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二项式定理单元测试题（人教B选修2-3）
一、选择题
1．设二项式n的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P＋S＝272，则n＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　　　 B．5
C．6 D．8
解析：　4n＋2n＝272，∴2n＝16，n＝4.
答案：　A
2.n的展开式中，常数项为15，则n等于(　　)
A．3　　　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
解析：　∵Tr＋1＝Cnr(x2)n－rr
＝(－1)rCnrx2n－3r，
又常数项为15，∴2n－3r＝0，
即r＝n时，(－1)rCnr＝15，
∴n＝6.故选D.
答案：　D
3．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是(　　)
A．－4　　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．4
解析：　(1＋2)3(1－)5＝(1＋6x＋12x＋8x)(1－5x＋10x－10x＋5x－x)，x的系数是－10＋12＝2.
答案：　C
4．在6的二项展开式中，x2的系数为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：　该二项展开式的通项为Tr＋1＝C6r6－r·r＝(－1)rC6r··x3－r.
令3－r＝2，得r＝1.
∴T2＝－6×x2＝－x2.
答案：　C
5．C331＋C332＋C333＋…＋C3333除以9的余数是(　　)
A．7 B．0
C．－1 D．－2
解析：　原式＝C330＋C331＋C332＋…＋C3333－C330
＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1
＝C110×911－C111×910＋…＋C1110×9×(－1)10＋C1111×(－1)11－1
＝C110×911－C111×910＋…＋C1110×9－2
＝9M＋7(M为正整数)．
答案：　A
6．已知Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋…＋2nCnn＝729，则Cn1＋Cn3＋Cn5的值等于(　　)
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：　Cn0＋2Cn1＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729.
∴n＝6，∴C61＋C63＋C65＝32.
答案：　B
7．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝(　　)
A．32 B．－32
C．－33 D．－31
解析：　令x＝0，得a0＝1；
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝32
∴a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝a0－32
＝1－32＝－31.
答案：　D
8．(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为(　　)
A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6
C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5
解析：　令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，
令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.
答案：　D
二、填空题(每小题5分，共10分)
9．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)
解析：　在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，
故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)
＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004
＝2 004.
答案：　2 004
10．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.
解析：　x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10
＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10
∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9
∴a9＝－10.
答案：　－10
11．(1－)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．
解析：　(1－)20的二项展开式的通项公式Tr＋1＝C20r(－)r＝C20r·(－1)r·x，令＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.
答案：　0
12．若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
解析：　Tr＋1＝C6rx6－r(－)rx－2r＝C6r(－)rx6－3r，∴令r＝2得6的常数项为C62a，∴令C62a＝60,15a＝60，∴a＝4.
答案：　4
三、解答题(每小题10分，共20分)
13．已知n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
解析：　由题意：2Cn1·＝1＋Cn2·2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，
∴Tr＋1＝C8r()8－r·r＝r·C8rx·x
＝(－1)r·x(0≤r≤8，r∈Z)
(1)若Tr＋1是常数项，则＝0，即16－3r＝0，
∵r∈Z，这不可能，∴展开式中没有常数项；
(2)若Tr＋1是有理项，当且仅当为整数，
∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，
即展开式中有三项有理项，分别是：T1＝x4，T5＝x，
T9＝x－2.
14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
解析：　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×
(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，
∵T3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001.
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，
∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，
即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.
15．(10分)已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值．
解析：　(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为Cm1·2x＋Cn1·4x＝(2Cm1＋4Cn1)x，
∴2Cm1＋4Cn1＝36，即m＋2n＝18，
(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为
t＝Cm222＋Cn242＝2m2－2m＋8n2－8n，
∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，
∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612
＝16，
∴当n＝时，t取最小值，但n∈N*，
∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，
此时n＝5，m＝8.
16．在(x－y)11的展开式中，求
(1)通项Tr＋1；
(2)二项式系数最大的项；
(3)项的系数绝对值最大的项；
(4)项的系数最大的项；
(5)项的系数最小的项；
(6)二项式系数的和；
(7)各项系数的和．
解析：　(1)Tr＋1＝(－1)rC11rx11－ryr；
(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C115x6y5，
T7＝C116x5y6；
(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：
T6＝－C115x6y5，T7＝C116x5y6；
(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝C116x5y6；
(5)项的系数最小的项为T6＝－C115x6y5；
(6)二项式系数的和为C110＋C111＋C112＋…＋C1111＝211；
(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.
17．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…a9y9，求：
(1)各项系数之和；
(2)所有奇数项系数之和；
(3)系数绝对值的和；
(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．
解析：　(1)令x＝1，y＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1
(2)由(1)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1
令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59
将两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即为所有奇数项系数之和．
(3)方法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59；
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1得，
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
(4)奇数项二项式系数和为：
C90＋C92＋…＋C98＝28.
偶数项二项式系数和为：C91＋C93＋…＋C99＝28.
18．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，求n.
解析：　a0＝1＋1＋…＋1＝n，an＝1.
令x＝1，则2＋22＋23＋…＋2n＝a0＋a1＋a2…＋an，
∴a1＋a2＋…＋an－1＝－a0－an
＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，
∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.