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实验中学八年级上册期末数学模拟数学模拟试题

一、选择题
1．芝麻作为食品和药物，均广泛使用，经测算，一粒芝麻重量约有0.00 000 201kg，用科学记数法表示10粒芝麻的重量为（　　）
A．2.01×10﹣6kg B．2.01×10﹣5kg C．20.1×10﹣7kg D．20.1×10﹣6kg
2．如图，在锐角三角形ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
3．在下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动。同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）

A．2 B．5 C．1或5 D．2或3
5．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE＋∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO ＝ CO，AB ＝ CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是( )

A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
7．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2+1＝（x+1）2 B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2
C．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1） D．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2
8．如图，一个底面直径为cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）

A．24cm B．10cm C．25cm D．30cm
9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）

A． B． C． D．
10．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，在若中，是边上的高，是平分线．若则=_____

12．如下所示，与相应的杨辉三角中的一行数相对应．

由以上规律可知：

请你写出下列式子的结果：
__________________．
13．用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为________个．
14．如图，，，垂足为．若，则_______．

15．如图，，的平分线相交于点，过点作，交于，交于，那么下列结论：①，都是等腰三角形；②；③的周长为；④．其中正确的是________．

16．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
17．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3=_____度．

18．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______（只写出一个即可）．
19．计算：____________．
20．如图，一个直角三角形纸片，，是边上一点，沿线段折叠，使点落在点处（在直线的两侧），当时，则__________°.

三、解答题
21．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述操作能验证的等式是______________；（请选择正确的一个）
A、，
B、，
C、．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．
②计算：．
22．先化简：，其中从，，中选一个恰当的数求值．
23．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝　 　；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．

24．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD是∠BAC的平分线．

25．如图，已知六边形的每个内角都相等，连接.

（1）若，求的度数；
（2）求证：.
26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF．
27．如图，中，，，平分，于，，求的度数．

28．（1）解方程组：．
（2）解不等式组：．
（3）分解因式：．
（4）分解因式：．
29．如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E, ∠A=35°, ∠D=50°,求∠ACD的度数.

30．如图所示是一个长为2m，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形

如图中的阴影部分的正方形的边长等于______用含m、n的代数式表示；
请用两种不同的方法列代数式表示图中阴影部分的面积：
方法：______；
方法：______；
观察图，试写出、、mn这三个代数式之间的等量关系：______；
根据题中的等量关系，若，，求图中阴影部分的面积．

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一、选择题

1．B
解析：B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
0.00000201kg×10=0.0000201kg
0.0000201kg＝2.01×10﹣5kg
故选B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
∵AD平分∠CAB，
∴点B关于AD的对称点B′在线段AC上，作B′N′⊥AB于N′交AD于M′．

∵BM+MN=B′M+MN，
∴当M与M′重合，N与N′重合时，BM+MN的值最小，最小值为B′N′，
∵AD垂直平分BB′，
∴AB′=AB=5 ，
∵∠B′AN′=45°，
∴△AB′N′是等腰直角三角形，
∴B′N′=5
∴BM+MN的最小值为5．
故选B．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方差公式有： ＝＝（x＋3y）（x−3y）；＝m2-1=（m+1）（m−1）；＝b2−16a2＝（b＋4a）（b−4a）；而−x2−1＝−（x2＋1），不能用平方差公式分解．
【详解】
A.＝＝（x＋3y）（x−3y）；
B.＝m2-1=（m+1）（m−1）；
C.＝b2−16a2＝（b＋4a）（b−4a）；
而−x2−1＝−（x2＋1），不能用平方差公式分解．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方差公式：a2−b2＝（a＋b）（a−b），熟练掌握此公式是解答此题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
【详解】
解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴v=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴v=6÷2=3（m/s）．
故v的值为2或3．
故选择：D．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由△ABD≌△ACE得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=180°．
【详解】
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=360°-90°-90°=180°，本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理进行判断.
【详解】
A. AC⊥BD，垂足为O，AO ＝ CO，AB ＝ CD，所以由HL可得到△AOB≌△COD，所以A正确；B.错误；C.错误；D.错误.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是本题解题的关键.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义及方法对各项分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意；
C、原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
解：将此圆柱展成平面图得：

