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函数奇偶性知识总结与练习题
函数的奇偶性
中山七 欧阳志平
【教学目标】
一、 知识目标
1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征；
2、掌握判定和证明奇偶性的方法；
3、学会利用函数的奇偶性解决问题

二、能力目标
培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。

三、 情感目标
培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。

【教学重点】
1、 理解奇偶性的定义；
2、 掌握判定方法；
3、 学会利用函数的奇偶性解题。

【教学难点】
灵活运用函数的奇偶性求解函数解析式、 对称区间上函数的单调性的判断。

【考点分析】
1、 考查判断函数的奇偶性的能力；
2、 利用函数奇偶性的图像解题；
3、 利用函数的奇偶性求解析式；
4、 利用函数奇偶性求单调区间。

【知识点梳理】
一、函数奇偶性的概念
1函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下，
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2） 或必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在时有定义，则．
2、主要方法：
(1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；
(2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；
(3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．
(4)、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
2. 函数的奇偶性的性质
①对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立；
③可逆性: 偶函数；
奇函数；
④等价性:

⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称；
⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
【典型例题】
题型一 判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:
（1）f(x)4；
（2）f(x)5；
（3）f(x)；
（4）f(x)=.
思路分析：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f()(x)或f()(x).
解答过程：
解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f()=()44(x)，
所以函数f(x)4是偶函数.
（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f()=()55(x),
所以函数f(x)4是奇函数.
（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0∞)，对定义域内任意一个x，都有f()()(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0∞)，对定义域内任意一个x，都有f()(x)，
所以函数f(x)= 是偶函数.
点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f()及f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f()(x)或f()(x)=0,则f(x)是偶函数；
若f()(x)或f()(x)=0,则f(x)是奇函数.
变式一 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
(x)f()是奇函数 (x)()|是奇函数
(x)()是偶函数 (x)()是偶函数
思路分析中设F(x)(x)f(),则F()()f(x)(x)，即函数F(x)(x)f()为偶函数；
B中设F(x)(x)()|，F()()(x)|，此时F(x)及F()的关系不能确定，即函数F(x)(x)()|的奇偶性不确定；
C中设F(x)(x)()()()(x)(x)，即函数F(x)(x)()为奇函数；
D中设F(x)(x)()，F()()(x)(x)，即函数F(x)(x)()为偶函数.
答案：D
变式二 设是(－∞，＋∞)上的奇函数，＝－，当0≤x≤1时，＝，则等于( )
A．0.5 B． －0.5 C． 1.5 D． －1.5
解析：＝＝－＝－＝＝ ＝－＝－＝＝－＝－0.5．
答案：B
解析： 这里反复利用了＝－和＝－，后
面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．

题型二 利用函数奇偶性求函数解析式
例2已知函数f(x)是定义在(-∞∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)4，则当x∈(0∞)时，f(x).
思路分析：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)()，将在区间(0∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.
解答过程:当x∈(0∞)时，则<0.
又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)4，
∴f(x)=()-()44.
答案：4
点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.

变式一 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)2+，求f(x).
解：当0时，f(-0)(0)，则f(0)=0；
当x<0时，>0，由于函数f(x)是奇函数，则
f(x)()［()2+］2+，
综上所得，f(x)=

例3．已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为(　 　)
A.－1 B.1 C.－2 D.2
解析：∵f(x)＝x2－＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－－a＋4
＝x2＋(2－a)x＋5－a，
f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4＝x2－2x＋1－a＋＋4＝x2＋(a－2)x＋5－a.
∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴a－2＝2－a，即a＝2.

题型三 函数的奇偶性及单调性综合

例4．已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数。
(1)证明：对任意的有：

(2)若求实数的取值范围。
解答过程：
解：(1)证明：若，显然不等式成立；
若，则
在上是奇函数又是减函数，

原不等式成立
同理可证当时原不等式也成立。
(2)解：由得
，
即
由函数在上是单调减函数，故有

所以，所求的取值范围是。
点评： (1)函数的单调性广泛应用于比较大小，解不等式，求参数的范围，最值问题中，应引起足够的重视。

变式一：已知偶函数在区间单调增加,则满足＜的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
解析：由于是偶函数,故＝∴得，
再根据的单调性， 得|2－1|＜ 解得＜＜.

变式二：已知奇函数在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,那么函数
在区间[－7，－3]上是 (　　)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．∵f(x)在[3,7]上是增函数，

∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数．∵f(x)在[3,7]上的最小值为5，
∴由图可知函数f(x)在[－7，－3]上有最大值－5.
题型四 图形、单调性综合利用
例题5。（2004年上海卷）设奇函数f（x）的定义域是［-5，5］。当时，f（x）的图象如图 ，则不等式f（x）<0的解是。

例题6 、定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，
若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.
解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－）＜g（）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－＞，且|1－≤2，≤2，解得－1≤m＜.

题型五 抽象函数的奇偶性
例7.函数的定义域为＝，且满足对于任意，有
（1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明；
解：（1）令，得；
（2）令，得，令，得
∴ ，即为偶函数．
点评：赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．

例8． 已知函数在(－1，1)上有定义，＝－1，当且仅当0＜x＜1时＜0，且对任意x、y∈(－1，1)都有＋＝，试证明：
(1) 为奇函数；(2) 在(－1，1)上单调递减．
解答过程：
证明：(1) 由＋＝，令x＝y＝0，得＝0，
令y＝－x，得＋＝＝＝0，∴　＝－，
∴为奇函数．
(2)先证在(0，1)上单调递减．
令0＜x1＜x2＜1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f()
∵0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，1－x1x2＞0，∴＞0，
又(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1+1)＜0
∴x2－x1＜1－x2x1，
∴0＜＜1，由题意知f()＜0，
即f(x2)＜f(x1)．
∴　在(0，1)上为减函数，又为奇函数且f(0)＝0．
∴　在(－1，1)上为减函数．
点评：　这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般的求解最为常见．赋值技巧常为令或等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定　　的范围是解题的焦点．
变式练习1.已知函数对一切，都有， 求证：是奇函数；
解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，
令，得，令，得，
∴，∴，即， ∴是奇函数．

