振动理论基础.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十六章 振动理论基础,16-1 单自由度系统的自由振动,16-2 计算系统固有频率的能量法,16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动,16-4 单自由度系统的受迫振动,16-5 隔振的概念,1,机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为,振动,。振动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。,谈谈本专业内有关振动问题！？,？,2,系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作用下维持的振动称为,自由振动,。,16-1 单自由度系统的自由振动,图示为单自由度系统自由振动的简化模型，它是从实际振动系统中抽象出的简图。设弹簧原长为,l,o,，刚度为,k,，物块质量为,m,，静平衡时，弹簧变形为,st,（称静变形），有,3,以平衡位置为原点，建立图示坐标。物块在一般位置的受力如图示，则其振动微分方程为,令 ，代入上式，,得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式,4,其通解,频率,周期,积分常数,A,和,分别为振幅和初位相。它们由运动的初始条件决定。,圆频率（或固有圆频率、固有频率）,5,频率,和,周期,只与系统本身所固有的惯性和弹性有关，而与运动的初始条件无关，是描述振动系统基本性质的重要物理量。,6,质量,m=0.5,kg,的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。当物块下落高度,h,=0.1m,时撞于无质量的弹簧上并不再分离。弹簧刚度,k=,0.8,kN,/m,，倾角,30,0,，求系统振动的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。,例16-1,7,解：,物块在平衡位置时，弹簧静变形,以此位置为原点O，建立图示坐标。,物块受力如图，其运动微分方程为,化简后得,系统的固有频率,8,当物块碰上弹簧时，取时间,t,=0,，作为振动的起点。,则运动的初始条件：,初位移,初速度,得振幅及初位相,mm,物块的运动方程,9,如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为,m,的物块，其静挠度（静变形）为,2mm,。若将物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。,例16-2,10,解：,此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数,取重物平衡位置为坐标原点，,x,轴方向铅直向下，运动微分方程为:,式中圆频率,11,在初瞬时,t,0,，物块位于未变形的梁上，其坐标,x,0,st,=,2mm,，初速,v,0,=0,，则,初位相,振幅,系统的振动规律,mm,mm,12,等效弹簧并联和串联弹簧,并联弹簧,下图表示刚度分别为,k,1,和,k,2,的两个弹簧并联的两种形式，其分析方法相同。,由平衡方程得,式中,为并联弹簧的等效弹簧刚度。,n,个并联弹簧的等效刚度,13,串联弹簧,图示为串联弹簧。,静平衡时，变形分别为 和 。,弹簧总伸长,等效弹簧刚度,n,个弹簧串联，则有,14,图为一摆振系统。杆重不计，球质量为,m,，摆对轴,O,的转动惯量为,J,，弹簧刚度为,k,，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求系统微小振动的运动微分方程及振动频率。,例16-3,15,解：,摆处于平衡位置时，弹簧已压缩,由平衡方程,有,以平衡位置为角坐标原点，摆绕轴O的转动微分方程,得系统自由振动微分方程,固有频率,可见，只要以平衡位置为坐标原点，系统的运动微分方程具有标准形式。,16,16-2 计算系统固有频率的能量法,对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守恒定律求出，称为能量法。,设图示系统作简谐振动，则有,若以平衡位置为势能零点，则系统势能,17,系统动能,由机械能守恒，即T+V常数，则,系统固有频率,表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。,只要写出系统的动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率，而不必列写系统的微分方程。,18,图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为,R,，半径为,r,的鼓轮上绕有细绳，轮上连一铅直弹簧，轮上挂一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为,J,，弹簧刚度为,k,，重物质量为m。求系统振动的固有频率。,例16-4,19,解：,以系统平衡时重物的位置为原点，取,x,为广义坐标。,设系统振动的规律为,则,塔轮角速度,系统动能,20,取平衡位置为势能零点，系统的势能为,由,得系统的固有频率,21,在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。