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第七章、反比例函数 1
一、反比例函数知识要点点拨 1
二,、典型例题 2
三、反比例函数中考考点突破 8
四、达标训练 10
(一)、基础·过关 10
(二)、综合·应用 11
五、分类解析及培优 13
(一)、反比例函数k的意义 13
(二)、反比例函数与三角形合 14
(三)、反比例函数与相似三角形 15
(四)、反比例函数与全等三角形 15
(五)、反比函数图像上四种三角形的面积 15
(六)、反比例函数与一次函数相交题 19
1、联手演绎无交点 20
2、联手演绎已知一个交点的坐标 20
3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 20
4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 20
(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 21
(八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 23
六、拓展练习 26
练习(一) 26
练习（二） 28
练习(三) 32
本章参考答案 35

第七章、反比例函数
反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。
一、反比例函数知识要点点拨
1、反比例函数的图象和性质：
反比例函数

的符号

图象

性质
①的取值范围是，
　的取值范围是．
②当时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，随的增大而减小．
①的取值范围是，
　的取值范围是．
②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，随的增大而增大．
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
2、反比例函数与正比例函数的异同点：
函数
正比例函数
反比例函数
解析式

图象
直线，经过原点
双曲线，与坐标轴没有交点
自变量取值范围
全体实数
的一切实数
图象的位置
当时，在一、三象限；
当时，在二、四象限．
当时，在一、三象限；
当时，在二、四象限．
性质
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小．
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大．
二,、典型例题
例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．
说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，，它也可变形为及的形式，（4），（5）就是这两种形式．
例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．
(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）；
(2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）；
(3)圆面积与半径的关系 （ ）；
(4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；
(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）；
(6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；
(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）；
(8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；
(9)x越来越大时，y越来越小，y与x的关系 （ ）；
(10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）．
答：

说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义．
例 3 已知反比例函数，y随x增大而减小，求a的值及解析式．
分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题．
解 因为是反比例函数，且y随x的增大而减小，
所以 解得
所以，解析式为．
例4 （1）若函数是反比例函数，则m的值等于（ ）
A．±1 B．1 C． D．－1
（2）如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若的面积为S，则：
A． B． C． D．S的值不确定
解：（1）依题意，得 解得．
故应选D．
（2）由双曲线关于O点的中心对称性，可知：．
∴．
故应选A．
例5 已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，；当时，，求时，y的值．
分析 先求出y与x之间的关系式，再求时，y的值．
解 因为与x成正比例，与x成反比例，
所以．
所以．
将，；，代入，得
解得
所以．
所以当时，．
说明 不可草率地将都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了的值．
例 6 根据下列表格x与y的对应数值．
x
……
1
2
3
4
5
6
…
y
…
6
3
2
1.5
1.2
1
…
（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解：（1）图像如右图所示．
（2）根据图像，设，取代入，得． ∴．
∴函数解析式为．
说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性．
例 7（1）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）

（2）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）

解：的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C；又的图像两支在第一、三象限，故排除D．∴答案应选A．
（2）若，则直线经过第一、三、四象限，双曲线的图像两支在第一、三象限，而选择支A、B、C、D中没有一个相符；若，则直线经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C正确．应选C．
例8， 已知函数是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，随的增大而减小，求反比例函数的解析式．
解：因为是的反比例函数，所以，所以或
因为此函数图像在每一象限内，随的增大而减小 ，所以，所以，所以，所以反比例函数的解析式为
说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数 ，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大．
例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x的取值范围；
（3）当厘米时，求y的值； （4）画出函数的图像．
分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式．
解 （1）因为长方体的长为y厘米，宽为5厘米，高为x厘米，
所以，所以．
（2）因为x是长方体的高．所以．即自变量x的取值范围是．
（3）当时，（厘米）
（4）用描点法画函数图像，列表如下：

