初中苏教七年级下册期末数学测试试题经典答案.doc

（完整版）初中苏教七年级下册期末数学测试试题经典答案
一、选择题
1．下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．和是同位角 B．和是同旁内角
C．和是内错角 D．和是对顶角
3．下列四对数，是二元一次方程组的解的是 （ ）
A． B． C． D．
4．下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．给出下列四个命题，①多边形的外角和小于内角和；②如果a＞b，那么（a＋b）（a－b）＞0；③两直线平行，同位角相等；④如果a，b是实数，那么，其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是（ ）
A．5 B． C． D．
8．如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．计算：2x•（﹣3xy）＝___．
10．命题“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是____命题（填写“真”或“假”）．
11．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为____________．
12．因式分解：_________．
13．已知关于，的方程组，当正整数_____时，方程组有整数解．
14．如下图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是______．

15．如图，两条平行线分别经过正五边形的顶点，如果，那么∠2=_______度．

16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=8，CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．

17．计算：
（1）．
（2）．
18．因式分解：
（1）；
（2）
19．解方程组：
（1）．
（2）．
20．解不等式组：，并写出它的整数解．
三、解答题
21．完成下面的证明，如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
∴　 　（　 　）
∵（已知），
∴　 　（　 　）．
∴　 　（　 　）．
∴（等量代换）．

22．某电器经营业主两次购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，第一次购进8台空调和20台电风扇；第二次购进10台空调和30台电风扇．
（1）若第一次用资金25600元，第二次用资金32800元，求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）在（1）的条件下，若该业主计划再购进这两种电器50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，问该经营业主最多可再购进空调多少台？
23．阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
24．如图，直线，一副直角三角板中，．
（1）若如图1摆放，当平分时，证明：平分．

（2）若如图2摆放时，则

（3）若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点，作和的角平分线相交于点（如图3），求的度数．

（4）若图2中的周长，现将固定，将沿着方向平移至点与重合，平移后的得到，点的对应点分别是，请直接写出四边形的周长．
（5）若图2中固定，（如图4）将绕点顺时针旋转，分钟转半圈，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．

25．如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”．

（1）如图1，形中，若，则______；
（2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系．
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用同底数幂的除法运算法则判断A，利用单项式除以单项式的计算法则判断B，利用完全平方公式判断C，利用积的乘方运算法则判断D．
【详解】
解：A、a6÷a2=a4，正确，故此选项不符合题意；
B、3a2b÷b=3a2，正确，故此选项不符合题意；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项符合题意；
D、（-2a2）3=-8a6，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法am÷an=am-n，幂的乘方（am）n=amn，完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，掌握运算法则是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义进行解答．
【详解】
解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
3．B
解析：B
【分析】
利用加减消元法求解即可．
【详解】
解：，
①+②得2x=2，
解得x=1，
把x=1代入①得1+y=3，
解得y=2，
∴方程组的解为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
4．B
解析：B
【分析】
根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】
解：A、若，当时，则，不正确，故该选项不符合题意；
B、若，则，正确，故该选项符合题意；
C、若，当时，则，不正确，故该选项不符合题意；
D、若，当时，则，不正确，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．也考查了等式的性质．
5．B
解析：B
【分析】
首先解每个不等式，然后根据不等式组只有3个整数解，得到整数解，进而得到关于a的不等式组，求得a的范围．
【详解】
解：∵，
解不等式组，得，
∴，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴整数解为：，0，1，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
6．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和、不等式的性质、平行线的性质和零指数幂判断即可．
【详解】
解：①多边形的外角和不一定小于内角和，四边形的内角和等于外角和，原命题是假命题；
②如果0＞a＞b，那么（a+b）（a-b）＜0，原命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，是真命题；
④如果a，b是实数，且a+b≠0，那么（a+b）0=1，原命题是假命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和、不等式的性质、平行线的性质和零指数幂，难度较小．
7．B
解析：B
【分析】
先根据新运算的定义称为a的差倒数，求出、、的值，可发现规律，再根据新运算的定义计算即可得．
【详解】
∵ ， 是的差倒数，
∴，
∵是的差倒数，是的差倒数，
∴，
∴，
根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，
所以．
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的加减乘除法运算，理解新运算的定义是解题关键．
8．A
解析：A
【分析】
设另一边长为x，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解．
【详解】
解：设另一边长为x，
根据题意得，3x=（a+3）2-a2，
解得x=2a+3．
故选：A．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算以及完全平方公式应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
9．-6x2y
【分析】
根据单项式乘单项式法则，即可求解．
【详解】
解：2x•（﹣3xy）=-6x2y，
故答案是：-6x2y．
【点睛】
本题主要考查单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．
10．真
【分析】
根据平行线的判定方法判断即可．
【详解】
解：如图，a⊥c，b⊥c，则∠1=∠2=90°，
∴a//b，
∴“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题，
故答案为：真．

【点睛】
本题考查了命题，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型．
11．12
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n-2）•180°=5×360°，
解得n=12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
12．
【分析】
直接提取公因式即可．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
13．4
【分析】
将t看做未知数，求出x与y，再求出有整数解时，正整数t的值．
【详解】
解：由方程组得t≠2，
解方程组得：
，，
∵方程组有整数解，
当t=4时，，，
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是用t表示出x和y的值，此题难度不大．
14．B
解析：垂线段最短
【分析】
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短，据此作答即可．
【详解】
】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】
此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
15．80
【分析】
延长CB交l1于点F，根据正五边形内角和以及平行线的性质解答即可．
【详解】
解：延长CB交l1于点F，
∵正五边形ABCDE的一个内角是=108°，
∴∠4=180°-108°=
解析：80
【分析】
延长CB交l1于点F，根据正五边形内角和以及平行线的性质解答即可．
【详解】
解：延长CB交l1于点F，

