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第六节 空间向量及其运算
空间向量及其应用
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
知识点一 空间向量的有关概念
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模．
(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作 a∥b.
(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
易误提醒 (1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．
(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．
(4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
[自测练习]
1．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
解析：如图所示，
＝＋＋
＝＋(－)＋
＝－＋(－)
＝－＋
＝－a＋b＋c.
答案：B
2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
解析：∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴解得或
答案：A
知识点二 空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
易误提醒 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．
(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算．
必备方法 用空间向量解决几何问题的一般步骤：
(1)适当的选取基底{a，b，c}．
(2)用a，b，c表示相关向量．
(3)通过运算完成证明或计算问题．
[自测练习]
3．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
考点一 空间向量的线性运算|
1．设三棱锥OABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则等于( )
A．a＋b－c B．a＋b＋c
C.(a＋b＋c) D.(a＋b＋c)
解析：如图所示，
＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．
答案：D
2.如图所示，已知空间四边形O ABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
解析：∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－
＝＋×(＋)－×＝＋＋，又＝x＋y＋z，
根据空间向量的基本定理，x＝，y＝z＝.
答案：，，
(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．
(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．
考点二 共线向量与共面向量定理的应用|
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD中边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．
[证明] (1)连接BG，
则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知，
E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
(3)任取一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.
由(2)知＝，同理＝，
所以＝，即EH綊FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
所以EG，FH被点M平分．
故＝(＋)＝＋＝＋＝(＋＋＋)．
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
1．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断、、三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解：(1)由已知＋＋＝3 ，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，共面且过同一点M，
所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．
考点三 利用空间向量证明平行、垂直|
如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．
(1)求证：BM∥平面D1AC；
(2)求证：OD1⊥平面AB1C.
[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)，D1(0,0，)，
∴＝(－1，－1，)，
又点B(2,2,0)，M(1,1，)，
∴＝(－1，－1，)，
∴＝.又∵OD1与BM不共线，
∴OD1∥BM.
∵OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，
∴BM∥平面D1AC.
(2)连接OB1，点B1(2,2，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，
·＝(－1，－1，)·(－2,2,0)＝0，
∴⊥， ⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，
又OB1∩AC＝O，∴OD1⊥平面AB1C.
(1)设直线l1的方向向量为v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量为v2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
(3)设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.
2.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面C1E1F；
(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设BC＝1，
则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.
(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
∵＝，＝(－1，0,1)，
∴即
令x＝1，得n＝(1,2,1)．
∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，
∴CE⊥n.
又∵CE⊄平面C1E1F，
∴CE∥平面C1E1F.
(2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，
由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，
∴即
令a＝－1，得m＝(－1,0,1)．
∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，
∴平面C1E1F⊥平面CEF.
16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错
【典例】 已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________．
[解析] 由题意知a∥b，所以＝＝，
即
解得或
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，所以a，b两向量反向，不符合题意，舍去．
当时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，所以
[答案] x＝1，y＝3
[易误点评] 只考虑a∥b，忽视了同向导致求解多解．
[防范措施] 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件．
[跟踪练习] (2015·成都模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2u－1,2λ)，若a∥b，则λ与u的值可以是( )
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
解析：由a∥b验证当λ＝2，u＝时成立．
答案：A
A组 考点能力演练
1．(2015·深圳模拟)已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于( )
A.(b＋c－a) B.(a＋b－c)
C.(a－b＋c) D.(c－a－b)
解析：＝＋＋＝(c－a－b)．
答案：D
2．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．长方形 D．空间四边形
解析：由·>0，·>0，·>0，·>0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.
答案：D
3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴
答案：D
4．(2016·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：＋λ＝(1，－λ，λ)，
cos 120°＝＝－，得λ＝±.
经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.
答案：C
5．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|等于( )
A. B.
C. D.
解析：设M(x，y，z)，则x＝＝2，y＝＝，z＝＝3，即M，|CM|＝ ＝.故选C.
答案：C
6．(2016·合肥模拟)向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝________.
解析：由a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，∴a＋6b－8c＝(28，－26，－7)．
答案：(28，－26，－7)
7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
解析：由于a与2b－a互相垂直，则a·(2b－a)＝0，即2a·b－|a|2＝0，所以2|a||b|cosa，b－|a|2＝0，则4cosa，b－4＝0，则cosa，b＝，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
8．空间四边形OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos，的值为________．
解析：·＝·(－)＝·－·＝||||cos，－||||·cos，．
∵OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，∴·＝0，
即⊥，∴cos，＝0.
答案：0
9．(2016·唐山模拟)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b夹角的余弦值．
(2)设|c|＝3，c∥，求c的坐标．
解：(1)因为＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)，
所以a·b＝－1＋0＋0＝－1，|a|＝，|b|＝.
所以cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)＝(－2，－1,2)．设c＝(x，y，z)，因为|c|＝3，c∥，
所以＝3，存在实数λ使得c＝λ，即联立解得或
所以c＝±(－2，－1,2)．
10．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求的模．
(2)求cos〈，〉的值．
(3)求证：A1B⊥C1M.
解：如图，建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1，0,1)，所以||＝＝.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，·＝3，||＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝.
(3)依题意，得C1(0,0,2)，M，＝(－1,1，－2)，＝.
所以·＝－＋＋0＝0，
所以⊥.所以A1B⊥C1M.
B组 高考题型专练
1．(2014·高考广东卷)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)
解析：经检验，选项B中向量(1，－1,0)与向量a＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60°，故选B.
答案：B
2．(2014·高考江西卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i－1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i＝2,3,4)，L1＝AE，将线段L1，L2，L3，L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )
解析：由对称性知质点经点E反射到平面ABCD的点E1(8,6,0)处．在坐标平面xAy中，直线AE1的方程为y＝x，与直线DC的方程y＝7联立得F.由两点间的距离公式得E1F＝，
∵tan∠E2E1F＝tan∠EAE1＝，∴E2F＝E1F·tan∠E2E1F＝4.∴E2F1＝12－4＝8.∴＝＝＝＝.故选C.
答案：C
3．(2015·高考浙江卷)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝.若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.
解析：∵e1，e2是单位向量，e1·e2＝，∴cos〈e1，e2〉＝，又∵0°≤〈e1，e2〉≤180°，∴〈e1，e2〉＝60°.不妨把e1，e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中，设e1＝(1,0,0)，则e2＝，再设＝b＝(m，n，r)，由b·e1＝2，b·e2＝，得m＝2，n＝，则b＝(2，，r)．而xe1＋ye2是平面xOy上任一向量，由|b－(xe1＋ye2)|≥1知点B(2，，r)到平面xOy的距离为1，故可得r＝1.则b＝(2，，1)，∴|b|＝2.又由|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1知x0e1＋y0e2＝(2，，0)，解得x0＝1，y0＝2.
答案：1,2,2
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