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建筑力学四套复习题
一、 选择题
1．能够限制角位移的支座是( B ) 。
A．固定铰支座与定向支座
B．固定支座与定向支座
C．固定铰支座与固定支座
D．滚动铰支座与固定铰支座
2．当物体处于平衡状态时, 该物体系中的每一个物体是否处于平衡状态取决于( D ) 。
A．体系的形式
B．约束的形式
C．荷载
D．无条件, 必定处于平衡状态
3．一般情况下, 平面任意力系向平面内任选的简化中心简化, 能够得到一个主矢与主矩
( A ) 。
A．主矢与简化中心的位置无关, 主矩一般与简化中心位置有关
B．主矢与简化中心的位置有关, 主矩一般与简化中心位置无关
C．主矢与主矩一般均与简化中心的位置有关
D．主矢与主矩一般均与简化中心的位置无关
4．结点法与截面法是计算( D ) 的两种方法。
A．梁
B．拱
C．刚架
D．桁架
5．当梁上某段作用的均布载荷为常量时, 此段( C ) 。
A．剪力图形为零, 弯矩图形为一直线
B．剪力图形为水平直线, 弯矩图形为一斜直线
C．剪力图形为斜直线, 弯矩图形为二次曲线
D．剪力图形为水平直线, 弯矩图形为二次曲线
6．低碳钢的整个拉深过程可分为四个阶段, 其中应力几乎不变、 而变形却急剧增长。这种现象称为流动的阶段为( B ) 。
A．弹性阶段
B．屈服阶段
C．强化阶段
D．颈缩阶段
7．位移法的基本未知量是( C ) 。
A．杆件的变形
B．多余约束力
C．结点位移
D．支座位移
8．在位移法的基本方程中( A ) 与载荷无关, 为结构常数。
A．主系数和副系数
B．主系数和自由项
C．副系数和自由项
D．自由项
9．在力法典型方程的系数和自由项中, 数值范围可为正、 负实数或零的有( D ) 。
A．主系数
B．主系数和副系数
C．主系数和自由项
D．副系数和自由项
10．对称结构作用反对称载荷时, 内力图为反对称的有( B ) 。
A．N图和Q图
B．N图和M图
C．Q图和M图
D．Q 图
二、 简答题
1.静力学研究的内容是什么?
答: 静力学是研究物体在力系作用下处于平衡的规律。
2. 什么叫平衡力系?
答: 在一般情况下, 一个物体总是同时受到若干个力的作用。我们把作用于一物体上的两个或两个以上的力, 称为力系。能使物体保持平衡的力系, 称为平衡力系。
3.解释下列名词: 平衡、 力系的平衡条件、 力系的简化或力系的合成、 等效力系。 答: 平衡: 在一般工程问题中, 物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动, 称为平衡。例如, 房屋、 水坝、 桥梁相对于地球是保持静止的; 在直线轨道上作匀速运动的火车, 沿直线匀速起吊的建筑构件, 它们相对于地球作匀速直线运动, 这些物体本身保持着平衡。其共同特点, 就是运动状态没有变化。
力系的平衡条件: 讨论物体在力系作用下处于平衡时, 力系所应该满足的条件, 称为力系的平衡条件, 这是静力学讨论的主要问题。
力系的简化或力系的合成: 在讨论力系的平衡条件中, 往往需要把作用在物体上的复杂的力系, 用一个与原力系作用效果相同的简单的力系来代替, 使得讨论平衡条件时比较方便, 这种对力系作效果相同的代换, 就称为力系的简化, 或称为力系的合成。
等效力系: 对物体作用效果相同的力系, 称为等效力系。
4. 力的定义是什么? 在建筑力学中, 力的作用方式一般有两种情况?
答: 力的定义:
力是物体之间的相互机械作用。这种作用的效果会使物体的运动状态发生变化(外效应), 或者使物体发生变形(内效应)。
既然力是物体与物体之间的相互作用, 因此, 力不可能脱离物体而单独存在, 有受力体时必定有施力体。
在建筑力学中, 力的作用方式一般有两种情况, 一种是两物体相互接触时, 它们之间相互产生的拉力或压力; 一种是物体与地球之间相互产生的吸引力, 对物体来说, 这吸引力就是重力。
5. 力的三要素是什么?