,例16-5,22,解：,取摆角 为广义坐标，设其变化规律为,系统动能,以平衡位置为势能零点，系统势能,由,得固有频率,23,如图所示，质量为m,，半径为,r,的圆柱体，在半径为R 的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,例16-6,24,解：,取摆角 为广义坐标，设其微振动规律为,圆柱体中心O,1,的速度,由运动学知，当圆柱体作纯滚动时，,角速度,系统动能,25,整理后得,系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置,C,为势能零点，则系统势能,圆柱体作微振动,26,由,得,27,16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动,由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称,线性阻尼,。即,式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数,c,取决于阻尼介质的性质和物体的形状。,28,1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式,图（a）为一有阻尼的质量-弹簧系统。取平衡位置为坐标原点，受力如图（b）。,阻力,微分方程为,或,化简得,代入上式得衰减振动微分方程的标准形式,令,29,2、微分方程的解,设 ，代入式中，得特征方程,方程的两个根,通解,有三种可能情形：,30,小阻尼情形,当 或 时，称为,小阻尼,。,此时,令,则,得运动方程,如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为,衰减振动,。,31,衰减振动的周期,令,称为,阻尼比,。,周期T,d,较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。,阻尼对周期的影响很小,，可忽略不计，取T,d,T。,则,32,阻尼对振幅的影响,为描述振幅 A,i,的衰减，引入减幅系数,（或称,振幅缩减率,）。由图示得,上式表明：衰减振动的振幅按几何级数递减。,阻尼对自由振动的振幅影响较大,。,例如：0.05时，T,d,1.00125T而经过10个周期后，振幅只及原振幅的4.3%。,33,初始幅值,A,和初位相取决于初始条件。,对上式两边取对数得,对数缩减率,所以,设t0时，则有,34,临界阻尼情形,当 或 时，称为,临界阻尼,。,此时，。微分方程的解为,不具有振动的特点,，积分常数C,1,、C,2,由初始条件定。运动图如图所示。,35,大阻尼情形,当 或 时，称为,大阻尼,。,此时微分方程的解为,积分常数C,1,、C,2,由初始条件定。运动图如图所示。,36,图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为k,1,，圆盘对杆轴的转动惯量为,J,。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，其衰减扭振的周期为T,d,。求圆盘所受阻力偶的矩与转动角速度的关系。,例16-7,37,解：,盘外缘切向阻力与转动速度成正比，则此阻力偶矩,M,与角速度成正比，且转向相反。,设 ，为阻力偶系数，则圆盘绕杆轴转动的微分方程为,或,由此得衰减振动周期,38,则阻力偶系数,得,39,16-4 单自由度系统的受迫振动,振动系统在外加持续激励下的振动称为,受迫振动,。下面仅讨论简谐激励情形。图示为三种类型的简谐激励，分别是：激励力直接作用；弹簧端点运动引起的激励和偏心转子引起的激励。,40,1、激振力直接作用下的受迫振动,振动微分方程,图为受迫振动系统的简化模型。,激振力,其中，H为最大激振力，为激振力的圆频率。,以平衡位置为坐标原点，则：,令,整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式,41,微分方程的解,方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和该方程的一个特解。,上式右端第一项为衰减振动，经过短暂时间，即趋于衰减，称,瞬态响应,。最后得到持续的等幅振动，称,稳态响应,，即系统的受迫振动,由式可知，,受迫振动的频率等于激振力的频率,。,将上式代入微分方程式，化简后得到受迫振动的,振幅,和,位相差,42,式中,分别称为,频率比,、,阻尼比,和由最大激振力引起的弹簧的静变形。,43,受迫振动的振幅与静变形之比称,放大系数,，即,当一定，与,间的关系如图所示，称为,幅频特性曲线,。由图可知：,幅频特性,当1时，阻尼对振幅的影响很小，可忽略不计。,共振区,=0.751.25。在此区域内阻尼对振幅有显著影响，1时，振幅急剧增加出现峰值的现象，称为,共振,。对应曲线峰值的频率，称为系统的共振频率。,44,当,1时，阻尼对振幅影响可忽略不计。,小阻尼时，共振频率近似等于固有频率，共振振幅近似与阻尼比成反比，即,45,相频特性曲线如图所示。由图可知，当有阻尼时，,随频率比/,n,连续变化。,当1时，,0，受迫振动位移与激振力接近同位相。当 1时，,，受迫振动与激振力接近反位相。当1时，与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征。,相频特性,工程上利用此特点，通过实验测定系统固有频率,n,。,46,2、弹簧端点作简谐运动引起的受迫振动,振动系统的简化模型如图所示。设台面光滑，端点,A,的运动规律,则弹簧恢复力,微分方程,令,得,与,激振力直接作用下的受迫振动,形式相同。前述有关受迫振动的讨论适用于此。,47,3、偏心转子引起的受迫振动,电机安装在基础上，如图所示，弹性地基简化为刚度为k的弹簧。,设基础质量为m,1,，电机定子质量为m,2,，转子质量为m，偏心距,e,。