初中数学论文：谈数学思维能力的发展.doc

中学数学论文

前铺后继 小题大做
----谈数学思维能力的发展

【内容摘要】为了发展学生的思维能力，在教学中，要从学生实际出发，将前概念作为教学的起点，使课堂教学成为学生展示思维的舞台，让作业成为教师与学生共同进步的桥梁，其中例题是课堂教学的重点，教师需要根据学情，对书本中的例题在课前进行充分的设计、
发掘，才能让例题发挥应有的作用，作业是新知识的补充与延续，学生通过作业掌握知识、形成技能、发展思维能力，本文就关注思维能力发展的三个方面（前概念、例题设计、作业设计评价）入手，加以分析和阐述。
【关键词】思维能力 前概念 例题设计 作业设计

在数学学习过程中,初中学生常常出现这样一个怪现象：老师上课讲的我们都能听懂,可课后作业总是做起来很吃力，错误百出，甚至没有一点思路。有时考试考到课堂一模一样的例题，学生还是会失分，这种现象困扰着很多的学生，学生在实际解题过程中,由于自身的因素或者题目设置的干扰因素的作用下，往往会在解题的某个环节停滞不前。其实，这些都是学生数学思维能力不足所造成的，学数学离不开解题，解题目离不开解题策略，攻克数学题如同行军打仗，只可智取不可蛮干，必须以数学思维为基础，因题而异找策略。那么，如何培养学生数学思维能力？结合教学实际，本人认为可通过以下途径加以实施：

一、前概念是数学思维发展的起点
学生在学习数学课程之前头脑里并非一片空白，他们在日常生活里对客观世界中的各种事物已经形成了自己的看法，并在无形中形成了自己的思维方式。这种在接受正规的数学教育之前所形成的概念一般称为前数学概念，简称前概念。比如多数学生在没有学习几何之前，就直观觉得四边形内角和大于三角形内角和、直角大于锐角……从人的认知发展的角度来看，前概念的产生是必然的，这些来自学生生活经验而建立的对数学概念的看法往往是片面的、模糊的，我们应该把它作为可被转换为数学概念的认知基础接受下来，这才是我们应该持有的正确态度。不少学生在学习新知识时，往往只注意到自己所理解的部分，即便在学习之后，学生通常也不会放弃原有的前概念，而是对新概念加以排斥。所以，教师应该将前概念作为教学的起点、基点、出发点，正确把握学情，找准教学定位，发展数学思维能力。
如人教版八下《平行四边形的性质》一课教学时，让学生在课前自己来猜想平行四边形的性质或者自己感兴趣的问题写在提问纸上进行预习，我们不妨把这一环节活动，看成是对学生的数学前概念的一次调查，然后教师通过统计与分析，就可以了解学生的知识背景、思维迁移程度，知道学生对平行四边形的性质已经存在了哪些朦胧的感性认识。那么，我们就能站在学生的角度来设计教学，实践中不妨让学生边根据已有经验做出的猜测、判断、设想、验证，让学生在使用自己的前概念的过程中，自己发现“错误”，锁定“错误”，及时纠正“错误”，教师在一旁作的适当点评，让学生找到了新的知识增长点。通过否定错误的前概念，促进学生思维能力的发展，在探究中学生经历了显露前概念，再修正前概念，最后形成科学概念，也就更加明了前概念与正确概念两者之间的差异。
数学教学不再是教学生“知道”那么简单了，我们更要引领学生去探索数学，让他们用自己的思维，去加工数学知识，教师的角色，不能再只停留在“传授”了，而是“引领”学生去探索。这更要求教师充分了解学生的前概念，抓住他们的心，层层设置环节，让学生步步深入，去发展数学思维能力。