实践证明, 力对物体的作用效果, 取决于三个要素: (1)力的大小; (2)力的方向; (3)力的作用点。这三个要素一般称为力的三要素。
力的大小表明物体间相互作用的强烈程度。为了量度力的大小, 我们必须规定力的单位, 在国际单位制中, 力的单位为N或kN。1 kN=1000 N
力的方向一般包含方位和指向两个涵义。如重力的方向是”铅垂向下”。
力的作用点指力对物体作用的位置。力的作用位置实际上有一定的范围, 不过当作用范围与物体相比很小时, 可近似地看作是一个点。作用于一点的力, 称为集中力。
6.作用力和反作用力之间有什么关系?
答: 若甲物体对乙物体有一个作用力, 则同时乙物体对甲物体必有一个反作用力, 这两个力大小相等、 方向相反、 而且沿着同一直线而相互作用。
作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的力, 任何作用在同一个物体上的两个力都不是作用力与反作用力。
7. 力的表示法如何?
答: 力是一个有大小和方向的量, 因此力是矢量。
一般能够用一段带箭头的线段来表示力的三要素。线段的长度(按选定的比例)表示力的大小; 线段与某定直线的夹角表示力的方位, 箭头表示力的指向; 带箭头线段的起点或终点表示力的作用点。
用字母符号表示力矢量时, 常见黑体字如F或FP等表示一个力。
8. 简述静力学基本原理。
答: 静力学基本原理:
( 1) 二力平衡条件
作用在同一刚体上的两个力, 使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是: 这两个力大小相等, 方向相反, 作用在同一直线上(简称二力等值、 反向、 共线)。
在两力作用下处于平衡的刚体称为二力体, 如果刚体是一个杆件, 则称为二力杆件。
应该注意, 只有当力作用在刚体上时二力平衡条件才能成立。对于变形体, 二力平衡条件只是必要条件, 并不是充分条件。例如满足上述条件的两个力作用在一根绳子上, 当这两个力是张力(即使绳子受拉)时, 绳子才能平衡(图1-2b)。如受等值、 反向、 共线的压力就不能平衡。
图1-2
( 2) 加减平衡力系定理
在作用于刚体的任意力系中, 加上或减去任何一个平衡力系, 并不改变原力系对刚体的作用效应。
( 3) 作用力与反作用力定理
若甲物体对乙物体有一个作用力, 则同时乙物体对甲物体必有一个反作用力, 这两个 力大小相等、 方向相反、 而且沿着同一直线而相互作用。
在力的概念中已提到, 力是物体间相互的机械作用, 因而作用力与反作用力必然是同 时出现, 同时消失。这里必须强调指出。作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的力, 任何作用在同一个物体上的两个力都不是作用力与反作用力。
9.说明合力与分力的概念。
答: 作用于物体上的一个力系, 如果能够用一个力F来代替而不改变原力系对物体的作用效果, 则该力F称为原力系的合力, 而原力系中的各力称为合力F的分力。
10. 力的合成和分解的基本方法是什么?
答: 力的合成和分解的基本方法是平行四边形法则。
11. 荷载的分类有几种分法?
答: 荷载的分类:
( 1) 荷载按作用的性质可分为:
1) 永久荷载(又称为恒荷载)
2) 可变荷载(又称为活荷载):
( 2) 荷载按分布形式可分为:
1) 集中荷载: 荷载的分布面积远小于物体受荷的面积时, 为简化计算, 可近似地看成集中作用在一点上, 这种荷载称为集中荷载。集中荷载在日常生活和实践中经常遇到, 例如人站在地板上, 人的重量就是集中荷载。集中荷载的单位是N (牛顿)或kN (千牛顿), 一般见字母F表示(图1-8所示)。
2) 均布荷载: 荷载连续作用, 且大小各处相等, 这种荷载称为均布荷载。单位面积上承受的均布荷载称为均布面荷载, 一般见字母p表示(图1-9), 单位为N／m2 (牛顿／平方
2米)或kN／m (千牛顿／平方米)。单位长度上承受的均布荷载称为均布线荷载, 一般见字
母q表示(图1-10), 单位为N／m (牛顿／米)或kN／m (千牛顿／米)。
3) 非均布荷载: 荷载连续作用, 大小各处不相等, 而是按一定规律变化的, 这种荷载称为非均布荷载。例如挡土墙所受土压力作用的大小与土的深度成正比, 愈往下, 挡土墙所受的土压力也愈大, 呈三角形分布, 故为非均布荷载(图1-11所示)。
图1-8 图
1-9
图1-10 图1-11
12.什么是约束? 工程中常见的约束有哪几种?