…
0.5
2
5
10
15
…

…
40
10
4
2

…
描点画图如图所示．

例 10 已知力F所作用的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S的图象大致是（ ）．

说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．
解 据，得15=，即，所以F与S之间是反比例函数关系，故选（B）．
例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是，翻过来放，对桌面的压强是多少？
解：由物理知识可知，压力，压强与受力面积之间的关系是因为是同一物体，的数值不变，所以与成反比例．
设下底面是，则由上底面积是，
由，且时，，有
因为是同一物体，所以是定值．所以当时，因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．
说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．
例12 如图，P是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．

分析 求反比例函数的解析式，就是求k的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．
解 设P点坐标为．
因为P点在第二象限，所以．
所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为．
又，所以．因为，所以．
所以这个反比例函数的解析式为．
说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于中的．
例13. 当n取什么值时，是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大还是减小？
分析 根据反比例函数的定义可知，是反比例函数，必须且只需且．
解 是反比例函数，则
∴即 ．
故当时，表示反比例函数：．，
∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y随x的增大而增大．
三、反比例函数中考考点突破
1、（2010甘肃兰州）已知点（-1，），（2，），（3，）在反比例函数的图像上. 下列结论中正确的是
A． B． C． D．
2、（2010 嵊州市）如图,直线与双曲线交于两点,则的值为( )

A.-5 B.-10 C.5 D.10
3、（2010四川眉山）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为
A．12 B．9 C．6 D．4

4、（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数的图像上。正方形的边在轴上，点是对角线的中点，函数的图像又经过、两点，则点的横坐标为__________。
5、（2010内蒙赤峰）已知反比例函数，当－4≤x≤－1时，y的最大值是___________.
6、（2010 广西钦州市）反比例函数（k >0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B
两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 ．

第6题
l

7、（2010广西南宁）如图7所示，点、、在轴上，且,分别过点、、作轴的平行线，与分比例函数的图像分别 交于点、、，分别过点、、作轴的平行线，分别与 轴交于点、、，连接、、,那么图中阴影部分的面积之和为 ．

8、（2010年山西15题）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。

【答案】
9、（2010江苏盐城）如图，A、B是双曲线 上的点， A、B两点的横坐标
分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则
k= ．
y
x
O
B
C
A
（第10题）

10、（2010 福建德化）如图，直线与双曲线（）交于点．将
直线向下平移个6单位后，与双曲线（）交于点，与轴交于点C，则C点的坐标为___________；若，则 ．
O
x
y
A
B
C

11、（2010福建南平）函数y= 和y=在第一象限内的图像如图，点P是y= 的图像上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图像于点B.给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP.其中所有正确结论的序号是______________.
第11题
D
O
C
A
P
B
y
x

四、达标训练
(一)、基础·过关
1．在反比例函数y=的图象上的一个点的坐标是（ ）
A.（2，1) B.（－2，1) C.（2，) D.（,2）
2．对于函数y=，下列判断正确的是（ ）
A.图象经过点（－1，3） B.图象在第二、四象限
C.图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小；D.不论x为何值时，总有y＞0
3．已知反比例函数y=的图象经过点（a，b），（c，d），且b＜d＜0，则a与c的大小关系是（ ）
A.a＞c＞0 B.a＜c＜0 C.c＞a＞0 D.c＜a＜0
4．在反比例函数y=（k<0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1>x2>0，则y1－y2的值为( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
5．设反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是( )
6．点（1，3）在反比例函数y=的图象上，则k=__________，在图象的每一支上，y随x的增大而_________.
7.若反比例函数y=经过点（－1，2），则一次函数y=－kx+2的图象一定不经过第____象限.
8.正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2，
求：（1）x=－3时反比例函数y的值；（2）当－3<x<－1时，反比例函数y的取值范围.
9.已知反比例函数y=(a－2)x，当x>0时，y随x的增大而增大，求函数关系式.
(二)、综合·应用
10．函数y=－ax＋a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是图17－1－6中的（ ）

图17－1－6
11．在平面直角坐标系内，过反比例函数y=（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为___________.
12.若函数y=(2m－1)x与y=的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是________.
13.在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数y=的图象的交点共有几个？
14.已知反比例函数y=的图象经过点A（4，），若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标.
15、三个反比例函数:(1)y=;（2）y=;（3）y=在x轴上方的图象如图17－1－7所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系是________.

