证明教案.doc

2.2 命题与证明
第三课时 证明
教学目标：
1.了解证明的基本步骤和书写格式，感受数学的严谨，发展初步演绎推理能力；
2.能应用公理和定理证明三角形的外角和定理，并能简单应用；
3.了解反证法的步骤和格式.
重点：三角形外角和定理的证明和简单应用
难点：证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力
教学设计：
一、情景导入
有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用？
爱因斯坦问他：“两个人从烟囱里爬出来，一个满脸灰尘，一个干干净净，你认为哪个会去洗澡？”
“当然是脏的那个。”学生说。
“不对，脏的那个看到对方干干净净，以为自己也不会脏，哪里会洗澡？”爱因斯坦说。
这个小故事中，学生是从自己主观的角度判断，但是逻辑学是从推理验证的角度，从已有的事实出发来推理。生活中我们经常会用到逻辑推理，同样的，在数学中逻辑推理实际上就是证明，那么如何证明一个命题呢？我们这节课就一起来探讨。
二、探讨新知
思考：三角形外角和是多少度？
通过之前探究三角形的内角和，很多同学马上想到了可以采用度量法和剪拼法。
幻灯片演示剪拼法。
我们通过实验操作得到了一个猜想“三角形的外角和为360°”，但这只是一个猜想，不一定是真命题，实践操作可能出现误差，我们更希望通过严谨的数学推理证明来得到这个结论。
证明之前我们先来分析一下这一命题的条件和结论
幻灯片给出证明的已知和求证
我们知道要证明一个命题，要运用已有的定义，基本事实和已经证明了的定理和推论，那我们回忆一下我们已经证明了哪些有关的定理。
1、三角形的内角和为180°
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2、平角的定义（平角为180°）
3、周角的定义（周角为360°）
先给两分钟学生独立思考，然后引导学生思考，之前我们在证明三角形内角和定理时学习了一种很重要的数学思想-转换思想，在这里证明三角形的外角和能否将外角转换到相关的内角呢？可以运用哪条推论
运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可以将三角形的三个外角转换成和它相关的内角
∠FBA=∠2+∠3
∠DAC=∠1+∠3
∠BCE=∠1+∠2
三角形的内角和我们知道是∠1+∠2+∠3=180°
那么我们是不是可以运用代数的方法，等式的性质，所以我们在解决几何问题时有时也会运用代数的方法，这体现了我们数学中的数形结合的思想
带领学生一起完成证明过程
拓展：还有其他方法吗？
我们可不可以从刚刚的实践操作中找灵感？在剪拼法中我们将角剪下来转换成了一个周角，那可不可以不将角剪下来直接在原图形上实现角的转换呢？
作辅助线（平行线），得到平行线的目的是什么？得到相等的角，实现角的转换。
实现角的转换后可以构造一个周角。
还有其他方法吗？能不能利用平角呢？
方法还有很多种，同学们有兴趣可以下课之后再去探讨。
通过以上的证明推理，我们从理论验证的角度进行了证明
三角形的外角和为360°。
那么以后我们就可以将这个命题作为三角形内角和定理的一条推论直接使用。
我们回过头来看看我们证明的过程
第一步，根据题意，画出图形
第二步，根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知和求证
第三部，通过分析，找出证明的途径，写出证明的过程
A
D
B
C
2
1
3
4
练习：
1、如图所示，判断下列推理的正误。
（1）∵∠2=∠4∴AD//BC
（2）∵∠1=∠3∴AD //BC
（3）∵∠4+∠D=180°
∴AD //BC
（4）∵∠4+∠B=180°
∴AB //CD
2、已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的内角
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°
这道题运用了数学一种间接证明的方法，反证法。
课堂小结：反证法的做题思路，否定结论，导出矛盾，肯定结论
练习：
1、用反证法证明“若a⊥b，b⊥c，则a //b”时，
应假设（ ）
A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c
D
A
B
C
E
2
1
C.a⊥b D.a与b相交
2、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果
两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”
时，应假设______________________。
3、如图，∠B=∠C，B,A,D在同一直线上，
AE是∠DAC的角平分线
求证：AE //BC

三、梳理巩固
今天学了什么？
1、 证明与图形相关命题的一般步骤
2、 反证法