二、质疑问难是数学思维发展的关键
古人说“学起于思，思源于疑。”学生的积极思维往往是从疑开始的，当学生无疑时，要寻疑；有疑时，要解疑，这是培养学生数学思维能力的一个重要一面。正所谓“带着问题进课堂，带着问题出课堂。”疑，既是学生探究新知识的开端，也是学生对所学知识的反思和升华。在教学中去质疑、去追问，可以引导学生及时发现自身学习的不足和缺漏，加深对知识的理解，提升数学思维能力。我们可以从以下方法去设问、去追问、去质疑。
1、设计铺垫，前铺后继
教科书篇幅有限，形式统一，因此很难照顾到各个地区、各种类型的学生，学生的理解能力有限，这就需要教师在潜心研读教材的基础上去“用教材教”，而不是“教教材”。在国外的数学课堂中有这样一句话,叫“一英寸宽,一英里深”。指的是我们在数学要突出重点，切口小，研究深，这样才有可能让学生真实、深刻地感受到数学素养的形成。书本的每一道例题都是教材编写者精挑细选的，是教师讲课时用以阐明数学概念及其应用的题目。它是数学知识转化为数学技能的载体，体现教材的深度和广度，揭示解题的思路和方法。为学生提供解题的格式和表述的规范。例题教学，好比丛林探险，教师就是那向导，每一个例题就是那根拐杖，帮助学生顺利抵达目的地。
【案例片段】人教版七年级上《2.1整式》第二课时例3：
一条河流的水流速度为2.5千米/小时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/小时和35千米/小时，则它们在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？如果对教材的认识不足，认为对于学生来说不是难题，因此基本上没作什么引导，在个别学生的回答下，直接就得出了顺、逆水的公式，表面的顺畅之下，实际是大多数学生的似懂非懂和脑子里的短暂记忆。后来专家指导意见是：本例涉及用字母表示已知量，列多项式表示数量关系，以及求多项式的值等内容，对于题中提到的船在静水中的速度、顺水行驶速度、逆水行驶速度这三个速度的意义学生是否能真正体会？通过这个问题的解决，能否让学生培养出用式子表示数量关系的意识和能力？所以，第二种教学方案是在学生阅读例3后，没有立即讲解，而是提出了以下几个问题：
1、一条纸折的船在平静的水上会动吗？
2、什么是船在静水中的速度？你如何理解？
3、如果在一条向东流去速度为2.5千米/小时的河流中，放上一条纸折的船，它会动吗？它的速度相当于什么速度？
4、在这条向东流去的河流中，有一条在静水中的速度为20千米/小时的船向东驶去，
它的速度是多少？怎么计算？这个速度怎么称呼？
5、如果船向西行驶，速度还是20千米/小时吗？应该是多少？这个速度又怎么称呼？
6、你能写出顺水行驶的速度和逆水行驶的速度分别怎么表示吗？
7、用文字描述在解决问题中比较麻烦，能否用字母来表示呢？
通过以上几个问题的解答，虽然时间上增加了不少，但是学生通过生活中的已知经验，提炼出了相关的速度公式，因此对于顺水行驶速度和逆水行驶速度有了深刻的理解，所以说与其给人死板的知识，不如给人以生动、活泼的思想方法，如此才能点石成金，通过模拟实际情况，精心设计7个问题，前“铺”后“继”，把学生的思维从简单引向复杂。例题的教学不仅仅只是在形式上的示范，更应该是一节课中对于知识难点突破的良好载体，这就需要教师发挥自己的创造能力，根据学生的学情对例题进行整合，前“铺”后“继”，让学生在轻松愉快的氛围中发展数学思维能力。
2、质疑问难，小题大做
一个新知识的巩固，我认为需要经历“简单模仿－细节模仿－知识内化－灵活运用”这几个过程，通过拓宽变式，一种由浅入深，由此及彼，以点带面，小题大做，使知识形成一个更加完整的网络，能让学生在自主探究中不断的发现、比较，从而将新知识构建到已有的知识体系中去，进而开拓了学生的视野，提升了学生的数学思维能力。
【案例片段】问题：讨论n个人握手次数。（学生分组，讨论，探索。为学生回忆起
n×（n -1）/2这个公式的由来作铺垫）师：说一说你是怎么想的？其它同学认真观察：你会发现什么？假若两点代表两个人，连接两点的线段数目，就表示握手的次数。师：对。今天我们画图连线发现规律就是和握手问题有关的知识。它在我们生活中有着广泛的应用。
握手图标
握手人数
握手次数
握手次数