答: ( 1) 能使体系减少自由度的装置称为约束。减少一个自由度的装置称为一个约束, 减少若干个自由度的装置, 就相当于若干个约束。
( 3) 工程中常见的约束有以下几种:
1) 链杆
一根链杆可使刚片减少一个自由度, 相当于一个约束。
2) 铰支座
铰支座可使刚片减少两个自由度, 相当于两个约束, 亦即相当于两根链杆。
3) 简单铰
凡连接两个刚片的铰称简单铰, 一个简单铰相当于两个约束, 或者说相当于两根链杆。
4) 固定端支座
固定端支座可使刚片减少三个自由度, 相当于三个约束。
5) 刚性连接
刚性连接能够减少三个自由度, 刚性连接相当于三个约束。
13.瞬变体系是几何不变还是几何可变?
答: 瞬变体系是可变体系的一种特殊情况, 不能作为结构使用。
14.请举例说明”两两相连”的具体表示。
答: 在三刚片规则中提到”三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连, 组成几何不变体系, 且无多余约束”。”两两相连”的具体表示能够是铰, 也能够是由两根链杆构成的实铰或虚铰,
15.什么才是最基本的几何不变体系?
答: 三个规则其实质, 就是三刚片规则。也就是铰接三角形。几个规则的不同之处仅仅在于把体系的哪些部分看作约束的对象, 哪些部分看作约束, 约束的方式, 以及约束必须遵循什么样的条件, 才能保证体系是无多余约束的几何不变体系。
因此, 铰接三角形是最基本的几何不变体系。
16.为保证结构物正常工作, 结构应满足哪些要求?
答: 为保证结构物正常工作, 结构应满足以下要求
( 1) 强度要求: 构件在外力作用下不会发生破坏, 即构件抵抗破坏能力的要求, 称为强度要求。
( 2) 刚度要求: 构件在外力作用下所产生的变形不应超过一定的范围, 即构件抵抗变形能力的要求, 称为刚度要求。
( 3) 稳定性要求: 构件在外力作用下, 其原有平衡状态不能丧失, 即构件抵抗丧失稳定能力的要求, 称为稳定性要求。
只有满足上述各项要求, 才能保证构件安全正常的工作, 达到建筑结构安全使用的目的。
17.什么是变形体? 变形体分为哪两类?
答: 各种物体受力后都会产生或大或小的变形, 称为变形体。
根据变形的性质, 变形可分为弹性变形和塑性变形。所谓弹性变形, 是指变形体在外力去掉后, 能恢复到原来形状和尺寸的变形。当外力去掉后, 变形不能完全消失而留有残余, 则消失的变形是弹性变形, 残余的变形称为塑性变形或残余变形。
18.在建筑力学范围内, 我们所研究的物体, 一般都作哪些假设?
答: 在建筑力学范围内, 对所研究的变形体作出如下的基本假设:
( 1) 均匀连续假设: 即认为整个物体内部是连续不断地充满着均匀的物质, 且在各点处材料的性质完全相同。
( 2) 各向同性假设: 即认为制成物体的材料沿着各个方向都具有相同的力学性质。
( 3) 弹性假设: 即当作用于物体上的外力不超过某一限度时, 将物体看成是完全弹性体。
总之, 在建筑力学的范围内, 我们研究的材料是均匀连续的, 各向同性的弹性体, 且杆件的变形是很小的。
19.什么是杆件? 什么是等直杆?