15题图 16题 图
16、两个反比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图17－1－8所示，点P1，P2，P3，…，P2 005在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P分别作y轴的平行线，与y=的图象的交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2 005（x2 005，y2 005），则y2 005=____________.
17、如图17－1－9所示，已知直线y1=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y2= （k<0）分别交于点C、D，且C点坐标为（－1，2）.
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出当x在什么范围内时，y1>y2.

17题 图
18．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积.

五、分类解析及培优
(一)、反比例函数k的意义
代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标（x、y），则k=xy
（1） 当x、y变为-x、-y时，k不变，可知双曲线的两支关于原点对称。
几何意义：
（1）过反比例函数图象上一点分别作x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为
（2）过图象上的任一点P作x轴(或y轴)的垂线，连接OP，则垂线段、OP、x轴(或y轴)围成三角形的面积为.
（3）k0,双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小；k0,双曲线的两支分别在二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大；
我们抓住反比例函数 k的意义可以快解题。
A、 快得解析式
例1、某反比例函数的图象过点M（1,3）,则此反比例函数的解析式为＿＿＿＿。
解析：由代数意义知k=1×3=3则解析式为y=
B、 快判断点是否在图象上。
例2、在平面直角坐标系中有六个点A（1，5）,B（-3，-）,C（-5,-1）D（-2，），E（3，）,F（,2）
其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是＿＿＿＿。
解析:由代数意义分别求出k，除D点的k=-5外，其它都为5，因而点D不在这个反比例函数图象上C、快确定图象所在的象限
例3、已知反比例函数y=的图象经过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_____象限。
解析: k=-12=-2，所以双曲线的两支分别在二、四象限。
D、快比较大小
例4、若A（，），B（，），C（，）是y=（0）上的三点，且0，则从小到大排列、、为_____
解析: 0，0，在第二象限，k0,y随x的增大而增大，所以0；0，0，所以0 所以
E、快得图形的面积
例5、如图，直线y=mx与y=交于A、B两点，过A作AM垂直x轴，垂足为M，连接BM，若=2,则=___.
解析：双曲线的两支关于
原点对称。所以O为AB的中点，又=1，则=2.
例6、如图，y=经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为_____
解析：S△DOA=，四边形ECOF的面积为，由
S△DOA+S=S，则+3=2；解得=2
F、快得图象上的两点与原点构成三角形面积。
如图1，由几何意义知S△COA=S△DOB,则不重叠的两部分面积相等。
例7、已知A（1,2），B（4,b）在同一反比例函数的图象上，求S△AOB.
解析：由代数意义知y=,b=,如图2，过分别A、B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,AD交OB于C,由几何意义知S△AOC=S四边形BCDE
则S△AOB=S梯形ABED =(+2)（4-1）=××3=
(二)、反比例函数与三角形合
反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。
1、反比例函数与直角三角形
例1、如图1所示，P是反比例函数y=在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴，
随着x的逐渐增大，△APO的面积将（ ）
A、增大 B、减小 C、不变 D、无法确定
（09年德城）。
分析：设点P的坐标是（a，b），
所以ab=6，根据坐标与线段长度的关系，知道OA=a，AP=b，
x
y
O
A
B
图2
所以，三角形AOB的面积是：=ab=3，
因此，三角形的面积是不变的定值。解：选C。
2、反比例函数与底边是定长的动态三角形
例2、如图2，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是
双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，
的面积将会：A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小（兰州市2009年）
分析：三角形OAB的面积是：×OA×h，因为，点是轴正半轴上的一个定点，
