二次函数的应用--利润问题.doc

人教版义务教育教材◎数学九年级上册<>
22.3．2商品销售问题与二次函数

武汉市挽月中学 张芹

教学目标
1. 会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值。
2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题。
教学重点
2. 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值。
教学难点
将实际问题转化成二次函数问题。

教学过程
一、导入新课
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如抛球、围墙、拱桥跨度等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。从这节课开始，我们就共同解决这几个问题。
二、新课教学
问题1：
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，y的最 值是 。
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，函数有最___ 值，是 。
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，函数有最______值，是 。

归纳总结：
（1）、当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值。
（2）、当a＞0（a＜0），抛物线y=a(x-h)2+k的顶点是最低（高）点，当 x=h 时，二次函数有最小（大）值 k

探究：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量。在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化。调整的价格包括涨价和降价两种情况。
（1）我们先看涨价的情况。
设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60 + x) (300－l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6 000。
列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？
由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30。
根据上面的函数，可知：
因为a﹤0,所以函数有最大值。
当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元。
（2）我们再看降价的情况。
设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x) (300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元。因此，所得利润
y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，
即
y＝－20x2＋100x＋6 000。
怎样确定x的取值范围呢？
由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20。
因为a﹤0,所以函数有最大值。
当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元。
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大。
三、巩固练习
某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) 。
(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?
如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润，
此时篮球的售价应定为多少元？
四、课堂小结
利用二次函数解决实际问题的过程是什么？
找出变量和自变量；然后列出二次函数的解析式；再根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；最后在自变量的取值范围内，求出二次函数的最小（大）值。

五、布置作业
《勤学早》22.3