∵有一圆柱，它的高等于20cm，底面直径等于cm，
∴底面周长＝cm，
∴BC＝20cm，AC＝×30＝15（cm），
∴AB＝（cm）．
答：它需要爬行的最短路程为25cm．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【详解】
解：三角形具有稳定性．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
二、填空题

11．【解析】
【分析】
根据直角三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，结合图形计算即可．
【详解】
∵
∴
∵是平分线
∴
∵是边上的高，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本
解析：
【解析】
【分析】
根据直角三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，结合图形计算即可．
【详解】
∵
∴
∵是平分线
∴
∵是边上的高，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的角度问题，掌握直角三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
12．【解析】
【分析】
利用杨辉三角写出两式子的结果．
【详解】
解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4++6ab5+b6．
故答案为：a6+6a5b+15a4b2
解析：
【解析】
【分析】
利用杨辉三角写出两式子的结果．
【详解】
解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4++6ab5+b6．
故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4++6ab5+b6．
【点睛】
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
13．2
【解析】
【分析】
本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．
【详解】
设摆出的三角形中相等的两边是x根，则第三边是（）根，
根据三角形
解析：2
【解析】
【分析】
本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．
【详解】
设摆出的三角形中相等的两边是x根，则第三边是（）根，
根据三角形的三边关系定理得到：，
则， ，
又因为是整数，
∴可以取4或5，
因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况，
则能摆出不同的等腰三角形的个数为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的两边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12．
14．40°
【解析】
【分析】
∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等可求出∠3，在直角三角形中，两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵∠1=50°，

∴∠1=∠2（
解析：40°
【解析】
【分析】
∠1和∠2是对顶角相等，∠2和∠3为同位角，根据两直线平行，同位角相等可求出∠3，在直角三角形中，两锐角互余，即可求解．
【详解】
解：∵∠1=50°，

∴∠1=∠2（对顶角相等），
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
又∵EG⊥AB，
∴∠E=90°-∠3=90°-∠50°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．①②③
【解析】
【分析】
①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等
解析：①②③
【解析】
【分析】
①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等量代换即可判定；③根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC ，然后再判定即可；④无法判断．
【详解】
解：①∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
又∵DE//BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠ABF=∠DFB
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
同理可得是等腰三角形，故①正确；
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF
同理：EF=EC
∴DE=DF+EF=BD+CE,故②正确；
③∵DF=BD,EF=EC
∴的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③正确；
④无法判断BD=CE，故④错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，涉及面较广，因此灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
16．15
【解析】
【分析】
分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】
解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形
解析：15
【解析】
【分析】
分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】
解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
17．135
【解析】

由题意得,在与中, ∵AB=DE, ∠ABC=∠ADE,BC=AD, , ,,
又∵△DEF是等腰直角三角形, ,.
解析：135
【解析】

由题意得,在与中, ∵AB=DE, ∠ABC=∠ADE,BC=AD, , ,,
又∵△DEF是等腰直角三角形, ,.
18．或
【解析】
【分析】
【详解】
设这个单项式为Q，如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x；
如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2
解析：或
【解析】
【分析】
【详解】
设这个单项式为Q，如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x；
如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=22x2，所以Q=4x4；
如果该式只有4x2项或1，它也是完全平方式，所以Q=-1或-4x2．
解：∵4x2+1±4x=（2x±1）2；
4x2+1+4x4=（2x2+1）2；
4x2+1-1=（±2x）2；
4x2+1-4x2=（±1）2．
∴加上的单项式可以是±4x、4x4、-4x2、-1中任意一个．
19．10
【解析】
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式=9+1=10
【点睛】
本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．
解析：10
【解析】
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式=9+1=10
【点睛】
本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．
20．20
【解析】
【分析】
先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD，再根据∠CAB=90°即可求出答案．
【详解】
解：由翻折可得，
∠EAD=∠BAD，
又∠CAB=90°，∠EAC=50°
解析：20
【解析】
【分析】
先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD，再根据∠CAB=90°即可求出答案．
【详解】
解：由翻折可得，
∠EAD=∠BAD，
又∠CAB=90°，∠EAC=50°，
∴∠EAC+∠CAD=90°-∠CAD,
∴50°+∠CAD=90°-∠CAD,
∴∠CAD=20°.
故答案为：20．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质及四边形内角和定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
三、解答题