所以，OA是一个定长，所以，三角形OAB的面积有OA 上的h决定，而这里的h恰好是点B的纵坐标，根据反比例函数的性质，当k大于0时，y随x的增大而减小，
所以，当点B的横坐标增大时，其纵坐标将逐渐减小。解：选C。
(三)、反比例函数与相似三角形
例3、如图3所示，在直角坐标系中，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），∠BAO∠OCD90°，OD5．反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．（1）求k的值．（2）求BE的长．（09年长春市）
分析：
解答时，要用好相似三角形的性质，处理好线段长与点的坐标的关系。这是问题获得解决的两个关键点。
解：（1）因为，△OBA∽△DOC，
所以，因为，B(6，8)，∠BAO，所以，．
在Rt△COD中，OD5，所以，OC4，DC3．所以，D(4，3)．
因为，点D在函数的图象上，所以，．所以，．（2）因为，E是图象与AB的交点，所以，AE2．所以，BE8－2=6．
(四)、反比例函数与全等三角形
例4、如图4所示，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反比例函数y=在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，n)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．
(1)求m，n的值；(2)求直线AB的函数解析式；(3)求证：△AEC≌△DFB．
分析：
(五)、反比函数图像上四种三角形的面积
反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。
A、三角形面积的四个结论
结论1、过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。
如图1所示，
设P（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，三角形PAO的面积是S，则|k|=2S。
结论2、过反比例函数图像上一点，向y轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。
如图2所示，
设P（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点P作PB⊥y轴，垂足为B，三角形PBO的面积是S，则|k|=2S。
结论3、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图3所示。
证明1：
因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与
反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，
所以，，所以，x=±，
当x=时，y= k1x=，所以，点A的坐标是（，），
当x=-时，y= k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-），所以，OC的长度是，三角形ABC 的面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积
=×OC×AC+×OC×BD
=××+××|-|
=k+k=k。所以，与k1无关。
证明2、根据结论1，知道三角形AOC的面积是k，
三角形BOC的面积=×OC×BD|-|=k，
所以，三角形ABC 的面积= k。
结论4、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，过A点作AC⊥x轴，过B点作BC⊥y轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图4所示。
因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与
反比例函数y=（k＞0）的图像交于A、B两点，
所以，，所以，x=±，
当x=时，y= k1x=，所以，点A的（），
当x=-时，y= k1x=-，所以，点B的坐标是（-，-），
所以，OC的长度是，三角形ABC 的面积=三角形AOE的面积+三角形BOD的面积+矩形ODCE的面积
=×OE×AE+×OD×BD+OD×DC
=××+×|-|×|-|+×|-|
=k+k+k=2k。所以，与k1无关。
B、结论的具体应用
这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。
例1、如图5，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则 ．（08年巴中市）
分析：根据结论1，知道面积S与k之间有如下的关系：|k |=2S，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6或者k=-6，因为图像分布在二、四象限，所以，k＜0，所以 k=-6.解：-6.
例2、两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象，如图6所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：
① △ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是 （08年湖北省咸宁市）

