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利用一题多解培养学生良好思维品质
―――解析几何教学实效性的探究

在解析几何的教学中，教师常常感慨学生的理解能力、思维能力和计算能力无法适应高考的要求。而学生也会因为解析几何问题中含有字母参数、运算量大和类型多，导致解析几何的学习信心不足，以至望而却步。这就形成了一个比较尴尬的局面，教师大量的讲方法、讲类型，而学生还是停留在原有的基础上，没有真正的走进解析几何学习过程。笔者在教学中也有深刻的体会，特别是对于解析几何解答题的讲解，少讲怕类型不全，多讲又没有足够的时间。因此，经过不断地探索与总结实践，笔者认为我们可以通过某些问题的一题多解来拓展学生的思维空间，培养学生多角度思考问题，通过一些小题的解法，潜移默化地引导学生，养成敢于下手、勇于深入探究的学习习惯；同时也可以通过一题多解来充分发挥题目的营养价值，从而达到以少胜多，触类旁通，举一反三，事半而功倍的教学效果。有时也可以小题大做，挖掘题目所隐含的思想和方法，而且可以培养学生的探索精神和创新能力。下面笔者通过一个具体的例题的讲解来阐述一下自己的体会：
1．一题多解培养学生的探索精神和创新能力，拓展学生的思维空间
题目：已知过椭圆的左焦点倾斜角为60°的直线与椭圆交于A、B两点，且，求椭圆的离心率．
本小题是椭圆教学中利用椭圆的第二定义求解离心率问题的典型例子，对于刚接触解析几何的同学这道题有些无从下手；但只要学生细细审题，不难发现题设条件中，直线过焦点的条件，因此学生容易联想到椭圆的第二定义，从而与左准线建立联系，结合直线的倾斜角给出第一种解法。
解法一：设椭圆的左准线为，过点A、B作于，于，
由椭圆的第二定义：，
∵∴

过作于，
∴为的中点
∴
又∵
∴
∵ ∴
∵
∴ ∴
第一种方法，大多数学生都可以通过相互研究，讨论作出正确的结论。学生也会因为问题的解决，体会第二定义的应用，体会解题的乐趣，教师此时大力鼓励，因势利导，充分调动学生的学习积极性。学生的潜力是无穷的，只要我们正确的引导，合理调动，一部分学生会继续思考，观察已有的解题过程，经过观察，比较，分析，总结，得出让我们意想不到的很多方法，我把学是的第二种解法进行概括，可以得到下面的解法：
解法二：设椭圆的左准线为，过点A、B作于，于，
过作于，
∵
∴
∵
∴
由椭圆的第二定义：
，
∴为的中点
∴
∵
∴
∵
方法二中，看上去与方法一的区别并不大，但就是这一点点变化，却可以给学生思维发展提供一个平台。让学生在一个问题面前，尽可能地多提出设想，敢于思考，敢于提出不同的观点，这也正是我们所说的求异思想。而多种解答，思维向多方向发散，鼓励学生超越常规，恰恰可以培养学生发散思维能力和创新精神。也正是这一点改变，确可以使学生在观察，比较，分析，探索中提高学习兴趣、培养创新能力。
在前两种方法的基础上，教师继续启发，我们能否从其他角度解决此题呢？学生经过研究，讨论，排除掉与前两种方法相近的求法，得到了下面的平面几何方法。
解法三：设椭圆的左准线为，过点A、B作于，于，
过作于，
由椭圆的第二定义：，
∴
∵
∴
∴为的中点
∴
又∵，
∴
∴为等边三角形（以下同法二）
2．小题大做，适当迁移，培养学生类比联想能力，创新求异的科学精神
以上问题到这里似乎已经完成了他的使命，学生通过问题解法的引申，有目的去发现新的解法通过知识的细小迁移，联想深化，尝试创新的途径，不断探索，提高了创新思维能力。而一个问题的解决，并不是意味着问题的终了。教师可以考虑能否对问题进行引申，挖掘出问题隐含的思想方法，从而提升问题的实用价值。而本题恰好可以实现我们的这一想法。
例如在解析几何的解答题中常会出现这样的题目：
设双曲线：与直线：相交于不同的点
⑴ 求双曲线的离心率的取值范围；
⑵ 设直线与轴的交点为，且，求的值
学生对这类问题很头疼，原因如下：⑴ 解析几何与向量结合；⑵ 直线与圆锥曲线联立中含参数；⑶ 联立后消元（）的选择；笔者对这一问题进行了深入的研究，认为我们可以小题大做，通过对本小题的探究，得出解决此类问题的一般方法。即通过学生对本题的探究，解决解这类问题的三个难点。作法如下：
解法四：设椭圆方程为：（）
由题设可设直线方程：与椭圆交于点，
∵，

∴，
∵
∴
∴
由
∴
∵
∴
∴得: ∴
解法四表面上看是一题多解的继续，学生会感到此解法比较麻烦，很多学生不愿被老师引导到这种解法上来；但恰是这种解法为我们今后解决解析几何中有关点坐标、向量式处理等一系列问题提供了方向和方法。通过以上问题的探究，使学生认识到从特殊到一般，是探究问题本质的一种重要的操作方式和思维方法，同时学生在观察，分析，探索中培养了创新能力。本题的作用与价值也发挥的淋漓尽致。
总之，教育的首要目的在于培养有创新能力的人，而不是重复前人的劳动。我们的教育已经逐渐实现由过去传授知识为中心的传统教育向培养学生创新能力的教育转变。因此摆在我们面前的是如利用有限的时间，有限的资源，不断提高我们的教学效率。这需要我们在今后的教学中不断的探索，研究与实践。