初中数学青岛九年级上册期末数学试卷.doc

期末数学试卷
一．选择题
1．下列哪个方程是一元二次方程（　　）
A．2x+y＝1 B．x2+1＝2xy C．x2+＝3 D．x2＝2x﹣3
2．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
3．把一元二次方程（x+3）（x﹣5）＝2化成一般形式，得（　　）
A．x2+2x﹣17＝0 B．x2﹣8x﹣17＝0 C．x2﹣2x＝17 D．x2﹣2x﹣17＝0
4．sin60°+tan45°的值等于（　　）
A． B． C． D．1
5．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），则点Q与⊙P的位置关系是（　　）
A．点Q在⊙P外 B．点Q在⊙P上 C．点Q在⊙P内 D．不能确定
6．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（　　）
A．90 B．180 C．270 D．3600
8．一元二次方程x2+6x+9＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为的中点，AC交OD于点E，OB＝2，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．
10．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
①若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；
②b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立
其中正确的是（　　）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有①②③④ D．只有①④
11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（　　）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35
12．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作⊙A、⊙B、⊙C，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影部分面积之和等于（　　）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二．填空题
13．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝　 　°．
14．已知⊙O的半径为3cm，点A、B、C是直线l上的三个点，点A、B、C到圆心O的距离分别为2cm，3cm，5cm，则直线l与⊙O的位置是　 　．
15．一个等边三角形边长的数值是方程x2﹣3x﹣10＝0的根，那么这个三角形的周长为　 　．
16．两个相似三角形的相似比为2：3，他们的周长差为30，则较大三角形的周长为　 　．
17．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为　 　．

三．解答题
18．计算
（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°；
（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°

19．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣16＝0
（2）5x2+2x﹣1＝0．

20．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．

21．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，点F是ME上的一点，且EF＝CF．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若∠B＝2∠A，AB＝8，且AC＝CE，求BM的长．

23．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足（x1+1）（x2+1）＝8，求m的值．

24．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，那么该古城墙的高度是？

25．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）

26．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分（弓形）面积．

27．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．

参考答案
一．选择题
1．解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
2．解：3m×2m＝6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080m2，
故选：C．
3．解：（x+3）（x﹣5）＝2，
去括号得：x2﹣5x+3x﹣15＝2，
移项得：x2﹣5x+3x﹣15﹣2＝0，
合并同类项得：x2﹣2x﹣17＝0，
故选：D．
4．解：sin60°+tan45°
＝+1
＝．
故选：B．
5．解：∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），
∴QP＝＝＞5，
∴点Q与⊙P的位置关系是：点Q在圆⊙P外．
故选：A．
6．解：sinA＝＝，
故选：A．
7．解：∵两个相似三角形的一组对应高的长分别为15，5，
∴两三角形的相似比为3：1，
∴其面积比为32：12＝9：1，
∴设两相似三角形的面积分别为9x和x，
根据题意列方程得，9x﹣x＝80，
x＝10．
则较大正六边形的面积为90，
故选：A．
8．解：∵△＝62﹣4×1×9＝0，
∴一元二次方程x2+6x+9＝有两个相等的实数根．
故选：A．
9．解：连接OC．

∵＝，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOD＝∠DOC，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∴AE＝AO•sin60°＝，
故选：A．
10．解：若方程两根为﹣1和2，则＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，2a+c＝2a﹣2a＝0，故①正确；
若b＞a+c，设a＝4，b＝10，c＝5，则△＜0，一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，故②错误；
若b＝2a+3c，则△＝b2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故③正确．
若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），
而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2
＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2
＝4abm﹣4abm﹣4ac+b2
＝b2﹣4ac．故④正确；
故选：B．
11．解：连接AG，

∵S△CGA+S△BGA＝S△ABC，
∴+＝×AC×BD，
∵AC＝AB，
∴GE+GF＝BD，
∵BD＝4，GE＝1.5，
∴GF＝2.5，
∵tanC＝2＝，BD＝4，
∴CD＝2，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴EG∥BD，
∴△CEG∽△CDB，
∴＝，
∴＝，
解得：BG＝，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝BF2+GF2，
（）2＝BF2+2.52，
解得：BF＝1.25（负数舍去），
故选：C．
12．解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半径都是0.5，扇形的三个圆心角正好构成三角形的三个内角，
∴阴影部分扇形的圆心角度数为180°，
∴S阴影＝＝．
故选：B．
二．填空题
13．解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
14．解：因为⊙O的半径为3cm，点A、B、C到圆心O的距离分别为2cm，3cm，5cm，
2cm＜3cm，
所以直线l与⊙O的位置是相交；
故答案为：相交．
15．解：x2﹣3x﹣10＝0，
（x﹣5）（x+2）＝0，
即x﹣5＝0或x+2＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣2．
因为方程x2﹣3x﹣10＝0的根是等边三角形的边长，
所以等边三角形的边长为5．
所以该三角形的周长为：5×3＝15．
故答案为：15．
16．解：设较大三角形的周长是3x，较小三角形的周长是2x，则3x﹣2x＝30，
解得x＝30，那么较大三角形的周长是3x＝90，
故答案为：90．
17．解：过点O作OH⊥AB与点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∵O为三角形外心，
∴∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝1，
故答案为：1

三．解答题
18．解：（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°
＝2×﹣+1
＝2﹣；

（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°
＝×12+（）2﹣3×（）2
＝+﹣
＝﹣．
19．解：（1）∵（x﹣2）2﹣16＝0，
∴（x﹣2）2＝16，
∴x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，
解得：x1＝﹣2，x2＝6；

（2）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1，
∴△＝22﹣4×5×（﹣1）＝24＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
20．解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）由（1）可知：：△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵点E是AC的中点，设AE＝x，
∴AC＝2AE＝2x，
∵AD＝8，AB＝10，
∴＝，
解得：x＝2，
∴AE＝2．
21．解：（1）如图，作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵cosC＝＝，AC＝，
∴CH＝1，AH＝＝1，
在Rt△ABH中，∵tanB＝＝，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．

（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD＝＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝．
∴∠ADC的正弦值为．
22．（1）证明：如图，连接OC，设EM交AC于H．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
∵FE＝FC，
∴∠E＝∠FCE，
∴∠E+∠CHE＝90°，∠FCE+∠FCH＝90°，
∴∠FCH＝∠FHC，
∵∠A+∠AHM＝90°，∠AHM＝∠FHC＝∠FCH，
∴∠FCH+∠A＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠FCH+∠OCA＝90°，
∴∠FCO＝90°，
∴FC⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝8，∠B＝2∠A
∴∠A＝30°，
∴BC＝AB＝4，AC＝BC＝4，
∵AC＝CE，
∴CE＝4，
∴BE＝BC+CE＝4+4，
在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°
∴BM＝BE＝2+2．
23．解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根，
∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得：m≥．
（2）∵x1、x2为方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2．
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∴m2+2+2（m+1）+1＝8，
整理，得：m2+2m﹣3＝0，即（m+3）（m﹣1）＝0，
解得：m1＝﹣3（不合题意，舍去），m2＝1，
∴m的值为1．
24．解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝，
即：＝，
解得：PD＝9.6（米）．
答：该古城墙的高度是9.6m．
25．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1×＝，
∴GM＝AB＝，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝，
∴EM＝EG+GM＝+，
答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．
26．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，
∴AD＝AB，
∴∠D＝∠ABC，
∵∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE．

（2）解：由（1）可知：∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC＝2，
连接OC，则∠COB＝120°，
∴S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝﹣×××2＝﹣．

27．解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为 20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，
根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，
解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．
∴该种植户每年投资的增长率为50%；
（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．