答: 所谓杆件, 是指长度远大于其它两个方向尺寸的变形体。如房屋中的梁、 柱、 屋架中的各根杆等等。
杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个主要几何元素来描述。横截面是指与杆长方向垂直的截面, 而轴线是各横截面中心的连线。横截面与杆轴线是互相垂直的。
轴线为直线、 横截面相同的杆称为等直杆。建筑力学主要研究等直杆。
20.杆件变形的基本形式有哪几种?
答: 杆件变形的基本形式有下列四种:
( 1) 轴向拉伸或压缩: 在作用线与杆轴线重合的外力作用下, 杆件将产生长度的改变(伸长或缩短)。
( 2) 剪切: 在一对相距很近、 大小相等、 方向相反、 作用线垂直于杆轴线的外力(称横向力)作用下, 杆件的横截面将沿外力方向发生错动。
( 3) 扭转: 在位于垂直于杆轴线的两平面内的力偶作用下, 杆的任意两横截面将发生相对转动。
( 4) 弯曲: 在位于杆的纵向平面内的力或力偶作用下, 杆的轴线由直线弯曲成曲线。 工程实际中的杆件, 可能同时承受各种外力而发生复杂的变形, 但都能够看作是上述基本变形的组合。
11.何谓轴力图? 轴力图有何作用?
答: 表明沿杆长各横截面轴力变化规律的图形称为轴力图。
轴力图能够形象地表示轴力沿杆长变化的情况, 明显地看出最大轴力所在的位置和数值。
22.试简述画轴力图的方法。
答: 轴力图的画法是: 以平行于杆轴线的坐标x表示杆件横截面的位置, 以垂直于杆轴线的坐标FN表示轴力的数值, 将各截面的轴力按一定比例画在坐标图上, 并连以直线, 就得到轴力图。
23.桁架的计算假设是什么?
答: 在平面桁架的计算简图中, 一般作如下假设:
(1) 各杆轴线为直线;
(2) 不考虑桁架本身的自重;
(3) 各结点为圆柱铰, 铰中心为杆轴线的交点;
(4) 外力作用于结点上, 各杆轴线与外力在同一平面内。
24. 静定平面桁架轴力计算的基本方法如何?
答: 静定平面桁架轴力计算的基本方法有结点法和截面法。
25.结点法和截面法的基础是什么?
答: 结点法是截取一个结点作为研究对象, 利用平衡方程求杆的轴力。结点法的基础是求解平面汇交力系。作用于每个结点上的力交于结点, 组成平面汇交力系, 由于一个平面汇交力系只可列出两个独立的平衡方程, 因此每个结点的未知轴力数目不应多于两个。
截面法是用一假想截面(平面或曲折面)截取桁架的某一部分(两个或两个结点以上)为脱离体, 利用平衡方程求杆的轴力。截面法的基础是利用平衡方程求解平面力系。由于脱离体所受的力一般构成平面一般力系, 而对于一个平面一般力系有三个独立的平衡方程。因此, 用截面法截断杆件的未知轴力数目一般不超过3个。另外, 在求解时应尽可能做到一个方程求解一个未知力, 避免求解联立方程组。
26.构件的承载能力, 指的是什么?
答: 构件满足强度、 刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。
(1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力, 在荷载作用下不致于发生破坏。
(2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力, 在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。
(3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力, 在荷载作用下不致于突然丧失稳定。
27.什么是应力、 正应力、 切应力? 应力的单位如何表示?
答: 内力在一点处的集度称为应力。
垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力, 用σ表示; 相切于截面的应力分量称切应力或切向应力, 用τ表示。
应力的单位为Pa。
1 Pa=1 N／m2
工程实际中应力数值较大, 常见MPa或GPa作单位
1 MPa=106Pa
1 GPa=109Pa
28.应力和内力的关系是什么?
答: 内力在一点处的集度称为应力。
29.应变和变形有什么不同?
答: 单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变, 简称线应变, 以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变, 以ε/表示横向应变。
30.为什么要计算结构的位移?
