函数的奇偶性与周期性试题(答案).doc

函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R，且是奇函数的是(　　)
A．f(x)＝x2＋x　 B．f(x)＝tan x C．f(x)＝x＋sin x D．f(x)＝lg
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)
A. B．－ C. D．－
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－98 D．98
5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)
A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
6．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范围是(　　)
A．a<－1或a≥ B．a<－1 C．－1<a≤ D．a≤
二、填空题
7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
8．(2015·广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．
9．(2015·嘉兴模拟)函数y＝(x－2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a的取值范围为________．
10．(文科)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则
①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中所有正确命题的序号是________．
10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
三、解答题
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．

12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．解析：函数f(x)＝x2＋x不是奇函数；函数f(x)＝tan x的定义域不是R；函数f(x)＝lg 的定义域是(－1,1)．故选C.
答案：C
2．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D也错．
答案：C
3．解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.
答案：C
4．解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，
∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.
答案：A
5．解析：f(x)的图象如图．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．
答案：C
6．解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．
由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；
函数的最小正周期T＝3，则f(－1)＝f(2)，
由≤－1，解得－1<a≤.
答案：C
二、填空题
7．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
∴2ax＝－ln e3x＝－3x，∴a＝－.
答案：－
8．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，
又f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.
答案：2
9．解析：y＝(x－2)|x|＝
函数的图象如图所示，当x<0时，由－x2＋2x＝－1，得x＝1－.

借助图形可知1－≤a≤1.
答案：[1－，1]
10．解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，
则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤x≤0时0≤－x≤1，
f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的图象如图所示：

当3<x<4时，－1<x－4<0，
f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确．③不正确．
答案：①②④
10．解析：∵f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．
∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图象，

其图象也关于x＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
答案：－8
三、解答题
11．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)．
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，
f(x)＝－f(－x)＝－.
故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.
x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，
f(x)＝f(x＋4)＝－.
从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－.
12．解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．