题型四　利用函数奇偶性求值
例9. 已知且,那么.
解：设，则为奇函数，于是有，
从而有 即：
令，得，又，故

【巩固练习】
1.函数①　 ②　　③　
④ ⑤　　
⑥　　　⑦
上述函数中为奇函数的是（　　）
A. ①⑥⑦ 　　B.①⑥ 　　　 C.③⑥ 　　　 D.①②
2.（2011年安徽理科卷）设是定义在Ｒ上的奇函数，当时，，则（ ）
Ａ－3　　　 Ｂ －1　　 Ｃ 1　　　　 Ｄ 3
3.如果奇函数在区间［3，7］上是增函数且最小值是5，那么在区间［－7，－3］上（ ）
A.是增函数且最小值为－5 B.是增函数且最大值是－5
C.是减函数且最小值为－5 D.是减函数且最大值是－5
4.已知函数= x5＋a x3＋b x－8，且＝0，则等于（ ）
A.－16 　　　 B.－18 　　　 C.－10 　　　　　D.10
5.若在［－5，5］上是奇函数，且＜，则（ ）
A. ＜ B. ＞
C. ＜ D. ＞
6.已知函数，，，则 的奇偶性依次为（ ）
A．奇函数，偶函数，奇函数 B．非奇非偶函数，奇函数，偶函数
C．奇函数，奇函数，奇函数 D．奇函数，非奇非偶函数，奇函数
7.（2011年广东理科卷）设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
Ａ．是偶函数　　　　　Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数　　　　　Ｄ．是奇函数
8.（2009年陕西文科卷）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有．则 （ ）
A． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9.（2009年四川文科卷）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ( )
A. 0 B. C. 1 D.
10.设及的定义域是， 是偶函数，是奇函数，且，求及 的解析式．
【课后作业】
一、选择题
1．已知函数f（x）＝2＋＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝3＋2＋（　　）
　　A．奇函数　　　　B．偶函数　　　C．既奇又偶函数　　　　D．非奇非偶函数
2．已知函数f（x）＝2＋＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（　　）　
　A．，b＝0　　　B．a＝－1，b＝0 　C．a＝1，b＝0　　　D．a＝3，b＝0
3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（　　）
　A．＝x（x－2）　B．y ＝x（｜x｜－1）C．y ＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）
4．已知f（x）＝x5＋3＋－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（　　）
　　A．－26　　　　B．－18　　　　C．－10　　　　D．10
5．函数是（　　）
　A．偶函数　　　B．奇函数　　　C．非奇非偶函数　　　D．既是奇函数又是偶函数
6．若f(x)，g（x）都是奇函数，F(x)(x)(x)+2在（0，＋∞）上有最大值5，
则F（x）在（－∞，0）上有（　　）
A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　　C．最小值－1　　　　　　D．最大值－3
二、填空题
7．函数的奇偶性为（填奇函数或偶函数）　．
8．若y＝（m－1）x2＋2＋3是偶函数，则m＝．
9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为．
10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象及x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为．

三、解答题
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（，），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．

13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

14（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

15.设函数y＝f（x）（且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
求证f（x）是偶函数．

【拓展训练】

1.已知且,那么.

2.若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝.
3.已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝.
4.设是定义在上的奇函数，且当时, ,
则.
5.若函数是奇函数，，则的值为 -3

6.已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，
则这个函数在区间上的解析式为

7.设函数是奇函数. 若
则 -3 .
8.已知函数为上的奇函数，
当时，.若，则实数 -1 .

【巩固练习】答案
1. B 2 3 4 5
6 7 8
9. 解析：若≠0，则有，取，则有：

∵是偶函数，则 由此得于是，

故选 A
10. 解析：∵ 是偶函数， 是奇函数，
∴　　由 ＋＝，有
－＝ ………①
又∵ ………②
由①②得＝＝，
＝＝

【课后作业】答案
1．　解析：f（x）＝2＋＋c为偶函数，为奇函数，
　∴g（x）＝3＋2＋＝f（x）·满足奇函数的条件．　　答案：A
　2．解析：由f（x）＝2＋＋3a＋b为偶函数，得b＝0．
　又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故选A．
3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，
　∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．
∴即f（x）＝x（－2）
　答案：D
4．解析：f（x）＋8＝x5＋3＋为奇函数，
　f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．　　答案：A
5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．　　答案：B
6．解析：、g（x）为奇函数，∴为奇函数．
又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，　　∴f（x）－2有最大值3．、
　∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，　∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．　　答案：C
7．答案：奇函数
8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2＋3为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2＋3，整理，得m＝0．
9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
可得，联立，∴．　答案：
10．答案：0
11．答案：
12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．
13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．　f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．　当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，∴f（x）＝x3－2x2＋1．
　　因此，
点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．
14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．
因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．
15．解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，
f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，
∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，
　∴f（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，　∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．
点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．
（2）x<-1
【拓展训练】答案
1解：设，则为奇函数，于是有，
从而有 即：
令，得，又，故
2解：f(－x)＝＋a＝＋a，f(－x)＝－f(x)⇒＋a＝－⇒
2a＝－＝1，故a＝.
3解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R，∴f(0)＝0⇔a－＝0⇔a＝.
经检验，当a＝时，f(x)为奇函数．
解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－＝－.
∴2a＝＋＝1，∴a＝.
4解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x，
所以f(－2)＝3－22＝－1.

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