答: 结构位移计算的目的有两个。一个目的是验算结构的刚度。在结构设计中, 除了应该满足结构的强度要求外, 还应该满足结构的刚度要求, 即结构的变形不得超过规范规定的容许值(如屋盖和楼盖梁的挠度容许值为梁跨度的1/200～1/400, 而吊车梁的挠度容许值规定为梁跨度的1/600)。另一个目的是为超静定结构的内力计算做准备。因为在超静定结构计算中, 不但要考虑结构的平衡条件, 还必须满足结构的变形协调条件。
31. 产生位移的主要因素有哪些?
答: 产生位移的主要因素有下列三种:
(1)荷载作用; (2)温度变化和材料的热胀冷缩; (3)支座沉降和制造误差。
32.结构位移有哪两类?
答: 结构变形时, 结构上某点产生的移动或某个截面产生的移动或转动, 称为结构的位移。
结构的位移可分为两类: 一类是线位移, 指结构上某点沿直线方向移动的距离。另一类是角位移, 指结构上某点截面转动的角度。
33. 线性变形体系的应用条件是什么?
答: 线性变形体系的应用条件是:
(1) 材料处于弹性阶段, 应力与应变成正比关系;
(2) 结构变形微小, 不影响力的作用。
线性变形体系也称为线性弹性体系, 它的应用条件也是叠加原理的应用条件, 因此, 对线性变形体系的计算, 能够应用叠加原理。
34.应怎样理解虚功中作功的力和位移的对应关系?
答: 功包含了两个要素——力和位移。
当做功的力与相应于力的位移彼此独立无关时, 就把这种功称为虚功。在虚功中, 力与位移是彼此独立无关的两个因素。不但能够把位移状态看作是虚设的, 也能够把力状态看作是虚设的, 它们各有不同的应用。
35. 何谓虚功原理?
答: 变形体虚功原理表明: 第一状态的外力在第二状态的位移上所做的外力虚功, 等于第一状态上的内力在第二状态上的变形上所做的内力虚功。即
外力虚功W12=内力虚功W/12
36.何谓广义力? 何谓广义位移?
答: 如果一组力经历相应的位移作功。即一组力能够用一个符号F表示, 相应的位移也可用一个符号Δ表示, 这种扩大了的力和位移分别称为广义力和广义位移。
37．什么是超静定结构? 它和静定结构有何区别?
答: 单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。
从几何组成的角度看, 静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束, 静定结构即成为几何可变体系。也就是说, 静定结构的任何一个约束, 对维持其几何不变性都是必要的, 称为必要约束。对于超静定结构, 若去掉其中一个甚至多个约束后, 结构仍可能是几何不变的。
38．什么是超静定结构的超静定次数?
答: 超静定结构多余约束的数目, 或者多余约束力的数目, 称为结构的超静定次数。
39．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构?
答: 超静定结构的基本结构必须是静定结构。
40．如何确定超静定结构的超静定次数?
答: 确定结构超静定次数的方法是: 去掉超静定结构的多余约束, 使之变为静定结构, 则去掉多余约束的个数, 即为结构的超静定次数。
三、 计算机题
1． 如图2( a) 所示桁架, 试求a、 b两杆的轴力。
[解]( 1) 求支座反力
由
由åMåMB(F)=0 可得 FAy=20kN( ↑) (F)=0 可得 FBy=40kN( ↑) A
( 2) 求杆a和杆b的轴力
以截面Ⅰ—Ⅰ截取桁架左半部
分为脱离体, 画受力图如图2( b)
所示。这时脱离体上共有四个未知
力, 而平衡方程只有三个, 不能解
算。为此再取结点E为脱离体, 画
受力图, 如图2( c) 所示。找出FNa
和FNc的关系。
由投影方程
åFx=FNa´44+FNc´=0 55
得 FNa=-FNc
再由截面Ⅰ—Ⅰ用投影方程
33F=20-F´+F´=0 图
2 åyNcNa55
得 20+2´
FNa=-3×FNa=0 55´20=-16.7kN( 压) 2´3