分析：因为，点A、B都在反比例函数y=的图像上，根据结论1和结论2，知道;
△ ODB与△OCA的面积相等,所以，①是正确的；
如图7所示，连接OP，
根据结论1知道，三角形POC的面积为k，是个常数，三角形OAC的面积是，
所以，三角形PAO的面积是k-，是个常数，
根据结论2知道，三角形POD的面积为k，是个常数，三角形OBD的面积是，
所以，三角形PBO的面积是k-，是个常数，
所以，四边形PBOA的面积等于三角形PAO的面积+三角形PBO的面积=k-+k-
=k-1，是一个定值，所以②是正确的；
设点P的坐标为（m，n），因为，点P在的图象上，反比例函数在第一象限内，
所以，mn=k，m＞0，n＞0，因为，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，
所以，点A的横坐标为m，所以，点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）；
因为，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，所以，点B的纵坐标为n，所以，点A的横坐标为，即点B 的坐标为（，n），PA=PC-AC=n-=,PB=PD-BD=m-=，
分数的分子是相同的，但是，分母不同，只有当m=n时，PA=PB才能成立，所以，即③是不正确的；当点A是PC的中点时，有PA=AC即=，所以，mn=2，即k=2，
所以，点P的坐标为（m，），即点B 的坐标为（，），所以，点B是PD的中点，所以，当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．即④是正确的；因此，一定正确的是①②④.
例3、如图8，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则k的值和Q点的坐标分别为_________________________.（08年荆州市）
简析：根据结论1知道：因为k是大于0的，所以，k=2S=2×=3，即y=，设Q的坐标为（m，n），则mn因为，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，
所以，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，-2），
所以，线段OA =4,因为，PC为△AOB的中位线，
所以，点C是线段OA 的中点，所以，OC=2,即点Q的横坐标为m =2，所以，n=，所以点Q的坐标为（2，）。
例4、如图9，反比例函数y=的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥BC∥轴，则△ABC的面积等于         个面积单位。
简析：因为，反比例函数y=中k=5，根据结论4，所以，△ABC的面积等于2k=10。本题的最大特点是吧，把几何中的三角形全等问题引入函数的图像中，充分体现数形的完美组合。
解：（1）因为，点c(1，6)在反比例函数y=的图像上，所以，1×6=m，所以，m=6，
因为，点D(3，n) 在反比例函数y=的图像上，所以，3×n=6，所以，n=2；
（2）设设直线AB的解析式是y=kx+b，
所以，，解得：k=-2，b=8所以，直线AB的解析式是y=-2x+8。
（3）因为，直线AB的解析式是y=-2x+8，令x=0，得y=8，即直线与y轴的交点坐标是（0，8），即A的坐标是（0，8），所以，OA=8,令y=0，得x=4，即直线与x轴的交点坐标是（4，0），即B的坐标是（4，0），所以，OB=4,又因为，点C(1，6)、点D(3，2)，所以，CE=1,OE=2,OF=3,DF=2,所以，AE=OA-OE=8-6=2,BF=OB-OF=4-3=1，因此，AE=DF，CE=BF,
因为,∠AEC=∠DFB＝90°,所以,△AEC≌△DFB．
(六)、反比例函数与一次函数相交题
反比例函数与一次函数，就象一对孪生姐妹，在考题中常常是成对出现，且每次出场都具有不同的色彩。本文就给出四例，让同学们一起欣赏它们联手的精彩。
1、联手演绎无交点
例1、函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是：
A、 B、 C、 D、(2008年扬州市)
分析：反比例函数y=（k≠0）与正比例函数y=ax（a≠0）要想没有交点，函数的图像必须不能分布在相同的象限内，具体应满足如下的两种情形：①如果反比例函数的图像分布在一、三象限，则正比例函数的图像必须分布在二、四象限，即k＞0，则a＜0；②如果反比例函数的图像分布在二、四象限，则正比例函数的图像必须分布在一、三象限，即k＜0，则a＞0。
解：因为，函数的图象与直线没有交点，且正比例函数的图像分布在一、三象限，
所以，反比例函数的图像必须分布在二、四象限，所以，1-k＜0，所以，k＞1，所以，选择A。
2、联手演绎已知一个交点的坐标
例2、已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______．（08梅州）
分析:函数的交点坐标，一定同时满足两个函数的解析式。这是骄傲点坐标的一个最大的特点。
所以，在具体的解答过程中，同学们只需把交点的坐标分别代入两个函数的解析式。
在求另一个交点的坐标时，建立起方程就可以。
解：因为，直线与双曲线的一个交点A的坐标为（-1，-2），所以，-2=m×（-1）,-2=，
解得：m=2，k=2，所以，函数的解析式分别是：y=2x和y=；令：2x=，所以，x2=1，所以，x=-1，或x=1；当x=1时，y=2，所以，另一个交点的坐标是（1，2）。
3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布
例3、已知反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数=-+的图象不经过（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 （08茂名）
分析：因为，反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，所以，a＞0，因此，-a＜0，所以，y=-ax+a一定经过二、四象限，和第一象限，因此，函数的图像一定不经过的是第三象限。选C。
4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标
例4、在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于 ．（2008年芜湖市）
分析：由直线向上平移1个单位长度得到直线的表达式是：y=x+1，将A点坐标代入y=x+1，得：a+1=2，所以，a=1，所以，点A的坐标是（1，2），把（1，2）代入反比例函数的表达式，解得：k=2。应该填2.
(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积
图1
A
N
M
X
Y
O
一般地，如图1，过双曲线上任一点A作x轴、y轴的垂线AM、AN，，所得矩形AMON的面积为：S=AM×AN=|x|×|y|=|xy|.　又∵y=，∴xy=k.　　
　　∴=|k|.∴.
　　这就是说，过双曲线上任一点，做X轴、Y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k的几何意义，明确了k的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：
　　（1）、求函数的解析式
A
C
O
B
x
图2
　　例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、．如果四边形是正方形，求一次函数的关系式．
　　解析　四边形是正方形及反比例函数的图象在第一象限相交于点，
　　则正方形的面积为：S＝xy＝9，所以正方形的边长为3，即点A的坐标（3，3，）。将点A（3，3，）代入直线得y=x+1。
　　（2）.特殊点组成图形的面积
x
y
A
B
O