21．（1）；（2）①3；②
【解析】
【分析】
（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】
（1）根据图形得：，
上述操作能验证的等式是，
故答案为：；
（2）①∵，
，
∴；
②

．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
22．，2
【解析】
【分析】
原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把代入计算即可求出值．
【详解】
解：

因为m+1 ，m-1，m-2
所以m ，m，m
当时，原式．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab；（2）±4；（3）-7
【解析】
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy，将x+y＝5，x•y＝代入(x+y)2-(x-y)2=4xy，即可求得x-y的值
（3）因为(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15，即可求解．
【详解】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy
∵x+y＝5，x•y＝
∴52-(x-y)2=4×
∴(x-y)2=16
∴x-y=±4
故答案为：±4
（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1
∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1
∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1
∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15
∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14
∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7
故答案为：-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
24．证明见解析．
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得∠DBC=∠DCB，结合条件，得∠ABC=∠ACB，进而得AB=AC，易证△ABD≌△ACD，进而即可得到结论．
【详解】
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB．
∵∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△ABD与△ACD中
∵，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理以及三角形全等的判定和性质定理，掌握等腰三角形的判定和性质定理以及三角形全等的判定和性质定理是解题的关键．
25．(1)；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）先求六边形ABCDEF的每个内角的度数，再根据四边形的内角和是360°，求∠2的度数．
（2）由（1）中∠ADC的度数，可得∠BAD=∠ADE，利用内错角相等，两直线平行，可证AB∥DE．
【详解】
（1）∵六边形ABCDEF的每个内角的度数是（6-2）×180°÷6=120°
∴∠FAB=120°,
∵∠1=48°
∴∠FAD=∠FAB-∠1=120°-48°=72°,
∴∠2=360°-120°-120°-72°=48°．
（2）∵∠1=48°,∠2=48°，
∴AB∥DE．
【点睛】
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．注意平行于同一条直线的两直线平行．
26．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE=EF，AD=CF，由于AB=BC+AD，等量代换得到AB=BC+CF，即AB=BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论．
【详解】
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）知△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF，
∵AB＝BC+AD，
∴AB＝BC+CF，
即AB＝BF，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
∴BE⊥AF.
【点睛】
主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”的性质．
27．
【解析】
【分析】
首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
【详解】
解：∵，，
∴.
∵平分，∴.
∵于，∴，.
∴.
∵，∴，
∴.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
28．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）加减消元法解方程组；
（2）先分别解不等式，再找解集的公共部分；
（3）先提公因式，再用平方差公式；
（4）应用完全平方公式．
【详解】
（1）解：，
②－①×2，得：，解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，解得：，
∴原不等式组的解为：；
（3）原式＝；
（4）原式＝＝．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，因式分解的方法，熟练掌握基础知识是关键．
29．83°.
【解析】
试题分析：由DF⊥AB，在Rt△BDF中可求得∠B；再由∠ACD=∠A+∠B可求得．
试题解析：∵DF⊥AB，
∴∠B+∠D=90°，
∴∠B=90°-∠D=90°-42°=48°，
∴∠ACD=∠A+∠B=35°+48°=83°．
30．（1）（2）①②（3）（4）44
【解析】
【分析】
由图可知，分成的四个小长方形每个长为m，宽为n，因此图中阴影部分边长为小长方形的长减去宽，即;
直接用阴影正方形边长的平方求面积；用大正方形面积减四个小长方形的面积;
根据阴影部分面积为等量关系列等式;
直接代入计算．
【详解】
小长方形每个长为m，宽为n，
中阴影部分正方形边长为小长方形的长减去宽，即
故答案为
阴影正方形边长为
面积为：
故答案为
大正方形边长为
大正方形面积为：
四个小长方形面积为4mn
阴影正方形面积大正方形面积小长方形面积，为：
故答案为
根据阴影正方形面积可得：
故答案为
且， ,
【点睛】
本题考查了根据图形面积列代数式，用几何图形面积验证完全平方公式找准图中各边的等量关系是解题关键．