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第13章 单元测试
一．选择题（共9小题）
1．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．直线是有长度的线 B．两个数的绝对值一定不相等
C．相等的角一定是对顶角 D．整数是有理数
2．如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC为（ ）
A．10 B．8 C．12 D．9
3．如图，等边△ABC的周长为18，且AD⊥BC于点D，那么AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．6
4．下列命题是真命题的个数是（ ）
①对顶角相等，两直线平行； ②两直线平行，内错角相等；③同旁内角互补，两直线平行；④同位角相等，两直线平行；⑤1的平方根是1；⑥﹣8的立方根±2．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，△ABC≌△EBD，AB=4cm，BD=7cm，则CE的长度为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
6．如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=18°，∠EDC=12°，则∠DAE的度数为（ ）
A．58° B．56° C．62° D．60°
7．如图，AB∥CD，AD∥BC，EF过点O，图中全等三角形共有（ ）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
8．如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，DE垂直平分AB，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
9．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则B6B7的边长为（ ）
A．6 B．12 C．32 D．64
二．填空题（共5小题）
10．如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=17cm，则△ODE的周长是 cm．
11．如图，O为直线AB上一点，∠AOC的平分线是OM，∠BOC的平分线是ON，则∠MON的度数为 ．
12．如图，点A，E，F，C在同一直线上，AB∥CD，BF∥DE，BF=DE，且AE=2，AC=8，则EF= ．
13．张老师把红、白、蓝各一个气球分别送给三个小朋友．根据下面三句话，请你猜一猜，他们分到的各是什么颜色的气球？
（1）小春说：“我分到的不是蓝气球．”
（2）小宇说：“我分到的不是白气球．”
（3）小华说：“我看见张老师把蓝气球和红气球分给上面两位小朋友了．”
则小春、小宇、小华分别分到 颜色的气球．
14．在△ABC中，BA=BC，AC=14，S△ABC=84，D为AB上一动点，连接CD，过A作AE⊥CD与点E，连接BE，则BE的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
15．如图，已知∠AOB=108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内．
（1）若∠COE=∠AOE，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOC﹣∠AOC=72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？
16．已知一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，求这个等腰三角形的周长．
（1）完成部分解题过程，在以下解答过程的空白处填上适当的内容．
解：①当2x﹣1=x+1时，解x= ，此时 构成三角形（填“能”或“不能”）．
②当2x﹣1=3x﹣2时，解x= ，此时 构成三角形（填“能”或“不能”）．
（2）请你根据（1）中两种情况的分类讨论，完成第三种情况的分析，若能构成等腰三角形，求出这个三角形的周长．
17．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE．
（1）写出一对全等的三角形：△ ≌△ ；
（2）证明（1）中的结论；
（3）求证：点G为BC的中点．
18．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm
①作出△ABC的高线CD；
②求CD的长．
（2）已知，如图2，△ABC中，∠ABC=26°，∠C=48°，BD⊥CA于点D，∠BAC的平分线EA交BD的延长线于点F，求∠F的度数．
19．如图，已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分角∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数？
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA，且∠AOB=α，求∠EOF的度数，（用含α的式子表示）
参考答案：
一．选择题
1．D．
2．A．
3．C．
4．B．
5．C．
6． B．
7．C．
8．B．
9．C．
二．填空题
10．17．
11．90°．
12．4．
13．红、蓝、白．
14．5．
三．解答题
15．解：（1）∵∠COE=∠AOE，
∴∠AOE=3∠COE，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴∠AOB=2∠AOE=6∠COE，
∵∠AOB=180°，
∴∠COE=18°，
∴∠AOC=2∠COE=2×18°=36°；
（2）OB⊥OC，
设∠BOC=x°，则∠AOC=108°﹣x°，
∵∠BOC﹣∠AOC=72°，
∴x﹣（108﹣x）=72，
解得x=90，
∴∠BOC=90°，
∴OB⊥OC．
16．解：（1）①当2x﹣1=x+1时，解x=2，此时3，3，4，能构成三角形．
②当2x﹣1=3x﹣2时，解x=1，此时1，2，1不能构成三角形．
故答案为2，能，1，不能；
（2）③当x+1=3x﹣2，解得x=，此时2，，能构成三角形．
17．（1）解：结论：△ABE≌△ACD．
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD．
故答案为ABE，ACD．
（3）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴BF=CF，∵AB=AC，
∴AF垂直平分线段BC，
∴BG=GC，
∴点G为BC的中点
18．解：（1）①作出△ABC的高线CD如图所示：
②∵AC×BC=AB×CD，
∴AC×BC=AB×CD，
∵AB=13，BC=12，AC=5，
∴5×12=13×CD，
∴CD=．
（2）∵∠C+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠C﹣∠ABC．
∵∠ABC=26°，∠C=48°，
∴∠BAC=180°﹣48°﹣26°=106°．
∵EA平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=53°，
∵BD⊥CA，
∴∠ADF=90°．
∴∠F+∠DAF=90°，
∵∠DAF=∠EAC=53°，
∴∠F=90°﹣∠DAF=90°﹣53°=37°．
19．解：（1）∵OF平分∠AOC，
∴∠COF=∠AOC=×30°=15°，
∵∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=120°﹣30°=90°，OE平分∠BOC，
∴∠EOC=∠BOC=45°，
∴∠EOF=∠COF+∠EOC=60°；
（2）∵OF平分∠AOC，
∴∠COF=∠AOC，
同理，∠EOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠COF+∠EOC
=∠AOC+∠BOC
=（∠AOC+∠BOC）
=∠AOB
=α；
（3）∵∠EOB=∠COB，
∴∠EOC=∠COB，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF
=∠COB+∠COA
=∠BOC+∠AOC
=∠AOB
=α．
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