4然后, 由 åMc(F)=FAy´12-FNa´´6+FNb´6=0 5
得 FNb=-26.7kN( 压)
2．利用微分关系作图示外伸梁的内力图。
[解]( 1) 计算支座反力
由
由åMåMC(F)=0得 FAy=8kN( ↑) (F)=0得 FCy=20kN( ↑) A
根据本例梁上荷载作用的情况, 应分AB、 BC、 CD三段作内力图。
( 2) 作FQ图
AB段: 梁上无荷载, FQ图应为一水平直线, 经过FQA右= FAy=8kN即可画出此段水平线。 BC段: 梁上无荷载, FQ图也为一水平直线, 经过FQB右= FAy—FP=8—20=—12kN, 可画出。
在B截面处有集中力FP, FQ由+8kN突变到
—12kN, ( 突变值8+12=20 kN=FP) 。
CD段: 梁上荷载q=常数＜0, FQ图应是斜直
线, FQC右= FAy—FP+ FCy =8—20+20=8 kN及FQD
=0可画出此斜直线。
在C截面处有支座反力FCy, FQ由—12kN突
变到+8kN( 突变值12+8=20 kN=FCy) 。
作出FQ图如图b所示。
( 3) 作M图
AB段: q=0, FQ=常数, M图是一条斜直线。
由MA=0及MB= FAy×2=8×2=16kN·m作出。
BC段: q=0, FQ=常数, M图是一条斜直线。
由MB=16kN·m及MC= FAy×4—FP×2=—8kN·m
作出。
CD段: q=常数, 方向向下, M图是一条下凸
的抛物线。由MC=—8kN·m、 MD=0, 可作出大
致的曲线形状。
3． 外伸梁受力及其截面尺寸如图( a) 所示。已知材料的许用拉应力[σ+]=40MPa, 许用压应力[σ-]=70MPa。试校核梁的正应力强度。
[解]( 1) 求最大弯矩
作出梁的弯矩图如图( b) 所示。由图中可见, B截面有最大负弯矩, C截面有最大正弯矩。
( 2) 计算抗弯截面系数
先确定中性轴位置及计算截面对中性轴的惯性矩。
中性轴必经过截面形心。截面形心距底边为
yC=åA×y
Ai
iCi=30´170´85+200´30´185=139mm 30´170+200´30
截面对中性轴z的惯性矩为
Iz=å(IzC+a2A)
30´1703200´303
2264=+30´170´54++200´30´46=40.3´10mm1212
由于截面不对称于中性轴, 故应分别计算Wz Wz上=
Izymax上
Iz
ymax下40.3´106==0.66´106mm361=40.3´10=0.29´106mm31396 Wz下=
( 3) 校核强度
由于材料的抗拉性能和抗压性能不同, 且截面又不对称于中性轴, 因此需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。
①校核最大拉应力
首先分析最大拉应力发生在哪里。
由于截面不对称于中性轴, 且正负弯矩又都存在, 因此, 最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的B截面上。应该对最大正弯矩截面C和最大负弯矩截面B上的拉应力进行分析比较。
B截面最大拉应力发生在截面的上边缘, 其值为smax=+MB; C截面最大拉应力发生Wz上
在截面的下边缘, 其值为smax=
判断。 +MC。由于不能直观判断出二者的大小, 故需经过计算来Wz下
B截面 s+
maxMB20´106===30.3 MPa 6Wz上0.66´10
C截面 s+
maxMC10´106===34.5 MPa Wz下0.29´106
比较可知, 最大拉应力发生在最大正弯矩截面的下边缘, 应对其进行强度校核
+smax=34.5MPa<[s+]=40MPa
因此, 满足强度要求。
②校核最大压应力
也要首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应力一样, 也要比较两个截面。B截面最大压应力发生在截面下边缘, 其值为smax=-MB, C截面最大压应力发生在截面上Wz下
