函数单调性和奇偶性归纳.doc

一函数增减性
1单调性：
1、定义：
注：（1）单调区间用集合或者区间的形式描述；（2）一定范围
例题1：（1）证明函数在上是增函数。

例题2：已知函数的定义域是，，且当时，
（1） 求的值；（2）证明：在定义域内是增函数；
（3） 解不等式

例题3：已知定义在上的函数是减函数，求满足不等式的实数a的取值范围。

组合函数
增+增得增 减+减得减 增-减得增 减-增得减

复合函数
定义
一般地，对于两个函数和，当函数的值域()是的定义域的子集时，通过变量,可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，其中称为自变量,为中间变量,为因变量。

增减性
根据，的单调性决定。
即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减” 　　
推导：
令，则
是增函数，越大，越大，即越大
若是增函数，则越大，即越大 （同增）
若是减函数，则越小，即越小 （异减）
判断复合函数的单调性的步骤如下：
(1) 求复合函数定义域； 　　
(2) 将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指数、对数函数）； 　　
(3) 判断每个常见函数的单调性； 　　
(4) 将复合函数的定义域分段（每个常见函数在每段定义域上具有单调性）；
(5) 根据“通增异减”求出复合函数的单调性。 　　
例如：
讨论函数的单调性。
解：函数定义域为 　　
令 则　　
指数函数在定义域上是减函数
二次函数在上是减函数，上是增函数
因此，函数在上是增函数，上是减函数

函数奇偶性
一、奇偶性：
1、

2、证明过程：（1）求定义域，并判断是否关于原点对称
（2）求,并判断与的关系
3判断函数的奇偶性的方法：
定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否定义域上的恒等式；
图象法；
性质法：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
3、应用：
（1）若是奇函数，且，则有
（2）利用奇偶性求函数解析式
例题2：（1）设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
.是偶函数 .||是奇函数
.||是奇函数 .||是奇函数

（2） 定义在上的函数满足，且，求证：是偶函数。

例题3：定义在上的奇函数，当时，，求的解析式。

例题4：定义在上的偶函数，求