图3

　　例2如图3，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 ．
　　解析　由A,B分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等，
　　∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝xy＝3∵∴2＋2＝4。
图4
　　例3如图4，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，
BC∥轴，AC∥轴，△ABC的面积记为，则（　　）
A．　　　 B．　　C．　　　D．
　　解析　∵A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，
　　∴△ABC的面积记为＝4S△AOD=4×xy=4.
图5
　　(3)、求字母的值
　　例4如图5，直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若=2，则k的值是（　　）
　　A．2　　　B、m-2　　　C、m　　D、4
　　解析　∵直线y=mx与双曲线y=交于A、B两点，已知A,B两点关于原点O对称，所以=2S△AOM=2×xy=xy=2　∴k=2。
　　例5如图6，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．
　　解析：由双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，
图6
　　设点D的坐标（x,y），又DE∥BA,　∴点B的坐标为（2x,2y），
　　∵△OBC的面积3,∴OA.AB=×2x×2y=2xy=2k=3,∴k=.
　　(4)、求线段的长度
y
O
x
A
C
B
图7
　　例6如图7，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为 （保留根号）．　　　　　　　　　　
　　解析：∵的面积为1，∴k=1,k=2。
　　解方程组　y=x+1
　　　　　　　Y=,得　A的坐标（1，2）。由一次函数的图象与轴相交于点C，∴OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得＝2。
　　(5)、探讨面积的变化
x
y
O
A
B
图8
　　例7如图7，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，
的面积将会（　　）
　　A．逐渐增大 　　B．不变　C．逐渐减小　　　D．先增大后减小
　　解析　∵是轴正半轴上的一个定点，
　　∴OA的长度是定值，即的底边一定。
　　∵点是双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，
　　∴纵坐标y的值逐渐减小，故的面积将会逐渐减小，选B。
　　(6).确定自变量的取值范围
　　例8已知一次函数点P在反比例函数的图象上,PA⊥x轴,垂足为A,PB⊥y轴,垂足为B,且四边形AOBP(O为坐标原点)的面积为2.
　　⑴求k值;
　　⑵求所有满足的x;
　　⑶试根据这两个函数的图象,写出满足的x的取值范围(只需直接写出结论).
　　分析:根据四边形AOBP的面积为2,可以求出反比例函数中的k值.再利用转换为一元二次方程求出相应的x值.
　　解:(1)四边形AOBP(O为坐标原点)的面积为2,k=2.
　　⑵解得x=-2或x=1.
　　⑶由图象得当-2＜x＜0或x＞1时,满足.
点拨:反比例函数常与一次函数结合起来考查,而反比例函数独有的