大＝，
综合①②，当0＜a＜40时，
，
此时，按图1方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，
当40≤a＜60时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜40时，围成长和宽均为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当40≤a＜60时，围成长为a米，宽为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米．
本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．
23、（1）40；（2）39000；（3）答案不唯一，详见解析
【分析】（1）用一月份A款的数量乘以，即可得出一月份B款运动鞋销售量；
（2）设A，B两款运动鞋的销量单价分别为x元，y元，根据图形中给出的数据，列出算式，再进行计算即可；
（3）根据条形统计图和折线统计图所给出的数据，提出合理的建议即可．
【详解】解：（1），
一月份款运动鞋销售了40双．
（2）设两款运动鞋的销售单价分别为元，
则根据题意，得，
解得
三月份的总销售额为（元）．
（3）答案不唯一，如：从销售量来看，款运动鞋销售量逐月上升，比款运动鞋销售量大，建议多进款运动鞋，少进或不进款运动鞋．
从总销售额来看，由于款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少，建议采取一些促销手段，增加款运动鞋的销售量．（写出一条即可）
本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24、销售单价为35元时，才能在半月内获得最大利润.
【解析】本题考查了二次函数的应用.
设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得．
解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000
当x==35时，才能在半月内获得最大利润
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5.
【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ；
（2）只要证明△BPE∽△EPQ，可得∠BEP＝∠EQP，且∠BEP＝∠CQE，可得结论；
（3）由相似三角形的性质可求BE＝3＝EC，可求AP＝4，AQ＝3，即可求PQ的长．
【详解】解：（1）和是两个等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
（2），
,
，
，
,
，
，且,
，
平分
（3）
，且，，
，
，
，
，
，，
.
本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26、或
【分析】本题首先将常数项移项，将二次项系数化为1，继而方程两边同时加一次项系数一半的平方，最后配方求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
本题考查一元二次方程的配方法，核心步骤在于方程两边同时加一次项系数一半的平方，解答完毕可用公式法、直接开方法、因式分解法验证结果．
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