转子以匀角速度转动。由于偏心，系统将沿铅垂方向作受迫振动。,建立图示坐标轴,O,x,。系统在平衡位置时，有,转子质心的加速度,48,由质心运动定理，得,得,令,得微分方程的标准形式,与,激振力直接作用下的受迫振动微分,形式相同。,49,令,则,代入,注意到激振力幅值与其频率有关，得系统受迫振动的振幅,放大系数,50,幅频特性曲线如图所示,当0时，,b,0，,0；当,1,时，,又逐渐减少，当,很大时，,1,；当,=1,时发生共振，此时转子的转速称为,临界转速,。,51,图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为,k,。测振仪放在振动物体表面，并随物体而运动。设物体的振动规律为,求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。,例16-8,52,解：,测振仪随物体振动，则其弹簧悬挂点的运动规律为,取,t,=0 时物块的平衡位置为坐标原点，取,x,轴如图。在任一瞬时,t,，弹簧的变形为,物块的运动微分方程,注意到 ，上式整理后，得,53,受迫振动规律为,此时激振力的力幅为,H=ke,，由式得,由于测振仪壳体也在运动，其振幅为,e,，因而图中记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 。由式可知，当 时，有 ，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。,54,例16-9,图为一无重刚杆。一端铰支，距铰支端,l,处有一质量为m 的质点，距 2,l,处有一阻尼器，其阻尼系数为,c,，,A,端有一刚度为,k,的弹簧，并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率,n,，以及当激振力频率,等于,n,时质点的振幅。,55,解：,取摆角,为广义坐标，系统平衡位置为坐标原点。,整理后得,令,当 时，得振幅（最大摆角）,质点的振幅,受力如图示。由刚体转动微分方程得,56,电动机安装在基础上，基础下面是弹性基地，如图所示。已知地基的弹性系数为,k,，基础质量为,m,1,，电动机定子质量为,m,2,，转子质量为,m,，转子有偏心距,e,，转子以匀角速度,转动。求：（1）基础的强迫振动的振幅；（2）基础对电动机的铅直动约束力。,e,x,y,m,1,g,C,O,平衡位置,m,g,m,2,g,F,例16-10,57,1.将电动机和基础看成一质点系分析它的运动和受力情况,弹性力,(a),(b),(c),解:,e,x,y,m,1,g,C,O,平衡位置,m,g,m,2,g,F,应用,得,因为平衡时,则有,58,（2）,(d),根据振动理论，系统的固有频率为,强迫振动的规律为,其振幅为,(e),(f),(g),或,e,x,y,m,1,g,C,O,平衡位置,m,g,m,2,g,F,59,2.求地基对电动机的铅直动约束力。,由此求出动约束力,(h),将式(f)对,t,微分两次，并将式(g)代入后，有,(f),(g),e,y,C,O,m,g,m,2,g,F,N,取电动机为研究对象，由质心运动定理得,60,16-5 隔振的概念,减轻振动的危害，在工程上是一个重要的研究课题。,通常有以下的减振措施：,抑制振源强度例如，对高速转子进行静平衡和动平衡试验，以消除不平衡的惯性力；为减小车辆振动提高路面或轨道的质量；减小高层建筑的迎风面积以降低风载等。消振采用多种形式的消振器，如动力消振器，阻尼消振器等。隔振将振源与减振体隔开，隔断振动的传播，降低振源的影响。,本节只讨论隔振的理论基础。按照研究对象的不同，分为主动隔振和被动隔振。其隔振效果均以隔振系数表示。,61,主动隔振,主动隔振是将振源与支承它的基础隔开。,研究的对象是振源本身,。如电机、水泵、铸压机械等。为减小机器的振动对周围环境的影响，垫上橡胶、枕木等弹性支承，以降低振动传到基础上的强度。,图为主动隔振的简化模型，激振力,系统稳态受迫振动规律,振幅,62,物块振动时，通过弹簧和阻尼器传到地基上的力分别为,它们以相同的频率作简谐变化，但相位差。用旋转矢量表示如图所示。,隔振之后传给地基的力的最大值,和,主动隔振系数（力的传递率）,63,图是在不同阻尼情况下的,曲线。由图可知，只有当时才有意义。即以后才有隔振效果。,当 时，加大阻尼反而会使,增大，降低隔振效果。但阻尼太小，又会使机器起动时通过共振区的振幅过大，因此采取隔振措施时，要选择适当的阻尼，使隔振效果良好，而振幅又在规定范围内，以保证机器的正常运转。,64,被动隔振,将需要保护的仪器设备与振源隔开，称为被动隔振。,研究的对象是减振体,，振源是周围环境。例如，在仪器底部垫上软垫；将放置在车辆上的测量仪器用弹簧吊起来等。图为被动隔振的简化模型。,设地基振动规律,弹簧力,阻力,被隔振对象的运动微分方程：,65,其中,受迫振动规律,振幅,被动隔振系数（或称位移的传递率）,曲线如图所示。,66,图为一汽车在波形路面行走的力学模型。路面的波形可用公式,表示，其中幅度,d,=25mm，波长,l,=5m。汽车质量m=3000,kg,，弹簧刚性系数,k,=294kN/m。忽略阻尼，求汽车以速度,v,=45km/,h,匀速前进时，车体的垂直振幅及汽车的临界速度。,例16-11,67,解：,汽车匀速行驶的位移,若以汽车起始位置为坐标原点，则路面的波形方程可写为,令,则,式中,相当于位移激振频率，将速度,v,=45km/,h12.5m,/,s,代入，求得,68,系统的固有频率为,频率比,求得位移传递率为,振幅,69,当,=,n,时，系统发生共振，有,临界速度,70,作业：P254P261,16-7、16-9、16-12、16-16,71,