2
1
2×2/2

3
3=1+2
3×2/2

4
6=1+2+3
4×3/2

5
10=1+2+3+4
5×4/2
……
…
……………

……
p
N=1+2+3+…+(n-1)
n×（n -1）/2
师： n个人，每两个人都相互握手，共握手多少次，因为每一个人都要和其他人进行一次握手，即（n-1）次，则n个人共握手n（n-1）次，两个人之间只需握手一次，上面的握手次数重复计算一次，故总的握手次数的计算公式为。
师：这个公式及公式的推导思维方法都非常重要，我们学过的哪些数学问题应用这个公式呢？（学生分小组、讨论、探索）
1、确定线段条数。图1直线上有多少条线段？一条直线上有n个点总共可以组成条线段？
2、确定直线条数。图2有四个点，且每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，共可画多少条直线？平面内有n个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，共可以画几条。
3、确定角的个数。图3中共有多少个角？推广：过同一端点的n条射线可以组成几个角。
4、确定三角形的个数。图4中共有多少个三角形？直线上有A1、A2、…、An，共n个点，和直线外一点P，可组成几个三角形。
5、确定交点的个数。如图5四条直线两两相交，最多有几个交点？平面内n条直线两两相交，最多能有几个交点。

图1 图2 图3 图4 图5
6、球赛（单循环）的比赛场次。
其实，我们在平常的教学中经常遇到类似的找规律题目，本案例以发现n×（n -1）/2及有机整合的n×（n -1）/2一类相关规律题为线，避免了题海战术。让学生在探究问题和解决问题的过程中发展数学能力。由浅入深、层层推进，形式上灵活多样，呈现方式上适度开放，拓展延伸，把实际问题转化为数学问题的趣味题，提升了数学思维能力。