边缘, 其值为smax=-MC。因MB>MC, Wz下<Wz上, 因此最大压应力一定发生在BWz上
截面下缘, 应对其进行强度校核
s-
maxMB20´106===69MPa<[s-]=70MPa 6Wz下0.29´10
因此, 满足强度要求。
4． 试求图( a) 所示刚架结点B的水平位移ΔBx, EI为常数。
[解] 先作出MP图和M1图, 如图( b) 、 ( c) 所示。MP图为荷载单独作用下的弯矩图; M1图为在B点水平方向虚设单位力FP=1情况下结构的弯矩图。
由图乘法, 可得
DBx=å
=w×yCEI=1(w1y1+w2y2+w3y3) EIl(´ql´l´l+´ql2´l´l+´ql2´l´)EI 43ql=(®)8EI
5．举例
作图( a) 所示超静定刚架的弯矩图。已知刚架各杆EI均为常数。
[解]( 1) 选择基本结构
图( a) 为二次超静定刚架, 去掉C支座约束, 代之以多余未知力X1、 X2得到如图( b) 所示悬臂刚架作为基本结构。
( 2) 建立力法典型方程
原结构C支座处无竖向位移和水平位移, 故△1=O, △2=0, 则其力法方程为
( 3) 计算系数和自由项
①画基本结构荷载弯矩图MP图如图( c) 所示。 ②画基本结构单位弯矩图M1图和M2图分别如图( d) 、 ( e) 所示。
③用图乘法计算各系数和自由项:
( 4) 求多余未知力
将以上所求得的系数和自由项代入力法方程, 得
解得
其中X1为负值, 说明C支座竖向反力的实际方向与假设相反, 即应向上。
( 5) 根据叠加原理作M图, 如图f所示。
6．试用力矩分配法作图( a) 所示连续梁的弯矩图。
[解]( 1) 计算固端弯矩
将两个刚结点B、 C均固定起来, 则连续梁被分隔成三个单跨超静定梁。因此, 可由表查得各杆的固端弯矩
其余各固端弯矩均为零。
将各固端弯矩填入图( b) 所示的相应位置。由图可清楚看出, 结点B、 C的约束力矩分别为
( 2) 计算分配系数
分别计算相交于结点B和相交于结点C各杆杆端的分配系数。
①由表查得各转动刚度S
结点B:
结点C:
②计算分配系数
结点B:
校核: 12+=1, 说明结点B计算无误。 33
结点C:
校核: 32+=1, 说明结点C计算无误。 55
将各分配系数填入图( b) 的相应位置。
( 3) 传递系数
查表得各杆的传递系数为
有了固端弯矩、 分配系数和传递系数, 便可依次进行力矩的分配与传递。为了使计算收敛得快, 用力矩分配法计算多结点的结构时, 一般从约束力矩大的结点开始。
( 4) 首先放松结点C, 结点B仍固定
这相当于只有一个结点C的情况, 因而可按单结点力矩的分配和传递的方法进行。 ①计算分配弯矩
将它们填入图( b) 中, 并在分配弯矩下面划一条横线, 表示C结点力矩暂时平衡。这时结点C将有转角, 但由于结点B仍固定, 因此这个转角不是最后位置。
②计算传递弯矩
在图( b) 中用箭头表示传递力矩。
( 5) 放松结点B, 重新固定结点C
①约束力矩应当注意的是结点B不但有固端弯矩产生的约束力矩, 还包括结点C传来的传递弯矩, 故约束力矩
②计算分配弯矩
③计算传递弯矩
以上均填入图( b) 相应位置。结点B分配弯矩下的横线说明结点B又暂时平衡, 同时也转动了一个转角, 同样因为结点C又被固定, 因此这个转角也不是最后位置。
( 6) 由于结点C又有了约束力矩O.25 kN·m, 因此应再放松结点C, 固定结点B进行分配和传递。这样轮流放松, 固定各结点, 进行力矩分配与传递。因为分配系数和传递系数都小于1, 因此结点力矩数值越来越小, 直到传递弯矩的数值按计算精度要求能够略去不计时, 就能够停止运算。
( 7) 最后将各杆端的固端弯矩, 各次分配弯矩和传递弯矩相叠加, 就能够得到原结构各杆端的最后弯矩。见图( b) 所示, 最后各杆的杆端弯矩下划双线。
( 8) 根据各杆最后杆端弯矩和荷载用叠加法画弯矩图如图( c) 所示。