武汉科技职业学院《概率论与随机过程》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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武汉科技职业学院
《概率论与随机过程》2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

批阅人

一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、当时，下列函数中哪个是比高阶的无穷小？（ ）
A.
B.
C.
D.

2、求曲线 y = e^x，y = e^(-x)与直线 x = 1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（ ）
A.π/2(1 + e²/e)；B.π/2(1 - e²/e)；C.π/2(e²/e - 1)；D.π/2(e²/e + 1)

3、已知函数 y = y(x)由方程 x²y² + xy = 1 确定，求 dy/dx（ ）
A.(-2xy² - y)/(2x²y + x)；B.(-2xy² + y)/(2x²y - x)；C.(2xy² - y)/(2x²y + x)；D.(2xy² + y)/(2x²y - x)

4、设，则y'等于（ ）
A.
B.
C.
D.

5、设函数，则当时，函数是无穷大量吗？（ ）
A.是 B.不是 C.有时是有时不是 D.不确定

6、当时，下列函数中哪个是比高阶的无穷小？（ ）
A.
B.
C.
D.

7、在平面直角坐标系中，有一曲线方程为，那么该曲线在点处的切线方程是什么呢？（ ）
A.
B.
C.
D.

8、已知函数 z = f(x + y, xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂²z/∂x∂y 的表达式是什么？（ ）
A.∂²z/∂x∂y = f₁₂' + yf₂₂'' + xf₁₂'' B.∂²z/∂x∂y = f₁₂' + xf₂₂'' + yf₁₂'' C.∂²z/∂x∂y = f₁₂' + xf₂₂'' - yf₁₂'' D.∂²z/∂x∂y = f₁₂' - xf₂₂'' + yf₁₂''

9、求微分方程 y'' + y = cos(x)的通解。（ ）
A.y = C1cos(x) + C2sin(x) + (xsin(x))/2 B.y = C1cos(x) + C2sin(x) - (xsin(x))/2 C.y = C1cos(x) + C2sin(x) + (xcos(x))/2 D.y = C1cos(x) + C2sin(x) - (xcos(x))/2

10、求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积是多少？（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、已知函数，则函数的导数为______________。

2、已知向量，向量，则向量与向量的数量积为____。

3、求函数的导数，根据求导公式，结果为_________。

4、若函数在区间[0,2]上有最大值 8，则实数的值为____。

5、计算极限的值为____。

三、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）求级数的和。

2、（本题10分）判断级数的敛散性。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[0,1]上连续，在内可导，且，。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上二阶可导，且，。证明：存在，使得。

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