∵正五边形ABCDE的一个内角是=108°，
∴∠4=180°-108°=72°，
∴∠3=180°-∠1-∠4=180°-28°-72°=80°，
∵l1∥l2，∠3=80°，
∴∠2=∠3=80°，
故答案为：80．
【点睛】
此题考查平行线的性质及正多边形的性质，解题的关键是由正多边形的性质求出∠3的度数，从而得出答案．
16．9
【分析】
连接设利用CD=3BD及中点，分别表示四边形的面积与的面积，利用的面积最大，四边形的面积最大，从而可得答案．
【详解】
解：连接 CD=3BD
设 则
为的中点，
解析：9
【分析】
连接设利用CD=3BD及中点，分别表示四边形的面积与的面积，利用的面积最大，四边形的面积最大，从而可得答案．
【详解】
解：连接 CD=3BD
设 则
为的中点，

四边形的面积，
的面积最大，四边形的面积最大，
当时，的面积最大，四边形的面积最大，
此时四边形的面积
故答案为：9．

【点睛】
本题考查的三角形的中线与三角形的面积之间的关系，考查了底不等而高相同的两个三角形的面积关系，掌握以上知识点是解题的关键．
17．（1）-6a2b2c；（2）3．
【分析】
（1）直接运用单项式乘单项式运算法则计算即可；
（2）先运用负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可．
【详解】
解(1)原式
=-6a2b2c；
(2)原
解析：（1）-6a2b2c；（2）3．
【分析】
（1）直接运用单项式乘单项式运算法则计算即可；
（2）先运用负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可．
【详解】
解(1)原式
=-6a2b2c；
(2)原式=(-2)2-1
=4-1
=3．
【点睛】
本题主要考查了单项式乘单项式、负整数次幂、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）直接运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：（1）原式= ；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了公
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）直接运用平方差公式进行分解即可；
（2）先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：（1）原式= ；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了公式法因式分解以及提公因式法因式分解，熟练掌握乘法公式的结构特点是解本题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法可进行求解；
（2）先把二元一次方程组进行化简，然后再利用加减消元进行求解即可．
【详解】
解：（1）
把②代入①得：，解得：，
把代入②得：，
∴原方
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法可进行求解；
（2）先把二元一次方程组进行化简，然后再利用加减消元进行求解即可．
【详解】
解：（1）
把②代入①得：，解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为；
（2）
方程组化简得：
②×5+①得：，解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
20．；，，
【分析】
首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．
【详解】
解：，
由①，
，
解得：，
由②：，
，
解得：，
则不等式组的解集是：．
解析：；，，
【分析】
首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．
【详解】
解：，
由①，
，
解得：，
由②：，
，
解得：，
则不等式组的解集是：．
则整数解是：，，．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的解法和整数解，解题的关键是根据的取值范围，得出的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
三、解答题
21．∠3；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等．
【分析】
由平行线的性质得出∠A=∠3，由内错角相等得出ED∥AC，由平行线的性质得出∠E=∠3，即可得出
解析：∠3；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等．
【分析】
由平行线的性质得出∠A=∠3，由内错角相等得出ED∥AC，由平行线的性质得出∠E=∠3，即可得出结论．
【详解】
证明：∵AD∥BE
∵∠A=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2
∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行）
∴∠E=∠3（两直线平行，内错角相等）
∴∠A=∠E．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意它们的区别．
22．（1）挂式空调每台的采购价是2800元，电风扇每台的采购价是160元；（2）该经营业主最多可再购进空调8 台．
【分析】
（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，利用购进8台空
解析：（1）挂式空调每台的采购价是2800元，电风扇每台的采购价是160元；（2）该经营业主最多可再购进空调8 台．
【分析】
（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，利用购进8台空调和20台电风扇共花资金25600元；购进10台空调和30台电风扇共花资金32800元，列方程组即可得到答案；
（2）设再购进空调a台，则购进风扇(50-a)台，再利用购买这两种电器的资金不超过30000元，列不等式，即可得到答案.
【详解】
解：（1）设挂式空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，
根据题意，得，
解得．
即挂式空调和电风扇每台的采购价分别是每台元，元.
（2）设再购进空调a台，则购进风扇(50-a)台，由已知，得，

解得：，
为正整数，
的最大整数值为 即经营业主最多可再购进空调8台.
答：挂式空调每台的采购价是2800元，电风扇每台的采购价是160元．该经营业主最多可再购进空调8台.
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，准确的确定相等关系与不等关系列方程组与不等式是解题的关键.
23．（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲，，
①
解析：（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲，，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得：，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得：，
解得：，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
24．（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s
【分析】
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性
解析：（1）见详解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s
【分析】
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【详解】
（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，

∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，

∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°，
故答案为：15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，

∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°−105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；
（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，

∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，
∵DE＋EF＋DF＝35cm，
∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），
即四边形DEAD′的周长为45cm；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，

∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴3t＝30，
解得：t＝10；
BC∥EF时，如图6，

∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，

∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴3t＝120，
解得：t＝40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
25．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】
（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，
解析：（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】
（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．
（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可；
【详解】
解：（1）过M作MN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，

∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：

延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α．
②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．

综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l∥AB，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M与已知角∠A、∠C的数量关系联系起来，从而求得∠M的度数．