三、作业是数学思维发展的延伸
（一）作业的设计
发展学生数学思维能力，同样离不开作业，作业是课堂教学的延伸和补充，调查发现，学生随着年级的升高，学习负担的加重，讨厌作业的学生在增多，究其原因是题海战术、机械操练让学生对作业望而生畏。教育家巴班斯基曾说“要从一道练习作业中取得最大可能的效果”。告诫教师作业设计应在激活学生思维，激发学生的兴趣方面下工夫，让学生通过作业巩固知识、加深理解、获取方法、熟练技能、发展思维。良好的做作业习惯，不是一朝一夕就能养成的，需要教师持之以恒，常抓不懈。我觉得，优质的作业设计应该从趣味性、层次性、灵活性上着手。
1、体现趣味：因为好奇，所以尝试！
学生对数学的迷恋往往是从兴趣开始的，由兴趣到探索，由探索到成功，在成功的体验中产生新的兴趣，推动数学学习不断取得成功，但数学的抽象性和严密性往往使他们感到枯燥乏味，要使学生在数学学习活动中体会到数学是那么生动有趣，因此，强化数学作业的趣味性十分重要。如学习“对称图形”后，让学生设计一些对称图形并把它们拼成一个美丽的图案，和同学们一起欣赏、评价。学习了“乘方运算”后，让学生用扑克牌算二十四点，并列出算式。新颖的题目设计，吸引了学生的注意力，提高了练习的趣味性，能变被动学习为主动学习，能促进学生对知识的掌握和能力的提高。在作业中激发兴趣，找到自信，感受成功。当学生写作业时静下心来，注意力集中了，思维活跃了，作业速度快了，正确率也就高了，有了成功的体验学生也更喜欢作业了。
2、强调分层：因为挑战，所以思考！
学生之间的知识和能力的差异是客观存在的。在作业设计时，应从学生的实际出发，针对学生的个性差异设计分层作业：第一层是基础型作业，这是学生对知识进行内化的过程，使学生达到“会”；第二层是提高型作业，把知识转化为技能的过程，使学生达到“熟”；第三层是挑战性作业，体现知识优化过程，培养学生的创新能力，使学生达到“活”。这样设置的作业，就会让不同水平的学生选做自己认为合适的题目，使所有的学生都吃饱、吃好，都能感受到作业给自己带来的乐趣。
【案例片段】在学习三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这一性质后，分别设置了不同层次的作业给学生：
层次一：若三角形的两边长为2cm和3cm，则第三边的取值范围是多少？若第三边为整数，则第三边有几种情况？
层次二：若有三根木棒分别为a,a-1,a+3,则这三根木棒能否组成一个三角形？若能，a需要满足什么条件？
层次三：若等腰三角形的一边长为3cm，则别外两边的值或取值范围是多少？
通过不同层次的作业预设，这样引导不同层次的学生积极主动参与到学习中，使得不同水平的学生都得到发展，全面培养了整体学生的数学思维能力。
3、加强变式：因为灵活，所以创造！
学生在解题过程中，常常会出现的思维定势，碰见常规题型，思路比较清晰，解题速度快。而对叙述形式稍有变化的习题便难以应付，无从下手。变式练习应抓住问题的本质特征，使学生学会比较全面地看问题，在一定程度上可以克服思维僵化、思维惰性，使数学思维更具灵活性。
【案例片段】在复习四边形这章时，通过设置几个问题的变式式的问题提高学生思维：
1、求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
2、求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。
3、求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。
4、求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。
5、顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形。
6、顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形。
7、顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形。
通过变式训练，有利于学生克服思维定势，让学生深刻理解，不管四边形的如何变化，只要牢牢地抓住它的本质特征即可，运用阶梯式的问题，引导学生的思维纵深拓展，促进学生从顺、逆、侧等不同的角度进行创造性思维，培养思维的灵活性与创造性。
4、突出开放：因为未知，所以探索！
在平时，很多教师的数学作业中注重写和算，忽视动与想，造成学生面对生活中的问题畏手畏脚，无从下手。很多教师在每学期的试卷分析中总有这样一句话：学生综合运用所学的知识灵活解决问题的能力有待提高！那么，如何提高学生解决问题的能力呢？其实，教师应根据所授知识内容，通过设计并布置开放性的数学作业，提高学生的解题思维能力。
如教学了“密铺与镶嵌”后，让学生自我设计地板铺法。在多种拼法的实践中，学生加深了对“镶嵌”的认识，培养了他们多角度深刻思维的习惯，提高了全面分析、解决问题的能力。学生在镶嵌时，可以有多种不同的镶嵌方法，答案比较开放，学生练习时兴趣也非常浓厚，调动学生主动参与的积极性。
（二）作业的评价
作业评价能够促进学生数学思维能力，因为作业批改是了解学生数学学习的有效手段，是评价学生数学学习效果、激励学生学习数学的重要方式。人的内心深处都有一种被尊重，被赏识的需要。心理学研究表明，学生获得表扬，奖励次数越多，其行为活动的再发性就越高。教师的欣赏和鼓励，是学习进步的支点，学生会在赏识中越来越优秀，越来越自信。
要将评语引入数学作业的批改中。学生做了作业，不管优劣，真诚地写上点评，话不在多，在于引起学生共鸣，写上你的赞赏，写上你的鼓励，写上你的批判……如“优+方法独特=优+，优+格式规范=优+，良+如果能认真订正作业=特优”等等。这时候的作业本，简直就成了师生沟通思想、交流感情、教学相长的工具。评价的目的，不仅关注学生数学学习的结果，更要关注学生数学学习的发展过程，给学生充分的修正错误的机会，促进学生数学的发展。比如将得“优”次数较多的常规作业评选为示范作业、免检作业，学生会争取在每次作业中都有一次完美的展现，这种由一次次单独评价与一个个阶段的综合评价的结合，可以将评价的短期效应延长为中、长期效应。
要善于分析学生的作业，摸清学生对新知的理解程度，读懂学生的疑难，及时进行纠错，弥补认知缺陷，提高作业的效度。学生在作业过程中不断生成问题、解决问题，每一次作业都是学生成长的生长点，学生最有效的学习是从自己的失误中学，对于做错的作业要及时订正，反思原因，分析之后再做以加深印象，并在后续学习中经常复习。教师可以在批改作业中，将学生的错误分类记录下来，从中发现共性并找出典型错例，特别是找出算理不清、法则模糊、方法不对的典型错例，组织学生剖析根源，然后再有针对性地设计一定数量的练习，有目的地进行“治疗”。其实，作业是有生命的；作业承载着师生的情感；作业也塑造的是孩子的心性。
总之，让我们将前概念作为教学的抓手，让课堂教学成为学生展示思维的舞台，让作业成为教师与学生共同进步的桥梁。有意识地让学生学会思考，引导学生通过观察、比较、思考、质疑来探究知识，这样对所学知识的理解会更深刻，记忆更牢固，运用更灵活。也许，真正提升学生数学思维能力，就从这里起步……
【参考文献】
[1]教育部：数学课程标准（实验稿）[M] 北京师范大学出版社 2003
[2]王祺光：《例题有效设计策略尝试》 2011．3
[3]陈雪珍：《一线穿珠、有机整合数学课堂教学的有效性》 2010．4
[4]童 鹏：《初中数学课堂教学中的弹性预设和动态生成策略》 2010．4
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